Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Гетероскедастичность и методы ее выявления. Оценивание регрессии в условиях гетероскедастичности ошибок



Гетероскедастичность (англ. Heterosсedasticity) — понятие, используемое в эконометрике, означающее неоднородность наблюдений, выражающаяся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна понятию гомоскедастичность, которое означает однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённой и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК-оценок параметров. Следовательно статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

К тестам, позволяющим выявить наличие гетероскедас­тичности случайных остатков, относят тесты Гольдфельда — Квандта, Парка, Глейзера, Уайта, Бреуша — Патана, ранговой корреляции Спирмена и т.д.

Тест ГольдфельдаКвандта применяется, если случайные остатки предполагаются нормально распределенными вели­чинами и объем наблюдений достаточно большой. Процедура проверки следующая.

1. Все наблюдения упорядочивают по мере возрастания ка­кой-либо независимой переменной, которая, как пред­полагается, оказывает влияние на изменение дисперсии случайных остатков.

2. Упорядоченную совокупность делят на три группы, при­чем первая и последняя должны быть равного объема, с числом наблюдений, больших, чем число параметров модели регрессии. Пусть в первую и третью группы ото­брано по к наблюдений.

3. По первой и третьей группам находят параметры урав­нений регрессии той же структуры, что и исходное урав­нение регрессии, и остаточные суммы квадратов по ка­ждой модели.

4. Используя данные об остаточных суммах квадратов мо­делей первой и третьей групп, рассчитывают фактиче­ское значение F-критерия Фишера по формуле

где - большая остаточная сумма квадратов; - меньшая остаточная сумма квадратов.

5. Сравнивают фактическое значение F-критерия с таблич­ным, найденным для степеней сво­боды. Если F-фактическое больше табличного, то гипо­теза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Тесты Парка, Глейзера, Уайта и Бреуша — Пагана основы­ваются на предположении, что дисперсия случайных остатков представляет собой определенную функцию от некоторой не­зависимой переменной (или переменных). Перед применени­ем этих тестов по уравнению регрессии необходимо рассчи­тать случайные остатки .

Для теста Парка строят зависимость вида

, (69)

где - -e значение - независимой переменной, оказывающей вли­яние на дисперсию остатков; - случайный остаток.

По тесту Глейзера находят параметры целой серии урав­нений, задаваемых функцией

, (70)

где - какое-либо число, например и т.п.

Тест Уайта заключается в построении квадратичной фун­кции, включающей все независимые переменные, входя­щие в исходную модель, а также их попарные произведения. Включение попарных произведений независимых перемен­ных является необязательным, их можно опустить. Для случая с двумя переменными эта функция будет иметь вид

, (71)

где - неизвестные параметры.

Тест Бреуша — Пагана предполагает исследование вли­яния на дисперсию остатков нескольких независимых пере­менных, которые включают в регрессию вида

(72)

где - -e значениям -й, -й, -й незави­симых переменных, оказывающих влияние на дисперсию остатков; - оценка дисперсии случайных остатков, рассчитанная по формуле

.

Остатки считаются гетероскедастичными, если параметр в функциях по тесту Парка (69) или тесту Глейзера (70) значим (для теста Глейзера — хотя бы при одном значении ). При проверке по тесту Уайта говорят, что остатки гетероскедастичны, если вся функция (71) значима по F-критерию Фишера.

Проверка гетероскедастичности по тесту Бреуша — Пагана заключается в расчете по функции (72) факторной суммы квадратов

где переменная .

Далее рассчитывается фактическое значение критерия по формуле

,

которое сравнивается с табличным (число степеней свобо­ды равно , т.е. числу независимых переменных в мо­дели (72); уровень значимости равен . Нулевая гипотеза о гомоскедастичности случайных остатков отвергается, если

.

Тест ранговой корреляции Спирмена, так же как и ранее рассмотренные тесты, основывается на предположении о за­висимости (прямой или обратной) величины дисперсии слу­чайных остатков от значений какой-либо независимой пере­менной. Для проведения проверки по этому тесту значения случайных остатков, взятые по модулю, и значения этой пере­менной ранжируют (например, по возрастанию), а затем на­ходят коэффициент корреляции рангов Спирмена

,

где — разность между рангами -гo случайного остатка и -гo зна­чения независимой переменной.

Полученное значение коэффициента корреляции проверяют на значимость, рассчитывая фактическое значение - критерия Стьюдента (73) и сравнивая его с табличным значением при числе степеней свободы .

. (73)

Если фактическое значение критерия больше таблично­го, то гипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется.

Проверим на гетероскедастичность модель регрессии из на­шего примера:

.

Рассчитаем случайные остатки для этой модели (табл. 9).

Таблица 9. Расчет случайных остатков для модели регрессии поступления налогов от количества занятых, объема отгрузки в обрабатывающих производствах и производства энергии

1422, 20 4804, 33 -3382, 13 16 868, 50 14 895, 12 1973, 38
2529, 70 5056, 17 -2526, 47 18 019, 40 13 781, 67 4237, 73
2629, 10 5144, 80 -2515, 70 18 950, 30 27 753, 87 -8803, 57
2764, 30 4755, 64 -1991, 34 19 995, 50 27 517, 44 -7521, 94
3347, 50 7553, 53 -4206, 03 20 445, 60 13 948, 95 6496, 65
3914, 20 5263, 55 -1349, 35 21 220, 80 29 518, 94 -8298, 14
4400, 80 7241, 83 -2841, 03 21 360, 00 20 644, 76 715, 24
5904, 00 8992, 88 -3088, 88 21 418, 80 19 152, 00 2266, 80
6956, 70 7161, 55 -204, 85 21 477, 10 22 791, 19 -1314, 09
7595, 10 10 469, 73 -2874, 63 21 816, 30 21 263, 08 553, 22
9257, 80 14 251, 91 994, 11 22 824, 90 14 496, 10 8328, 80
9317, 10 5569, 87 3747, 23 23 579, 30 17 021, 68 6557, 62
9978, 80 12 356, 21 -2377, 41 23 702, 60 14 531, 28 9171, 32
10 144, 80 10 929, 40 -784, 60 24 007, 20 22 773, 85 1233, 35
10 215, 40 9619, 74 595, 66 27 581, 20 31 028, 32 -3447, 12
11 349, 50 14 390, 38 -3040, 88 28 057, 50 32 314, 79 -4257, 29
12 046, 90 14 174, 13 -2127, 23 29 815, 50 31 859, 41 -2043, 91
12 061, 40 14 898, 60 -2837, 20 32 236, 50 31 936, 40 300, 10
12 104, 20 17 000, 04 -4895, 84 32 657, 40 32 494, 15 163, 25
13 042, 40 10 214, 84 2827, 56 32 672, 70 26 620, 17 6052, 53
13 104, 30 13 167, 07 -62, 77 34 351, 10 22 852, 20 11 498, 90
13 396, 40 17 660, 39 -4263, 99 36 050, 40 35 892, 53 157, 87
14 170, 30 22 136, 25 -7965, 95 36 544, 30 22 893, 37 13 650, 93
14 227, 00 15 269, 09 -1042, 09 37 136, 90 22 606, 54 14 530, 36

 
 

График зависимости случайных остатков от выровненного значения зависимой переменной имеет вид, представленный на рис. 5. Можно отметить определенное увеличение раз­броса точек в центральной части графика и уменьшение раз­броса для последних нескольких точек. Такая картина может свидетельствовать о наличии гетероскедастичности остатков.

Рисунок 5. Изменение дисперсии случайных остатков с ростом выровненного значения зависимой переменной

Применим для анализа дисперсии остатков рассмотренные выше тесты. Так как большинство тестов основано на гипоте­зе, что известна переменная, вызывающая гетероскедастичность остатков, обратимся сначала к тесту Уайта, в котором рассматриваются все независимые переменные, входящие в модель регрессии.

Используем короткую форму теста Уайта, без включения попарных произведений независимых переменных. Получим следующий результат:

.

Табличное значение F-критерия равно 2, 33 ( ). Таким образом, по тесту Уайта нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о гомоскедастичности остатков. Отметим также, что все параметры незначимы, но наиболь­шее значение -критерия (и достаточно близкое к таблично­му) имеют параметры при переменной (табличное значение -критерия составило 2, 02 ( )). Таким обра­зом, переменная может быть рассмотрена в других тестах как возможная причина гетероскедастичности.

Тест Бреуша - Пагана позволяет рассматривать различные комбинации переменных в качестве объясняющих гетероске­дастичность остатков. Уравнение теста, включающее в себя все три независимые переменные, будет иметь вид

.

Табличное значение критерия равно 7, 82 ( ), таким образом, нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу о гомоскедастичности случайных остатков. Руководствуясь предположениями, сделанными в ходе анализа теста Уайта, проведем тест Бреуша - Пагана применительно только к пе­ременной . Получим следующие результаты:

.

Табличное значение критерия в данном случае равно 3, 84 ( ), таким образом, мы отвергаем нулевую гипо­тезу о гомоскедастичности случайных остатков. Остатки гетероскедастичны по переменной . Анализ по тесту Бреуша - Пагана при необходимости можно продолжить, исследуя влияние на дисперсию случайных остатков других независи­мых переменных. Опираясь на выявленное влияние на дис­персию остатков переменной , проверим эту связь с помо­щью других тестов.

Использование критерия Гольдфельда - Квандта предпо­лагает упорядочивание данных, в нашем случае по перемен­ной .

Общий объем наблюдений составляет 48 регионов, т.е. их можно разделить на три равные группы по 16 наблюдений в каждой или по 18 наблюдений в первой и третьей группах и 12 наблюдений во второй. Так как критерий Гольдфельда — Квандта предполагает построение уравнений регрессии той же структуры, что и исходное уравнение, остановимся на втором варианте деления совокупности как обеспечивающим боль­шую достоверность регрессионного анализа (18 наблюдений на три коэффициента регрессии, т.е. по шесть наблюдений на каждый коэффициент).

Для первой и третьей совокупностей наблюдений най­дем параметры уравнений множественной регрессии вида и рассчитаем случайные остатки по ка­ждому из них. Получим следующие результаты.

Первая группа (минимальные значения ):

;

Третья группа (максимальные значения ):

Разделим большую остаточную сумму квадратов (по третьей группе) на меньшую (по первой группе):

;

Разделим большую остаточную сумму квадратов (по третьей группе) на меньшую (по первой группе): . Табличное значение F-критерия равно 2, 48 при степенях свободы и уровне значимости 0, 05. Следовательно, дисперсия остатков зависит от величи­ны значений переменной , гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается.

Расчеты по тестам Парка и Глейзера по переменной при­водят к следующим результатам.

Тест Парка:

.

Тест Глейзера:

при

при

при

при

Табличное значение критерия Стьюдента равно 2, 0129 ( ). Таким образом, по тесту Глейзера при и 0, 5 гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается, по тесту Парка - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Оценка гетероскедастичности остатков по переменной с ис­пользованием коэффициента ранговой корреляции Спирмена привела к следующему результату:

То есть коэффициент ранговой корреляции незначим (та­бличное значение критерия Стьюдента, так же как в тестах Глейзера и Парка, равно 2, 0129), нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о гомоскедастичности остатков.

Подводя итоги выявления гетероскедастичности в нашем примере, отметим, что по ряду тестов (Бреуша - Пагана, Гольдфельда - Квандта, Глейзера) гипотеза о гомоскеда­стичности остатков была отвергнута, т.е. можно утверждать, что на дисперсию случайных остатков оказывает влияние пе­ременная . То, что гетероскедастичность была выявлена не во всех тестах, связано с тем, что разные тесты опираются на разные предпосылки о форме связи величины случайных остатков и независимой переменной. Исследование по тесту Глейзера показывает, что эта форма может быть описана вы­ражением , где - линейная функция.

Причинами гетероскедастичности случайных остатков мо­гут быть неверная функциональная форма уравнения регрес­сии (неверная спецификация модели), неоднородность иссле­дуемой совокупности. Соответственно способами устранения гетероскедастичности являются построение модели иной фун­кциональной формы и (или) разбиение совокупности на одно­родные группы. Если по каким-то причинам это сделать не­возможно или нежелательно, то для нахождения параметров уравнения регрессии можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов.


Поделиться:



Популярное:

  1. V2: Линейная модель множественной регрессии
  2. V6: Нелинейные модели регрессии
  3. Анализ влияния налогового бремени на деятельность туристского предприятия. Пути повышения эффективности работы туристского предприятия в условиях действующей налоговой системы
  4. Анализ максимизации прибыли в условиях рынка несовершенной конкуренции
  5. В городских условиях ( ОК -5, ОК-7, ОК-9, ОК-10)
  6. В условиях дуополии с неравным распределением рыночной власти между фирмами одна из них ведет себя как лидер, в то время как другая осуществляет стратегию приспособления
  7. В условиях неограниченных ресурсов
  8. В условиях новой экономической политики
  9. В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ
  10. ВЕДЕНИЕ СНАЙПЕРСКОГО ОГНЯ В ОСОБЫХ УСЛОВИЯХ
  11. Включение в модель регрессии фактора времени
  12. Влияние ошибок счислимых кординат на вычисляемый азимут. Выгодные условия наблюдений.


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 8152; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.029 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь