![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 3. Численное интегрирование
Постановка задачи интегрирования Численное интегрирование функции целесообразно использовать в тех случаях, когда: 1) первообразная F(x) не может быть найдена с помощью элементарных функций; 2) F(x) является слишком сложной; 3) подынтегральная функция f(x) задана таблично или неявно. Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
Для составления квадратурных формул данную функцию f(x)заменяют интерполирующей функцией φ (x) и приближенно полагают
и затем вычисляют интеграл непосредственно, а оценку погрешности формулы определяют исходя из вида функции f(x). Квадратурные формулы Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= Выбрав шаг h= Построим, например, полином Лагранжа: f(x)≈ L n (x) = Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу
Для формулы трапеции (n=1) p(x)=1, A0=A1=1/2.
Остаточный член формулы трапеции равен: R= где ξ Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:
где R(h)=
![]() ![]() Остаточный член формулы Симпсона равен R= где ξ
Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид: где R(h)= Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем: где R(h)= Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции f(x)=yi+(yi+1-yi) на каждом отрезке [xi, xi+1] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f(x)квадратичным интерполяционным многочленом f(x)=yi+(yi+1-yi) на каждом отрезке [xi, xi+2] (i=0, 2, 4, …, n-2).
Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности. Выбор шага интегрирования Для вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования с заданной точностью ε можно выбрать шаг h, обеспечивающий эту точность вычисления интеграла, используя формулу остаточного члена:
при этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε /2. Другой способ заключается в последовательном удвоении количества шагов. Сначала вычисляется интеграл по выбранной квадратурной формуле при числе шага n, а затем при 2n. Погрешность приближенного значения интеграла определяется по правилу Рунге: Δ n= где Процесс вычислений заканчивается, если для очередного значения n будет получена погрешность Δ n = ε. Следует учесть, что при удвоении числа шагов нет необходимости вычислять значения подынтегральной функции заново во всех узлах сетки, т. к. все они являются узлами сетки и при числе шагов 2n. Данный алгоритм может быть полезен при вычислении интеграла с разрывом. Квадратурная формула Гаусса В формулах Гаусса коэффициенты Ai абсциссы ti подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени 2n-1 (табл. 3.1). При вычислении интеграла xi= Тогда формула Гаусса будет иметь вид
где Таблица 3. 1
Задания 1. Вычислить приближенное значение интеграла 2. Вычислить значение интеграла - выбрать шаг интегрирования из оценки остаточного члена, - использовать метод последовательного удвоения числа шагов. 3. Вычислить значение интеграла 4. Вычислить значение интеграла 5. Вычислить двойной интеграл Варианты Для заданий 1, 2, 4: 1. f(x)=x3 e2x; a=0; b=1. 2. f(x)= 3. f(x)= 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)= 7. f(x)= 8. f(x)= 9. f(x)= 10.f(x)= 11.f(x)=cos(x)/(x+2); a=0, 4; b=1, 2. 12.f(x)= 13.f(x)=(x+1)sin(x); a=1, 6; b=2.4. 14.f(x)=(x+1)cos(x2); a=0, 2; b=1. 15.f(x)=sin(x2-0, 4)/(x+2); a=0, 8; b=1, 2. 16.f(x)=ln(1+x2)/(1+x2); a=0; b=1. 17.f(x)=ln(5+4cos(x)); a=0; b=3, 1416. 18.f(x)=x*ln(1+x); a=0; b=1. Для задания 3: 1. f(x)= 2. f(x)= 3. f(x)= 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)= 7. f(x)= 8. f(x)= 9. f(x)= 10.f(x)= Для задания 5: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 1057; Нарушение авторского права страницы