Построение графиков в полярных координатах

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Полярная система координат состоит из заданной фиксированной точки O, называемой полюсом, концентрических окружностей с центром в полюсе и лучей, выходящих из точки O, один из которых OX – полярная ось.

Расположение любой точки M в полярных координатах можно задать положительным числом ρ =|ОМ|, равным расстоянию от полюса до точки, и числом φ, равным величине угла ХОМ (полярный угол); ρ и φ называют полярными координатами точки M, и точку обозначают M(ρ, φ ).Для формирования графика в полярных координатах используется функция polar(φ, ρ, s), где φ – массив полярных углов, ρ – массив значений полярных радиусов точек, образующих графики, s – строка, состоящая из трех символов, которые определяют цвет линии, тип маркера и тип линии.

Пусть требуется построить график функции r(φ )=5cos(2-7φ ). При построении в полярных координатах будем изменять аргумент от 0 до 2p(рис. 20).

Необходимо сформировать массивы значений полярного угла φ и полярного радиуса r (аргументом является угол):

> > fi=0: 0.01: 2*pi;

> > r=5*cos(2-7*fi);

> > рolar(fi, r);

Можно также указать тип и цвет линий, тогда

> > fi=0: pi/200: 2*pi;

> > r=5*cos(2-7*fi);

> > рolar(fi, r, 'r*-'); ’

Рис. 20

Для построения траектории движения точки на плоскости (анимация) предусмотрена функция comet, а для построения
траектории движения точки в трехмерном пространстве – функ-
ция comet3. Это простой способ создать анимированное изображение.

Изобразим движение точки по траектории, заданной параметрически (рис. 21):

> > t=0: 0.005: 2*pi;

> > x=cos(5*t).*(t+5);

> > y=sin(5*t).*(t+5);

> > comet(x, y)

Рис. 21

Построим траекторию движения точки в пространстве (рис. 22):

> > t=-10*pi: pi/300: 10*pi;

> > x=(sin(t).^3).*cos(t);

> > y=(cos(t).^3).*sin(t);

> > comet3(x, y, t)

Рис. 22

Для более сложной анимации можно использовать команды getframe и movieview. Команда getframe захватывает активное окно изображения в один кадр фильма, а команда movieview воспроизводит результат в отдельном окне. Приведенные ниже команды воспроизводят кадры с вибрирующей струной:

> > x=0: 0.01: 1;

> > for n=0: 50

> > plot(x, sin(n*pi/5)*sin(pi*x)), axis([0, 1, -2, 2])

> > m(n+1)=getframe;

> > end

> > movieview(m)

В приведенном выше примере для организации цикла используется оператор for, работа которого будет описана далее.

Трехмерная графика

График поверхности (трехмерный график) – это график, положение точки в котором определяется значениями трех координат. Трехмерным аналогом функции plot является функция plot3, которая позволяет создавать трехмерные линии. Если есть три вектора x, y, z, задающих координаты точек в трехмерном пространстве, то при выполнении функции plot3(x, y, z), построится трехмерная линия на плоскости.

Пусть требуется построить график линии, заданной форму-лами

x=2sin(t+p/2),

y=2cos(t+p/2),

z=t, где t принадлежитдиапазону [0, 8p]

> > t=0: pi/100: 8*pi;

> > x=2*sin(t+pi/2);

> > y=2*cos(t+pi/2);

> > z=t;

> > plot3(x, y, z);

> > axis square;

> > grid on

Построилась винтовая линия (спираль) (рис. 23).

Рис. 23

Функция plot3, так же как и plot, может иметь дополнительный аргумент, задающий параметры линии (тип линии, цвет и тип маркера). Например, plot3(x, y, z, ‘g*’).

Можно также использовать команду ezplot3:

> > ezplot3('cos(2*pi*t)', 'sin(2*pi*t)', 't', [-2, 2])

Для вычерчивания каркасных поверхностей в трехмер-
ном пространстве существуют две основные функции: mesh
и surf.

Команда mesh(Z) строит прозрачную сетчатую поверхность, а команда surf(Z) –затененную, где Z – матрица, значения элементов которой определяют соответствующие координаты на графике. Построим прозрачную поверхность для единичной матрицы, задав команды:

> > Z=eye(8);

> > mesh(Z)

Результат показан на рис. 24.

Рис. 24

По главной диагонали расположены “пики” – единицы.

Аналогично, задав команду

> > surf(Z)

получим затененную поверхность (рис. 25).

Рис. 25

Для построения в трехмерном пространстве функции от двух переменных Z(X, Y) необходимо сначала с помощью векторов x и y задать прямоугольную сетку, которая будет использоваться как основание для построения трехмерной поверхности. Для этого надо воспользоваться функцией meshgrid, которая создает эту сетку из точек в прямоугольной области с заданными интервалами. Диапазоны значений по осям x и y задаются векторами x и y соответственно. Имена векторов и матриц могут различаться.

Пусть значения по осям x и y заданы векторами x и y:

> > x=[1 2 3];

> > y=[4 5 6];

Сформируем матрицы X и Y с помощью функции meshgrid:

> > [X, Y]=meshgrid (x, y)

X =

1 2 3

Y =

4 4 4

5 5 5

6 6 6

На основе векторов x и y формируются две матрицы, в которые записываются координаты узлов сетки. Матрица X содержит одинаковые строки, в которых заданы координаты X. Матрица Y содержит одинаковые столбцы, в которых заданы координаты Y. Наложение матриц X и Y позволяет получить пары (x_i и y_j), для которых в дальнейшем вычисляется значение функции Z. Значения функции в узлах сетки записываются в матрицу Z, размерность которой равна размерности матриц X и Y.

Построим график функции, которая имеет вид на заданном интервале х от -2до2и от y от -4до4с шагом, рав-
ным0, 1.

Зададим два вектора x и y, используя запись

> > x =-2: 0.1: 2;

> > y=-4: 0.1: 4;

Далее вызывается команда

> > [X, Y]=meshgrid(x, y);

Значения векторов можно указать прямо внутри команды meshgrid(-2: 0.1: 2, -4: 0.1: 4). Если оба вектора одинаковые, то можно записать: [X, Y]= meshgrid(x).

Создаётся прямоугольная сетка с шагом 0, 1, которая используется для построения трехмерной поверхности. Каждому значению x ставится в соответствие каждое значение y. Для каждой пары x_i y_j (в узлах сетки) будет вычислено значение функции Z.
В результате сформируется матрица из вычисленных значений функции. После этого можно вызвать команду для вывода изображения на экран.

Ниже приведен пример построения графика с использованием функции plot3 (рис. 26):

> > x=-2: 0.1: 2;

> > y=-4: 0.1: 4;

> > [X, Y]=meshgrid(x, y);

> > Z=2*X.*exp(-X.^2 - Y.^2);

> > plot3(X, Y, Z)

> > grid

Рис. 26

Более наглядные графики получаются с использованием функции mesh (рис. 27).

> > mesh(X, Y, Z)

Рис. 27

Линии на разных участках графика окрашены в разные цвета. Эти цвета соответствуют значениям функции. По умолчанию оттенки красного цвета соответствуют большим значениям функции, а синего – меньшим.

Можно сделать “прозрачной” каркасную поверхность, отобразив ее скрытые части, применив команду hidden off. Отмена – hidden on.

Если использовать функцию meshz(X, Y, Z), то будет видно основание, на котором построен график.

Пример построения сферы. Пусть необходимо начертить
поверхность, которая не может быть представлена выражением z=f( x, y), например сферу x²+y²+z²=1. В этом случае параметры поверхности можно задать, используя подходящую координатную систему, например, сферические координаты. Можно взять в качестве параметров вертикальную координату z и полярную координату q на плоскости x-y.

Если r обозначает расстояние до оси z, то тогда выражение
для сферы становится r² + z²=1, или , отсюда , .

Построение сферической поверхности можно выполнить командами

> > [z, t]=meshgrid(-1: 0.1: 1, (0: 0.1: 2)*pi);

Вектор значений Z Вектор значений t от 0 до 2 π

> > x=sqrt(1-z.^2).*cos(t);

> > y=sqrt(1-z.^2).*sin(t);

> > surf(x, y, z)

> > axis square

Результат приведен на рис. 28.

Рис. 28

Все трехмерные графики, которые мы строили, можно было видеть только из одной точки обзора, т.е. позиции, с которой мы видим трехмерное изображение. В ML можно изменять точку обзора. Эта точка характеризуется двумя параметрами: азимутом (Az) и углом возвышения (El). Азимут определяет угол поворота вокруг оси z и отсчитывается от оси, противоположной y, в направлении против часовой стрелки. Угол возвышения – это угол между отрезком, направленным из начала координат в точку обзора, и плоскостью xy. Точку обзора можно менять программно,
используя функцию view (Az, El) или более просто, используя
специальную кнопку на панели инструментов графического окна Figure – Rotate 3D.

Программирование

Система ML предоставляет пользователю для решения различных задач мощный язык программирования высокого уровня, понятный непрофессиональным программистам. До сих пор все вычисления и операции мы производили в режиме прямых вычислений. Для эффективной работы с большими наборами команд этого недостаточно. Гораздо лучше было бы записать этот набор команд в виде программы и сохранить ее на диске. Программа представляет собой последовательность команд, записанных
на языкеML(программный код), и сохраняется на диске в виде
m-файла.

Создать m-файл можно с помощью любого текстового редактора, но в ML предусмотрен собственный встроенный редактор EDITOR, который имеет удобные средства для создания и отладки программ.Написанный текст программы студенты должны сохранять в файле на диске, куда разрешена запись, задав ему имя ( имя файла и имя каталога не должны содержать русских букв). Этот файл будет иметь расширение.m. Чтобы войти в текстовый редактор, надо выбрать пункт меню File, New, m-file. В редакторе m-файлов можно не только набрать текст программы, но и запустить ее на выполнение. Для сохранения программы на диске надо выбрать пункт меню File, Save as, < имя m-файла> .

m-файлы могут быть двух видов: файл-программа, или Script-файл (Script m-File), и файл-функция (Function m-File).

Файлы-программы называют Script-файлами, или сценариями. Они состоят из последовательности команд и не имеют входных и выходных параметров. Они обычно используются для автоматизации выполнения большого набора команд. Вызов Script-файла осуществляется просто указанием его имени.

В файлах-функциях описываются функции, определяемые пользователем. Они могут иметь входные и выходные значения. Обращение к файлу-функции осуществляется указанием имени и в круглых скобках списка параметров.

Операторы языка

Программа может иметь комментарии. Символ %означает, что далее следует поясняющий текст. Все комментарии начинаются с этого знака. Комментарий не является исполняемым оператором.

Вывод комментариев на экран при выполнении программы обеспечивает операторecho on. Отменяет вывод комментариев на экран оператор echo off. Оператор pauseприостанавливает выполнение программы и ожидает нажатия любой клавиши для продолжения. Оператор pause(n) создает паузу в n секунд.

Операторами языка можно пользоваться как при создании программ, так и в режиме прямых вычислений.

Операторы ввода/вывода

Интерактивное взаимодействие пользователя с программой реализуется с помощью функций input и display.

Оператор input(< текст> ) обеспечивает ввод данных с клавиатуры. Текст, указанный в качестве параметра, заключается в апострофы. Он отображается на экране при вводе. Обращение к этой функции имеет вид

< имя переменной> = input(< текст> )

Например, при выполнении команды x=input(‘вв. x= ’) на экран выводится текст ’вв. х=’ и ожидается ввод данных с клавиатуры. Введенное данное присваивается переменной х.

При наборе в командном окне

> > r=input('Введите радиус ');

на экране получим

< < Введите радиус> >

Далее ожидается ввод значения переменной r.

Если в текст выводимой строки ввести символы '\ n’, то курсор будет перемещен на следующую строку:

> > r=input('Введите \n радиус ');

< < Введите

радиус> >

Операторdisplay(< параметр> ) или disp(< параметр> ) выводит значение переменной или константы.

disp(A) выведет матрицу А, причем выводятся только значения элементов, а текст ‘А=’, выводиться не будет.

disp(‘Привет’) – на экране будет выведено слово «Привет».

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒