Динамические характеристики элементов САР

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Для выделения простейших элементов и отличия их друг от друга на вход элементов подают одинаковые типовые сигналы и по реакции элементов, то есть по изменению выходной величины во времени, судят о свойствах элементов и относят их к какому-либо типу.

Основными типами входных сигналов являются: однократное ступенчатое возмущение; однократный импульс и гармонические колебания.

1. Однократное ступенчатое возмущение представляет из себя мгновенное изменение входного сигнала х_вх на какую-то величину. Изменение выходного сигнала х_вых называют кривой разгона или разгонной характеристикой.

Рис. 20.

Разгонные характеристики являются основным способом экспериментального определения свойств элементов ввиду их наглядности.

2. Однократный импульс представляет из себя мгновенное изменение входного сигнала х_вх на какую-либо величину, выдержки этой величины определенное время t и снятие возмущения. Изменение выходной величины х_вых во времени называют импульсной характеристикой (рис. 19).

Рис. 21.

3. Гармонические колебания представляют из себя изменение входного сигнала х_вх в виде синусоиды. Тогда, через какое-то время, на выходе так же установятся гармонические колебания, но амплитуда их будет другая, и они будут сдвинуты по времени относительно входных колебаний. Если изменять частоту колебаний, то амплитуда выходных колебаний и сдвиг по времени будут зависеть от частоты. Зная амплитуду и частоту входных колебаний и записывая на выходе для каждой частоты амплитуду и сдвиг по времени, получают частотные характеристики элемента, основными из которых являются:

¾ амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

¾ фазо-частотная характеристика (ФЧХ);

¾ амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Если w - частота колебаний, то

;

Отношение называют частотной передаточной функцией элемента – W(jw)

. (7.1)

Тогда:

1. Амплитудно-частотная характеристика элемента (АЧХ) равна

(7.2)

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) - j(w).

3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика – W(jw) – это и есть частотная передаточная функция элемента

(7.3)

Частотную передаточную функцию для частоты w₁ можно представить вектором в полярных координатах или в комплексной плоскости

Рис. 18.

Re(w) – действительная часть комплексного числа; J_m(w) – мнимая часть комплексного числа.

;

; (7.4)

. (7.5)

Это основные формулы для расчета частотных характеристик элемента.

Частотные передаточные функции получают из обычных передаточных функций элементов заменой оператора р на jw. Это равносильно переходу от преобразования Лапласа к преобразованиям Фурье.

Типовые динамические элементы

(простейшие элементы)

Различают следующие типы элементов:

1. Позиционные.

2. Интегрирующие.

3. Дифференцирующие.

4. Элементы с запаздыванием.

Рассмотрим эти элементы по следующим характеристикам: уравнение; передаточная функция; частотные характеристики; разгонные характеристики.

Позиционные элементы.

Подразделяются на следующие виды:

1) пропорциональные;

2) апериодические (инерционные) первого порядка;

3) апериодические (инерционные) второго порядка;

4) колебательные.

Пропорциональный элемент (усилительный)

Уравнение:

х_вых=k× х_вх, (7.6)

где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция

; ;

Частотные характеристики

(7.7)

. (7.8)

Сдвига по фазе нет.

Разгонная характеристика показана на рис. 23. Она строится по уравнению элемента

Рис. 23. Разгонная характеристика t₀ – момент нанесения возмущения; t – текущее время

Апериодический (инерционный) элемент первого порядка

Дифференциальное уравнение элемента:

; (7.9)

где k – коэффициент усиления; Т – постоянная времени.

Рис. 24. Разгонная характеристика

Разгонная характеристика получается из решения дифференциального уравнения элемента

. (7.10)

Следовательно, разгонная характеристика элемента представляет собой экспоненту. Постоянная времени Т представляет собой отрезок времени, отсекаемый проекцией касательной, проведенной к кривой разгона в начальной точке при t₀. При t=¥ х_вых устанавливается на новом значении х_{вых, уст}. Уравнение статики элемента получается из дифференциального уравнения,

из которого легко получают коэффициент усиления k по экспериментальным данным.

Передаточная функция получается из дифференциального уравнения

. (7.11)

Частотная передаточная функция получается заменой оператора р на jw

где ; .

Амплитудно-частотная характеристика

; (7.12)

. (7.13)

При частоте w, изменяющейся от 0 до ¥ А(w) изменяется от k до 0, а j(w) ® от 0 до (-p/2). Отрицательное значение j(w) означает, что в элементе происходит запаздывание в прохождении сигнала.

Примеры этого элемента:

1) одноемкостные статические объекты (рис. 25а);

2) термопары и термометры сопротивления (рис. 25б);

3) электрическая цепь, содержащая емкость и электрическое сопротивление (рис. 25в).


а)	б)	в)

Рис. 25. Примеры инерционных элементов первого порядка:

а – одноемкостный статический объект регулирования уровня воды; б – термопара;

в – электрическая цепочка сопротивление R – емкость C

Апериодический (инерционный) элемент второго порядка

Дифференциальное уравнение элемента:

. (7.14)

При определенном соотношении коэффициентов Т₁ и Т₂ получим апериодический элемент второго порядка. Корни уравнения – действительные числа. Операторный вид уравнения:

Характеристическое уравнение

. (7.15)

Его корни получаются из решения этого квадратного алгебраического уравнения

, где р_{1, 2} – действительный числа при соотношении Т₁> 2Т₂. Это условие соотношения коэффициентов, при котором корни уравнения (6.38) являются действительными числами..

Разгонная характеристика элемента

Рис. 26. Разгонная характеристика инерционного элемента второго порядка

При замене этого элемента на апериодический элемент 1^го порядка, в точке перегиба кривой разгона проводят касательную, ограниченную начальным значением х_{вых, 0} и его конечным значением х_{вых, уст}. Подкасательная (проекция касательной на ось времени) численно равна постоянной времени Т. Промежуток времени от t₀ до начал отсчета постоянной времени Т называют переходным запаздыванием t_п.

Передаточная функция элемента получается из уравнения, записанного в операторном виде

. (7.16)

Полином по р в знаменателе может быть разложен на множители. Тогда

; (7.17)

где Т₃ и Т₄ – новые постоянные времени. Связь постоянных времени и Т₁ с Т₃ и Т₄ получается раскрытием скобок в знаменателе передаточной функции ; .

Тогда передаточную функцию апериодического элемента 2-го порядка можно представить в виде

. (7.18)

То есть, этот элемент может быть представлен последовательным соединением двух апериодических элементов 1-го порядка с постоянными времени Т₃ и Т₄ и коэффициента усиления k и 1.

Такое представление упрощает получение частотных характеристик апериодического элемента 2-го порядка

;

Следовательно, АЧХ будет

, (7.19)

а ФЧХ –

. (7.20)

;

; (7.21)

; ; . (7.22)

Этот метод позволяет легко определить АЧХ и ФЧХ сложных элементов, которые могут быть представлены последовательным соединением простейших элементов.

Колебательные элементы

Уравнение элемента

Корни этого уравнения – комплексные числа. Соотношения между постоянными времени Т₁ и Т₂ следует из решения характеристического уравнения

При Т₁< 2Т₂ имеем комплексные корни

. (7.23)

Из этого следует, что процесс изменения х_вых во времени будет колебательным

Разгонная характеристика

Рис. 27. Разгонная характеристика колебательного элемента

Примером колебательных элементов могут служить пневматические, гидравлические и электрические демпферы (гасители колебаний). На рис. 28 показана электрическая цепочка, состоящая из индуктивности L, сопротивления R и емкости С.

Рис. 28. Пример колебательного элемента

Интегрирующие элементы

Различают два типа интегрирующих элементов:

1) идеальный;

2) реальный.

1. Идеальный интегрирующий элемент

Уравнение элемента

. (7.24)

Его решение

. (7.25)

При х_вх=const , то есть х_вых будет линейно изменяться с течением времени.

При t=Т имеем х_вых=х_вх.

Передаточная функция

; (7.26)

Частотная передаточная функция

; ; .

Частотные характеристики

; . (7.27)

Рис. 29. Разгонная характеристика идеального интегрирующего элемента

Этот элемент, так же, как и предыдущие, дает запаздывание в прохождении сигнала на фазовый угол j(w). Об этом говорит знак «–» - отрицательные углы j(w).

Примеры: 1) одноемкостные астатические объекты;

2) исполнительные механизмы систем регулирования малой мощности.

2. Реальный интегрирующий элемент

Уравнение

. (7.28)

Разгонная характеристика

Рис. 30. Разгонная характеристика реального интегрирующего элемента

Передаточная функция получается из записи дифференциального уравнения в операторном виде

(7.29)

Следовательно, этот элемент является сложным и его можно представить последовательным соединением идеального интегрирующего элемента и апериодического элемента первого порядка с постоянной времени и коэффициентом усиления 1.

Частотные характеристики

(7.30)

Примером этих элементов может служить двухемкостный астатический объект, представленный на рис. 31.

Рис. 31.

Изменение уровня воды во втором баке Н₂ будет происходить по разгонной характеристике (рис. 25).

Дифференцирующие элементы

Различают два типа дифференцирующих элементов:

1) идеальный;

2) реальный.

Идеальный дифференцирующий элемент

Такого элемента практически не существует. Он введен как теоретическое понятие, позволяющее упрощать рассмотрение поведения систем регулирования.

Уравнение элемента

, (7.31)

где Т_д – постоянная времени дифференцирования (время дифференцирования).

Разгонная характеристика элемента

Рис. 32. Разгонная характеристика идеального дифференцирующего элемента

Так как х_вх=const до t₀ и после t₀, то производная в момент времени t₀ стремится к ¥ и тут же возвращается в нуль.

Передаточная функция

. (7.32)

Частотные характеристики (р®jw)

; ; . (7.33)

; .

Следовательно, этот элемент дает опережение сигнала по фазе на угол p/2.

Реальный дифференцирующий элемент

Уравнение

. (7.34)

Решением этого уравнения является функция . Отсюда разгонная характеристика элемента

Рис. 33. Т_д – время дифференцирования

Передаточная функция элемента

. (7.35)

Следовательно, реальный дифференциальный элемент можно представить как последовательное соединение идеального дифференцирующего элемента и апериодического элемента первого порядка с постоянной времени Т_д и коэффициентом усиления k=1.

Частотные характеристики

;

; (7.36)

;

(7.37)

Примеры элемента:

1. Электрическая цепочка, содержащая емкость С и сопротивление R, когда выходной сигнал снимается с сопротивления R.

Рис. 34. Пример реального дифференцирующего элемента

2. Элементы с такой электрической цепочкой используются при создании ПИ- закона регулирования (пропорционально-интегрального), включением их в качестве обратной связи регулятора.

3. Эти элементы используются при создании дифференцирующих устройств и динамических связей между регуляторами.

Элементы с запаздыванием

Это элементы, передающие входной сигнал в неизменном виде на какое-либо расстояние (х_вых = х_вх). К ним относятся различного вида транспортеры для перемещения сыпучего груза, длинные водоводы, паропроводы, газопроводы.

Пример – ленточный транспортер, для передачи сыпучих материалов (рис. 35).

Рис 35. Ленточный транспортер L – расстояние от Р.О. до выходного бункера, м; v – скорость ленты, м/с; G₁, G₂ – расход сыпучего материала до и после перемещения Р.О.