Теорема. скорость точки в абсолютном движении геометрически складывается из переносной и относительной скоростей.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Например, на рис. 21 т. М совершает сложное движение: вращается вместе с диском – переносное движение и двигается по хорде диска – относительное движение. При этом переносная скорость v_e направлена перпендикулярно отрезку ОМ в сторону переносной угловой скорости ω _e. величина переносной скорости может быть найдена по формуле v_e = ω _e∙ OM. Абсолютную скорость точки М можно найти по теореме косинусов ,

где α – угол между векторами v_e и v_r.

Теорема о сложении ускорений при сложном движении

Теорема. абсолютное ускорение точки геометрически складывается из переносного, относительного и Кориолисова ускорений.

где – переносное ускорение; – относительное ускорение; – ускорение Кориолиса: . модуль ускорения Кориолиса можно найти по формуле

=2| ω _e |∙ |v_r |∙ sinβ, где β – угол между векторами и . в рассматриваемом случае этот угол равен 90º, т. к. вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Для определения направления можно пользоваться правилом векторного умножения, или правилом Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной линейной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой плоскости на угол 90° в направлении переносной угловой скорости.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1) = 0; т.е. переносное движение будет поступательным;

2) = 0; т.е. точка неподвижна по отношению к подвижной системе отсчета;

3. ; т.е. точка движется параллельно оси переносного вращения.

Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t₁= π /6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются: скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁= π /6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что масштабы должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые векторы должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра

	3sin(2t) + 1	2 - 2cos(2t)
	2sin²(2t) -2	3cos²(2t)-1
	4sin(2t) - 1	2cos(4t) +2
	3 -4 cos(2t)	3sin(2t) - 1
	4cos²(2t)-2	2sin²(2t) + 1
	cos(4t) +1	2sin(2t) - 3
	2sin²(2t) -1	3 - 2cos(2t)
	2cos(4t) + 1	2cos(4t) +1
	3cos²(2t)-2	2sin²(2t)+1
	2+3cos(4t)	2 – 2cos(4t)

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

(x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁= 1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Определяем положение точки в заданный момент времени.

при t = 1c: Изображаем эту точку на рисунке (т.М).

3. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси.

при t = 1c:

4. Аналогично найдем ускорение точки:

при t = 1c: a_x = 0, 87 см/с², a_y = - 0, 12 см/с², a = 0, 88 см/с².

5. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c a_τ= 0, 66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a и a_τ, получим, что при t = 1 c: a_n = 0, 58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории Подставляя сюда числовые значения v и a_n , найдем, что при t = 1 c ρ = 3, 05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μ _v = 0, 02 , тогда l _vx = │ v_x │ / μ _v ≈ 56 мм; l _vy = │ v_y │ / μ _v ≈ 37 мм;

или μ _v = 0, 01 , тогда l _vx= │ v_x│ / μ _v = 111 мм, l _vy= │ v_y│ / μ _v = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μ _a = 0, 01 , тогда:

l _ax = │ a_x │ / μ _a = 0, 87/0, 01 = 87 мм, l _ay = │ a_y │ / μ _a = 0, 12/0, 01 = 12 мм;

l _aτ = │ a_τ │ / μ _a = 0, 66/0, 01 = 66 мм, l _an = │ a_n │ / μ _a = 0, 58/0, 01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки М.

Примечание.при построении следует учесть, что l _ay необходимо отложить вниз, так как: a_y < 0, а a_τ – по направлению скорости, т. к. a_τ> 0.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1− 3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей; зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0− К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r₂= 6 см; R₂=8 см; у колеса 3 – r₃= 12 см; R₃ = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: − закон вращения колеса 1; s₄(t) – закон движения рейки 4; ω ₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2; v₁(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ выражено в радианах; s − в сантиметрах; t – в секундах). Положительное направление для φ и ω − против хода часовой стрелки; для s₄, и v₄, – вниз.

Определить в момент времени t₁= 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v₁ – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
	s₄ = 4( 7t² – t³)	v_B, v_C	ε ₂, a_A, a₁
	v₄=2(t² - 3)	v_A, v_C	ε ₃, a_B, a₁
	φ ₂ = 2t³- 9 t²	v₄, ω ₃	ε ₂, a_A, a₄
	ω ₂ = 7t – 3t²	v₁, ω ₃	ε ₃, a_B, a₄
	φ ₃ =3t –t³	v₄, ω ₂	ε ₂, a_A, a₄
	ω ₃ =5t -2t²	v₁, v_B	ε ₃, a_B, a₁
	φ ₂ = 2(t³-3t)	v₄, ω ₂	ε ₃, a_A, a₄
	v₄=3t²- 8	v_A, ω ₃	ε ₂, a_B, a₁
	s₁ =2t³- 5t²	v ₄, ω ₂	ε ₃, a_B, a₄
	ω ₃ = 8t – 3t²	v₁, v_B	ε ₂, a_A, a₄

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 c. Определить: ω ₃, v₄, ε ₃, α _A в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость

v₁= ds₁/dt = 9t². (1)

Т. к. рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂= v₁, или ω ₂R₂= v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂= v₃, или ω ₂R₂= ω ₃R₃. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t₁= 3 c получим ω ₃= 6, 75c^-1.

2. Определим v₄. Т. к. v₄= v_B = ω ₃r₃, то при t₁= 3 c: v₄= 20, 25 см/с.

3. Определяем ε ₃. Учитывая, что ε ₃= =1, 5t, при t₁=3 с получим ε ₃= 4, 5 с^-2.

4. Определяем a_A. Для т. А: , где численно Тогда, для момента времени t₁= 3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; т. D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l₁= 0, 4 м; l₂= 1, 2 м; l₃ = 1, 4 м; l₄ = 0, 6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0− 4) или в табл. К3б (для рис. 5− 9); при этом в табл. К3а ω ₁ и ω ₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DE против хода часовой стрелки, а на рис. 9 – по ходу часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от т. В к т. b ( рис. К3.5− К3.9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если т. А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если т. В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость v_B определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
α	β	γ	φ	θ	ω ₁, 1/с	ω ₄, 1/с	υ точек	ω звена	a точки	ε звена
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия

Углы, град

Дано

Найти

ω ₁, 1/с

ε ₁, 1/с²

υ _В, м/с

α _В, м/с²

v точек

ω звена

a точки

ε звена

B, E

A, E

B, E

A, E

B, E

D, E

B, E

A, E

B, E

D, E

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a=60º; b=150º; g=90º; j=30º; q=30º; AD = DB; l₁= 0, 4 м; l₂= 1, 2 м; l₃= 1, 4 м; w₁= 2 с^-1; e₁= 7 с^-2 (направление w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: v_B, v_E, w₂, a_B, e₃.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б).

2. Определяем v_В. Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v_В, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что т. В принадлежит звену АВ и одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Т. Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость т. D, принадлежащей одновременно стержням АВ и DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это т. С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из т. А и В ( перпендикулярен стержню 1). По направлению вектора определяем направление вращения стержня АВ вокруг МЦС − С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему т. D и C₃, и направлен в сторону вращения. Величину v_D найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₃D и C₃B, заметим, что прямоугольный, т. к. острые углы в нем равны 30º и 60º, и что C₃B=АВsin30º =0, 5AB=BD. Тогда является равносторонним и C₃B = С₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как т. Е принадлежит DE и одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС − С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление вращения стержня DE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону вращения этого стержня. Из рис. К3б видно, что Составив теперь пропорцию, находим (5)

4. Определяем w₂. Т. к. МЦС стержня 2 известен (т. С₂), то

(6)

5. Определяем Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию т. В. По данным задачи можем определить где численно:

(7)

Вектор направлен от т. А к т. О₁, направлен перпендикулярно АО₁, вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством (8)

Изображая на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя w₃ с помощью построенного МЦС − С₃ стержня 3, получим:

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения a_B и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси. Чтобы определить a_B,спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим . (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

а_В= 0, 72 м/с². (11)

Т. к. а_В> 0, то, следовательно, вектор направлен, как показано на рис. К3б.

6. Определяем e₃. Чтобы найти e₃, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что = -3, 58 м/с². Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3б.

Теперь из равенства = e₃l₃ получим

Ответ: u_В = 0, 46 м/с; u_Е = 0, 46 м/с; w₂= 0, 67 с^-1; а_В= 0, 72 м/с²; e₃= 2, 56 с^-2.

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0 – К4.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.6 − К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f₁(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 6, 9 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через т. О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 5, 7, 8 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 − 5) или по окружности радиуса R (рис. 6 − 9) движется т. М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s = AM = f₂(t) (s выражено в см, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0 − 5 и для рис. 6 − 9; там же даны размеры b и l. На рисунках т. М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1c.

Указания.Задача К4 – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁=1c, и изобразить точку именно в этом положении ( а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. 6 − 9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. 3, 4, 5, 7, 8 векторы направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком , а от нас: .

Таблица К4

Номер условия	Для всех рисунков j=f₁(t)	Для рис. 0-5	Для рис. 6-9
b, см	s=AM=f₂(t)	l	s=AM=f₂(t)
	4(t²-t)	12	50(3t-t²)-64	R	2π R(4t²-2t³)/3
	3t²-8t	16	40(3t²-t⁴)-32	4/3 R	3π R(2t²-t³)/2
	6t³-12t²	10	80(t²-t)+40	R	2π R(2t²-1)/3
	t²-2t³	16	60(t⁴-3t²)+56	R	5π R(3t-t²)/6
	10t²-5t³	8	80(2t²-t³)-48	R	2π R(t³-2t)/3
	2(t²-t)	20	60(t³-2t²)	R	π R(t³-4t)/6
	5t-4t²	12	40(t²-3t)+32	3/4 R	π R(t³-2t²)/2
	15t-3t³	8	60(t-t³)+24	R	π R(t-5t²)/6
	2t³-11t	10	15(5t³-t)-30	R	2π R(3t²-1)/3
	6t-3t³	20	40(t-2t²)-40	4/3 R	4π R(t²-2t³)/3

Пример К4.Диск радиуса R (рис. К4) вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется т. М по закону s = AM = f₂(t); положительное направление отсчета s от A к D.

Дано: R = 0, 5 м; j = 2t³- 4t²; s = (pR/6)(7t – 2t²)

(j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: v_аб и а_аб в момент времени t₁=1c.

Решение. Рассмотрим движение т. М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение.Это движение происходит по закону:

s = AM = (pR/6)(7t – 2t²). (2)

Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 c, получим

, или

Изображаем на рис. К4 т. М₁в положении, определяемом этим углом.

Теперь находим числовые значения u_ОТ,

где r_ОТ – радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t₁= 1c, учитывая, что R = 0, 5 м, получим:

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону; направлен к центру О дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4 и К4а.

2. Переносное движение.Это движение (вращение) происходит по закону

j = 2t³- 4t². Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = 6t²-8t; ε = = 12t – 8.

при t₁= 1 c . (4)

Знаки указывают, что при t₁= 1 c направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ , а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t₁= 1 c, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изображаем на рис. К4 и К4а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение.Т. к. угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 90˚, то численно в момент времени t₁=1 c [см. (3) и (4)]:

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (в данном случае никуда проецировать не надо, т. к. эта плоскость совпадает с плоскостью рисунка), и, повернув затем эту проекцию в сторону ω, т.е. по ходу часовой стрелки на 90˚. Изображаем вектор на рис. К4а.

4. Определение , .Поскольку переносная и относительная скорости точки направлены по одной прямой в противоположные стороны, то абсолютная скорость будет равна разности их модулей: = 0, 215 м/c

и направлена в сторону большей скорости.

По теореме о сложении ускорений: (7)

Для определения а_аб проведем координатные оси М₁xy (см. рис. К4а) и вычислим проекции вектора на эти оси. проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени

⇐ Предыдущая 1 23