Скорость при естественном способе задании движения

Известно: = lim Δ /Δ t = lim Δ /Δ s ∙ limΔ s/ Δ t.

Δ t Δ s Δ t

Так как первый предел по модулю равен единице, а направлен по касательной, то он равен (тау); обозначим: ds/dt = v _τ, тогда = v _τ ∙ .

10. Ускорение при естественном способе задания движения

Известно, что = d / dt = d v _τ / dt ∙ + v _τ ∙ d /dt. (10.1)
Можно показать, что d /dt = v _τ /ρ ∙ . Тогда формула (10.1) примет вид

= d v _τ / dt ∙ + v _τ/ ρ ∙ (10.1')

с другой стороны, = a _τ ∙ + a_n ∙ + а_b ∙ . (10.2)
сравнивая (10.1') и (10.2), получим

a _τ = d v _τ / dt; a_n = v _τ/ ρ ; а_b = 0.

здесь ρ - радиус кривизны траектории, величина обратная кривизне k: ρ = 1/ k.

По определению k = lim ε / Δ s, где ε - угол смежности (угол между касатель -

Δ s

ными в двух точках кривой, лежащих на расстоянии Δ s). Радиус кривизны − это радиус максимальной окружности, которую можно вписать в кривую в данной точке. Радиус кривизны окружности равен радиусу окружности, у прямой он равен ∞.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение тела, при котором любая прямая, жестко соединенная с ним, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают совпадающие при наложении траектории и имеют в данный момент времени одинаковые скорости и ускорения.

Пусть тело (рис.9), двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А'В'. Фигура АВА'В' - параллелограмм, т.к. стороны АВ и А'В' равны и параллельны. Следовательно, перемещения точек А и В также будут равны и параллельны, т.е. Δ = Δ . Из рисунка видно, что траектория т. В получается из траектории т. А смещением на , т.е. траектории совпадают при наложении. Взяв два раза производную от равенства = , получим: = ; = . Что и требовалось доказать.

Тоесть при изучении поступательного движения тела достаточно изучить движение хотя бы одной его точки, а для этого можно использовать теорию, полученную в кинематике точки.

Вращательное движение. Угловые скорость и ускорение

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором имеются две точки, остающиеся все время неподвижными .

Линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения. Все точки, лежащие на оси вращения, неподвижны. Положение вращающегося тела можно задать с помощью двугранного угла φ (рис.10) между неподвижной полуплоскостью (н.п.) и подвижной полуплоскостью (п.п.), жестко связанной с телом. Угол φ положителен, если для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси вращения, поворот виден происходящим против часовой стрелки. Для задания вращения надо задать функцию, описывающую изменение угла φ во времени: φ =φ (t). Это и есть закон вращательного движения. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость ω (рад/с; 1/с) и угловое ускорение ε (рад/с ; 1/с²). Эти величины вводятся по аналогии с понятиями скорости и ускорения точки.

Угловая скорость ω (омега) есть предел, к которому стремится отношение приращения угла поворота Δ φ к промежутку времени Δ t, за которое это приращение произошло, при стремлении Δ t к нулю. Угловое ускорение ε (ипсилон) есть предел отношения приращения угловой скорости к промежутку времени, при стремлении последнего к нулю. Очевидно, эти пределы равны первым производным от угла и угловой скорости по времени, то есть

ω = dφ /dt; ε = dω /dt = d²φ /dt².

В технике часто угловая скорость задается в об/мин. В этом случае она называется частотой вращения и обозначается буквой n. Связь между ω и n имеет вид

ω =π × n /30.

Угловые скорость и ускорение можно представить как векторы. Вектор направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки. Вектор направлен в сторону вектора , если вращение ускоренное, и в противоположную сторону, если замедленное (рис.10).

Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении.

Формула Эйлера

Пусть за время Δ t тело повернулось на угол Δ φ , тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δ s (рис.11а). Найдем скорость т.М

v_M = lim Δ s / Δ t = lim (R ∙ Δ φ )/ Δ t = R∙ ω.

Δ t Δ t

Ускорение касательное

a _τ = d v_M /dt = d(R ∙ ω )/dt = R ∙ dω /dt = R ∙ ε .
Ускорение нормальное

a_n= v_M /ρ = ω ²R²/R = ω ²R.

тогда полное ускорение

а_М = = R .

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R, т. к. tgα = a_τ/ a_n = ε / ω ².

Скорость т. М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера. Здесь − радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим

=d /dt=d /dt× + × d /dt = × + × ( × ).

Можно проверить, что первое слагаемое есть a _τ, а второе − a_n.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒