При выполнении контрольных работ следует номер рисунка выбирать по последней цифре шифра, а условие задачи в соответствующей таблице по предпоследней цифре шифра зачетной книжки.

Указания

Решение каждой из задач необходимо начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, записывается условие и выполняется чертеж в соответствующем масштабе. Текст задачи не переписывается. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, с нанесением всех размеров и обозначений. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, проверяться не будут, и будут возвращены для переделки

Пример: если шифр 892341, то при решении задачи С1 следует взять рисунок С1.1, а условие №4.

Список литературы

Теоретическая механика в примерах и задачах/ М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. Том 1. − М.: Наука, 1990.
Краткий курс теоретической механики/ Е.М. Никитин. − М.: Наука, 1971.
Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. − М.: Физматгиз, 1963.
Курс теоретической механики/ А.А. Яблонский. Ч1. − М.: Наука, 1986.

1. Векторный способ задания движения точки

Задать движение − это значит уметь определить положение точки в каждый момент времени. Векторный способ задания движения заключается в задании вектор функции: = (t). Подставляя в нее значения времени t ; t ; ..., получим векторы = (t ), = (t ), .., которые определяют положение точки в эти моменты времени (рис.1). Построить вектор можно только в некоторой системе координат. Векторный способ подразумевает наличие системы координат, но не конкретизирует ее, поэтому им пользуются при выводе теоретических положений.

Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией.

2. Координатный способ задания движения точки

При этом способе задается три функции (при движении в пространстве), определяющие три координаты точки в каждый момент времени. Системы координат могут быть разными, например: прямоугольная декартова, цилиндрическая или сферическая система координат. В первом случае задается: х=х(t); y=у(t); z=z(t) − это и есть уравнения движения точки (рис.2). в цилиндрической системе координат (рис.3) задаются: ρ = ρ (t); φ = φ (t); z=z(t). В сферической (рис.4): φ = φ (t); θ = θ (t); r=r(t). если движение задано в какой - то из этих систем координат, то всегда можно перейти к заданию движения в любой из двух других.

3. Естественный способ задания движения точки

Он заключается в задании (рис.5):

1) траектории точки: у = f(х);

2) начала отсчета (т. О);

3) положительного направления отсчета;

4) закона движения s = s(t), где s − дуговая

координата.

Естественные оси координат

Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6): касательная, главная нормаль, бинормаль.

Единичный вектор касательной − (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги.

Соприкасающаяся плоскость − предельное положение плоскости, проходящей через т. М₁, лежащую на кривой, и касательную в т. М, при стремлении т. М₁ к т. М. Единичный вектор главной нормали перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость ( , ) называется спрямляющей.

5. Скорость при векторном способе задания движения

Пусть за время Δ t точка переместилась из М в М (рис.7), вектор Δ − вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δ t называется вектор _ср = Δ /Δ t. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю:

= lim Δ /Δ t.

Δ t

Из рис. 7 видно, что (t) + Δ = (t+Δ t),

тогда Δ = (t+Δ t) - (t), и

= lim Δ /Δ t = lim( (t+Δ t) - (t)) / Δ t = d / dt.

Δ t Δ t

то есть скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Поскольку вектор Δ в пределе занимает положение касательной, то и вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории. Скорость измеряется в м/с.

6. Ускорение при векторном способе задания движения

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: _ср=Δ /Δ t.

Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.

= lim Δ /Δ t = lim( (t+ Δ t) - (t))/ Δ t.

Δ t Δ t

Ускорение равно первой производной от скорости, или второй производной от радиуса вектора по времени:

= d /dt = d /dt .

Ускорение _ср, а значит и ускорение в данный момент времени , направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с².

7. Скорость при координатном способе задания движения

Известно, что =d /dt, но =x· +y· +z· , тогда (т.к. , , - const)

= dx/dt· +dy/dt· +dz/dt· . (7.1)

С другой стороны, = v · +v · +v · . (7.2)

сравнивая (1) и (2) получим: v_х = dx/dt; v_у = dy/dt; v = dz/dt.

то есть: проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции, можно найти модуль скорости:

= ,

а также направляющие косинусы:

8. Ускорение при координатном способе задания движения

Известно, что = d /dt, но = v_x· + v_y· + v_z· , тогда

= dv_x /d t · +dv_y/d t · +dv_z /dz · , (8.1)

с другой стороны, = а_х · + а_у· + а_z· . (8.2)

сравнивая (8.1) и (8.2), получим:

а _x =dv _x /dt =d x / dt ; а_y=dv_y/ dt =d y / dt ; а =dv_z /dt =d z / dt .

то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени.

Модуль ускорения | | = ; направляющие косинусы:

Формула Эйлера

Пусть за время Δ t тело повернулось на угол Δ φ , тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δ s (рис.11а). Найдем скорость т.М

v_M = lim Δ s / Δ t = lim (R ∙ Δ φ )/ Δ t = R∙ ω.

Δ t Δ t

Ускорение касательное

a _τ = d v_M /dt = d(R ∙ ω )/dt = R ∙ dω /dt = R ∙ ε .
Ускорение нормальное

a_n= v_M /ρ = ω ²R²/R = ω ²R.

тогда полное ускорение

а_М = = R .

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R, т. к. tgα = a_τ/ a_n = ε / ω ².

Скорость т. М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера. Здесь − радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим

=d /dt=d /dt× + × d /dt = × + × ( × ).

Можно проверить, что первое слагаемое есть a _τ, а второе − a_n.

Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t₁= π /6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются: скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁= π /6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что масштабы должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые векторы должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра

	3sin(2t) + 1	2 - 2cos(2t)
	2sin²(2t) -2	3cos²(2t)-1
	4sin(2t) - 1	2cos(4t) +2
	3 -4 cos(2t)	3sin(2t) - 1
	4cos²(2t)-2	2sin²(2t) + 1
	cos(4t) +1	2sin(2t) - 3
	2sin²(2t) -1	3 - 2cos(2t)
	2cos(4t) + 1	2cos(4t) +1
	3cos²(2t)-2	2sin²(2t)+1
	2+3cos(4t)	2 – 2cos(4t)

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

(x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁= 1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Определяем положение точки в заданный момент времени.

при t = 1c: Изображаем эту точку на рисунке (т.М).

3. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси.

при t = 1c:

4. Аналогично найдем ускорение точки:

при t = 1c: a_x = 0, 87 см/с², a_y = - 0, 12 см/с², a = 0, 88 см/с².

5. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c a_τ= 0, 66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a и a_τ, получим, что при t = 1 c: a_n = 0, 58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории Подставляя сюда числовые значения v и a_n , найдем, что при t = 1 c ρ = 3, 05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μ _v = 0, 02 , тогда l _vx = │ v_x │ / μ _v ≈ 56 мм; l _vy = │ v_y │ / μ _v ≈ 37 мм;

или μ _v = 0, 01 , тогда l _vx= │ v_x│ / μ _v = 111 мм, l _vy= │ v_y│ / μ _v = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μ _a = 0, 01 , тогда:

l _ax = │ a_x │ / μ _a = 0, 87/0, 01 = 87 мм, l _ay = │ a_y │ / μ _a = 0, 12/0, 01 = 12 мм;

l _aτ = │ a_τ │ / μ _a = 0, 66/0, 01 = 66 мм, l _an = │ a_n │ / μ _a = 0, 58/0, 01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки М.

Примечание. при построении следует учесть, что l _ay необходимо отложить вниз, так как: a_y < 0, а a_τ – по направлению скорости, т. к. a_τ> 0.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1− 3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей; зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0− К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r₂= 6 см; R₂=8 см; у колеса 3 – r₃= 12 см; R₃ = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: − закон вращения колеса 1; s₄(t) – закон движения рейки 4; ω ₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2; v₁(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ выражено в радианах; s − в сантиметрах; t – в секундах). Положительное направление для φ и ω − против хода часовой стрелки; для s₄, и v₄, – вниз.

Определить в момент времени t₁= 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v₁ – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
	s₄ = 4( 7t² – t³)	v_B, v_C	ε ₂, a_A, a₁
	v₄=2(t² - 3)	v_A, v_C	ε ₃, a_B, a₁
	φ ₂ = 2t³- 9 t²	v₄, ω ₃	ε ₂, a_A, a₄
	ω ₂ = 7t – 3t²	v₁, ω ₃	ε ₃, a_B, a₄
	φ ₃ =3t –t³	v₄, ω ₂	ε ₂, a_A, a₄
	ω ₃ =5t -2t²	v₁, v_B	ε ₃, a_B, a₁
	φ ₂ = 2(t³-3t)	v₄, ω ₂	ε ₃, a_A, a₄
	v₄=3t²- 8	v_A, ω ₃	ε ₂, a_B, a₁
	s₁ =2t³- 5t²	v ₄, ω ₂	ε ₃, a_B, a₄
	ω ₃ = 8t – 3t²	v₁, v_B	ε ₂, a_A, a₄

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 c. Определить: ω ₃, v₄, ε ₃, α _A в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость

v₁= ds₁/dt = 9t². (1)

Т. к. рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂= v₁, или ω ₂R₂= v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂= v₃, или ω ₂R₂= ω ₃R₃. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t₁= 3 c получим ω ₃= 6, 75c^-1.

2. Определим v₄. Т. к. v₄= v_B = ω ₃r₃, то при t₁= 3 c: v₄= 20, 25 см/с.

3. Определяем ε ₃. Учитывая, что ε ₃= =1, 5t, при t₁=3 с получим ε ₃= 4, 5 с^-2.

4. Определяем a_A. Для т. А: , где численно Тогда, для момента времени t₁= 3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; т. D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l₁= 0, 4 м; l₂= 1, 2 м; l₃ = 1, 4 м; l₄ = 0, 6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0− 4) или в табл. К3б (для рис. 5− 9); при этом в табл. К3а ω ₁ и ω ₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DE против хода часовой стрелки, а на рис. 9 – по ходу часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от т. В к т. b ( рис. К3.5− К3.9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если т. А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если т. В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость v_B определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
α	β	γ	φ	θ	ω ₁, 1/с	ω ₄, 1/с	υ точек	ω звена	a точки	ε звена
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия

Углы, град

Дано

Найти

ω ₁, 1/с

ε ₁, 1/с²

υ _В, м/с

α _В, м/с²

v точек

ω звена

a точки

ε звена

B, E

A, E

B, E

A, E

B, E

D, E

B, E

A, E

B, E

D, E

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a=60º; b=150º; g=90º; j=30º; q=30º; AD = DB; l₁= 0, 4 м; l₂= 1, 2 м; l₃= 1, 4 м; w₁= 2 с^-1; e₁= 7 с^-2 (направление w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: v_B, v_E, w₂, a_B, e₃.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б).

2. Определяем v_В. Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v_В, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что т. В принадлежит звену АВ и одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Т. Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость т. D, принадлежащей одновременно стержням АВ и DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это т. С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из т. А и В ( перпендикулярен стержню 1). По направлению вектора определяем направление вращения стержня АВ вокруг МЦС − С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему т. D и C₃, и направлен в сторону вращения. Величину v_D найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₃D и C₃B, заметим, что прямоугольный, т. к. острые углы в нем равны 30º и 60º, и что C₃B=АВsin30º =0, 5AB=BD. Тогда является равносторонним и C₃B = С₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как т. Е принадлежит DE и одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС − С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление вращения стержня DE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону вращения этого стержня. Из рис. К3б видно, что Составив теперь пропорцию, находим (5)

4. Определяем w₂. Т. к. МЦС стержня 2 известен (т. С₂), то

(6)

5. Определяем Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию т. В. По данным задачи можем определить где численно:

(7)

12 3 Следующая ⇒