Тема 3. Численное интегрирование

Постановка задачи интегрирования

Численное интегрирование функции целесообразно использовать в тех случаях, когда: 1) первообразная F(x) не может быть найдена с помощью элементарных функций; 2) F(x) является слишком сложной; 3) подынтегральная функция f(x) задана таблично или неявно.

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

, где p(x) > 0 - заданная интегрируемая функция (весовая) и f(x) - достаточно гладкая функция, xÎ [a, b] и c_k - числа, k=0, 1, …, n..

Для составления квадратурных формул данную функцию f(x)заменяют интерполирующей функцией φ (x) и приближенно полагают

≈

и затем вычисляют интеграл непосредственно, а оценку погрешности формулы определяют исходя из вида функции f(x).

Квадратурные формулы

Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= .

Выбрав шаг h= , разобьем отрезок [a, b] на n равных частей: x₀=a, x_i=x₀+ih ( i=1, 2, …, n-1), x_n=b и пусть y_i=f(x_i)( i=0, 1, 2, …, n), p(x) =1.

Построим, например, полином Лагранжа:

f(x)≈ L _n (x) = +R _n (x).

Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу

где A_i- некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f(x), а зависящие лишь от расположения узлов сетки x_i.

Для формулы трапеции (n=1) p(x)=1, A₀=A₁=1/2.

= (y₀+y₁).

Остаточный член формулы трапеции равен:

R= - (y₀+y₁)= ,

где ξ (x₀, x₀+h).

Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:

где R(h)= , М₂= .

Формула Симпсона при n=2 и p(x)=1. Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям. A₀=1/6, A₁=2/3, A₂=1/6 или, так как x₂-x₀=2h,

(y₀+4y₁+y₂).

Остаточный член формулы Симпсона равен

R= - (y₀+4y₁+y₂)= ,

где ξ (x₀, x₂).

Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид:

где R(h)= , М₄= .

Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем:

где R(h)= , М₄= .

Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции , заменив подынтегральную функцию f(x)линейным интерполяционным многочленом

f(x)=y_i+(y_i₊₁-y_i)

на каждом отрезке [x_i, x_i+1] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f(x)квадратичным интерполяционным многочленом

f(x)=y_i+(y_i₊₁-y_i)

на каждом отрезке [x_i, x_i+2] (i=0, 2, 4, …, n-2).

Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности.

Выбор шага интегрирования

Для вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования с заданной точностью ε можно выбрать шаг h, обеспечивающий эту точность вычисления интеграла, используя формулу остаточного члена:

при этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε /2.

Другой способ заключается в последовательном удвоении количества шагов. Сначала вычисляется интеграл по выбранной квадратурной формуле при числе шага n, а затем при 2n. Погрешность приближенного значения интеграла определяется по правилу Рунге:

Δ _n= ,

где для формулы трапеции и для формулы Симпсона.

Процесс вычислений заканчивается, если для очередного значения n будет получена погрешность Δ _n = ε.

Следует учесть, что при удвоении числа шагов нет необходимости вычислять значения подынтегральной функции заново во всех узлах сетки, т. к. все они являются узлами сетки и при числе шагов 2n. Данный алгоритм может быть полезен при вычислении интеграла с разрывом.

Квадратурная формула Гаусса

В формулах Гаусса

коэффициенты A_i абсциссы t_i подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени 2n-1 (табл. 3.1).

При вычислении интеграла следует сделать замену

x_i= .

Тогда формула Гаусса будет иметь вид

= ,

где .

Таблица 3. 1

N	t_i	A_i	R_n
4	-t₁=t₄=0, 86113631 -t₂=t₃=0, 33998104	A₁=A₄=0, 34785484 A₂=A₃=0, 65214516	R₄»2, 8810^-7f⁽⁸⁾(ξ ), -1< ξ < 1*
5	-t₁=t₅=0, 90617985 -t₂=t₄=0, 53846931 t₃=0	A₁=A₅=0, 23692688 A₂=A₄=0, 47862868 A₃=0, 56888889	R₅»0, 0810^-8f⁽¹⁰⁾(ξ ), -1< ξ < 1*
7	-t₁=t₇=0, 94910791 -t₂=t₆=0, 74153119 -t₃=t₅=0, 40584515 t₄=0	A₁=A₇=0, 12948496 A₂=A₆=0, 27970540 A₃=A₅=0, 38183006 A₄=0, 41795918	R₇»2, 1710^-15f⁽¹⁴⁾(ξ ), -1< ξ < 1*

Задания

1. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы трапеции, Симпсона, трех-восьмых, прямоугольников и Гаусса (n=4, 5 или 7). Оценить остаточный член формул.

2. Вычислить значение интеграла с заданной точностью e, используя формулу трапеции или Симпсона, двумя способами:

- выбрать шаг интегрирования из оценки остаточного члена,

- использовать метод последовательного удвоения числа шагов.

3. Вычислить значение интеграла с заданной точностью e, если функция f(x)имеет разрыв второго рода.

4. Вычислить значение интеграла , заменив функцию f(x) кубическим сплайном.

5. Вычислить двойной интеграл .