Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Теорема. скорость точки в абсолютном движении геометрически складывается из переносной и относительной скоростей.




Например, на рис. 21 т. М совершает сложное движение: вращается вместе с диском – переносное движение и двигается по хорде диска – относительное движение. При этом переносная скорость ve направлена перпендикулярно отрезку ОМ в сторону переносной угловой скорости ωe . величина переносной скорости может быть найдена по формуле ve = ωe∙OM. Абсолютную скорость точки М можно найти по теореме косинусов ,

где α – угол между векторами ve и vr.

Теорема о сложении ускорений при сложном движении

Теорема. абсолютное ускорение точки геометрически складывается из переносного, относительного и Кориолисова ускорений.

,

где – переносное ускорение; – относительное ускорение; – ускорение Кориолиса: . модуль ускорения Кориолиса можно найти по формуле

=2| ωe |∙|vr |∙sinβ, где β – угол между векторами и . в рассматриваемом случае этот угол равен 90º, т. к. вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Для определения направления можно пользоваться правилом векторного умножения, или правилом Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной линейной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой плоскости на угол 90° в направлении переносной угловой скорости.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1) = 0 ; т.е. переносное движение будет поступательным;

2) = 0 ; т.е. точка неподвижна по отношению к подвижной системе отсчета;

3. ; т.е. точка движется параллельно оси переносного вращения.

 

 

Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t1 = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются: скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что масштабы должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2 , 25 , 4 , 5. При этом изображаемые векторы должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра Предпоследняя цифра шифра
3sin(2t) + 1 2 - 2cos(2t)
2sin2(2t) -2 3cos2(2t)-1
4sin(2t) - 1 2cos(4t) +2
3 -4 cos(2t) 3sin(2t) - 1
4cos2(2t)-2 2sin2(2t) + 1
cos(4t) +1 2sin(2t) - 3
2sin2(2t) -1 3 - 2cos(2t)
2cos(4t) + 1 2cos(4t) +1
3cos2(2t)-2 2sin2(2t)+1
2+3cos(4t) 2 2cos(4t)

 

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

(x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Определяем положение точки в заданный момент времени.

при t = 1c: Изображаем эту точку на рисунке (т.М).



3. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси.

при t = 1c:

4. Аналогично найдем ускорение точки:

.

при t = 1c: ax = 0,87 см/с2, ay = - 0,12 см/с2, a = 0,88 см/с2.

5. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c aτ = 0,66 см/с2.

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a и aτ, получим, что при t = 1 c: an = 0,58 см/с2.

6. Радиус кривизны траектории Подставляя сюда числовые значения v и an , найдем, что при t = 1 c ρ = 3,05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μv = 0,02 , тогда l vx = │vx │ / μv ≈ 56 мм; l vy = │vy │ / μv ≈ 37 мм;

или μv = 0,01 , тогда l vx = │vx │ / μv = 111 мм, l vy = │vy │ / μv = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μa = 0,01 , тогда:

l ax = │ax │ / μa = 0,87/0,01 = 87 мм, l ay = │ay │ / μa = 0,12/0,01 = 12 мм;

l = │aτ │ / μa = 0,66/0,01 = 66 мм, l an = │an │ / μa = 0,58/0,01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки М.

Примечание.при построении следует учесть, что l ay необходимо отложить вниз, так как: ay < 0, а aτ – по направлению скорости, т. к. aτ > 0.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1−3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей; зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0−К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r2 = 6 см; R2 =8 см; у колеса 3 – r3 = 12 см; R3 = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: − закон вращения колеса 1; s4(t) – закон движения рейки 4; ω2(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2; v1(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ выражено в радианах; s − в сантиметрах; t – в секундах). Положительное направление для φ и ω −против хода часовой стрелки; для s4, и v4, – вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v1 – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия Дано Найти
скорости ускорения
s4 = 4( 7t2 – t3 ) v B, vC ε2, aA, a1
v4 =2(t2 - 3) v A, v C ε3, aB, a1
φ2 = 2t3 - 9 t2 v 4, ω3 ε2, aA, a4
ω2 = 7t – 3t2 v 1, ω3 ε3, aB, a4
φ3 =3t –t3 v 4, ω2 ε2, aA, a4
ω3 =5t -2t2 v 1, v B ε3, aB, a1
φ2 = 2(t3 -3t) v 4, ω2 ε3, aA, a4
v4 =3t2 - 8 v A, ω3 ε2, aB, a1
s1 =2t3 - 5t2 v 4, ω2 ε3, aB, a4
ω3 = 8t – 3t2 v 1, v B ε2, aA, a4

 

 

 


 

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t).

Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, s1=3t3 (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t1 = 3 c. Определить: ω3, v4, ε3, αA в момент времени t = t1.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri), через vi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ri), - через ui.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость

v1 = ds1/dt = 9t2. (1)

Т. к. рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то v2 = v1 , или ω2R2 = v1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2 = v3, или ω2R2 = ω3R3. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t1 = 3 c получим ω3 = 6,75c-1.

2. Определим v4. Т. к. v4 = vB = ω3r3, то при t1 = 3 c: v4 = 20,25 см/с.

3. Определяем ε3. Учитывая, что ε3= =1,5t, при t1 =3 с получим ε3 = 4,5 с-2.

4. Определяем aA. Для т. А: , где численно Тогда, для момента времени t1 = 3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2 , 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; т. D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l1 = 0,4 м; l2 = 1,2 м; l3 = 1,4 м; l4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0−4) или в табл. К3б (для рис. 5−9); при этом в табл. К3а ω1 и ω4 – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DE против хода часовой стрелки, а на рис. 9 – по ходу часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от т. В к т. b ( рис. К3.5−К3.9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если т. А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если т. В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость vB определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия Углы, град Дано Найти
α β γ φ θ ω1, 1/с ω4, 1/с υ точек ω звена a точки ε звена
- B, E DE B AB
- A, E AB A AB
- B, E AB B AB
- A, E DE A AB
- D, E AB B AB
- A, E AB A AB
- B, E DE B AB
- A, E DE A AB
- D, E AB B AB
- A, E DE A AB

 

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия Углы, град Дано Найти
α β γ φ θ ω1, 1/с ε1, 1/с2 υВ, м/с αВ, м/с2 v точек ω звена a точки ε звена
- - B, E AB B AB
- - A,E DE A AB
- - B, E AB B AB
- - A,E AB A AB
- - B, E DE B AB
- - D,E DE A AB
- - B, E DE B AB
- - A,E AB A AB
- - B, E DE B AB
- - D,E AB A AB

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.

Дано: a=60º; b=150º; g=90º; j=30º; q=30º; AD = DB; l1 = 0,4 м; l2 = 1,2 м; l3 = 1,4 м; w1 = 2 с-1; e1 = 7 с-2 (направление w1 и e1 – против хода часовой стрелки). Определить: vB, vE, w2, aB, e3.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б).

2. Определяем vВ. Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти vВ, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w1, можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что т. В принадлежит звену АВ и одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Т. Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость т. D, принадлежащей одновременно стержням АВ и DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это т. С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из т. А и В ( перпендикулярен стержню 1). По направлению вектора определяем направление вращения стержня АВ вокруг МЦС − С3. Вектор перпендикулярен отрезку С3D, соединяющему т. D и C3, и направлен в сторону вращения. Величину vD найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С3D и C3B, заметим, что прямоугольный, т. к. острые углы в нем равны 30º и 60º, и что C3B=АВsin30º=0,5AB=BD. Тогда является равносторонним и C3B = С3D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как т. Е принадлежит DE и одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС − С2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление вращения стержня DE вокруг центра С2. Вектор направлен в сторону вращения этого стержня. Из рис. К3б видно, что Составив теперь пропорцию, находим (5)

4. Определяем w2. Т. к. МЦС стержня 2 известен (т. С2), то

(6)

5. Определяем Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию т. В. По данным задачи можем определить где численно:

(7)

Вектор направлен от т. А к т. О1, направлен перпендикулярно АО1, вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством (8)

Изображая на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя w3 с помощью построенного МЦС − С3 стержня 3, получим:

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения aB и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси. Чтобы определить aB, спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим . (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

аВ = 0,72 м/с2. (11)

Т. к. аВ > 0, то, следовательно, вектор направлен, как показано на рис. К3б.

6. Определяем e3. Чтобы найти e3, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что = -3,58 м/с2. Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3б.

Теперь из равенства = e3l3 получим

Ответ: uВ = 0,46 м/с; uЕ = 0,46 м/с; w2 = 0,67 с-1; аВ = 0,72 м/с2; e3 = 2,56 с-2.

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0 – К4.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.6 − К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f1(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 6, 9 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через т. О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 5, 7, 8 ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 − 5) или по окружности радиуса R (рис. 6 − 9) движется т. М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s = AM = f2(t) (s выражено в см, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0 − 5 и для рис. 6 − 9; там же даны размеры b и l. На рисунках т. М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1c.

Указания.Задача К4 – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1=1c, и изобразить точку именно в этом положении ( а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. 6 − 9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. 3,4,5,7,8 векторы направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком , а от нас: .

 

Таблица К4

Номер условия Для всех рисунков j=f1(t) Для рис. 0-5 Для рис. 6-9
b, см s=AM=f2(t) l s=AM=f2(t)
4(t2-t) 12 50(3t-t2)-64 R 2πR(4t2-2t3)/3
3t2-8t 16 40(3t2-t4)-32 4/3 R 3πR(2t2-t3)/2
6t3-12t2 10 80(t2-t)+40 R 2πR(2t2-1)/3
t2-2t3 16 60(t4-3t2)+56 R 5πR(3t-t2)/6
10t2-5t3 8 80(2t2-t3)-48 R 2πR(t3-2t)/3
2(t2-t) 20 60(t3-2t2) R πR(t3-4t)/6
5t-4t2 12 40(t2-3t)+32 3/4 R πR(t3-2t2)/2
15t-3t3 8 60(t-t3)+24 R πR(t-5t2)/6
2t3-11t 10 15(5t3-t)-30 R 2πR(3t2-1)/3
6t-3t3 20 40(t-2t2)-40 4/3 R 4πR(t2-2t3)/3

 

 

 

 

Пример К4.Диск радиуса R (рис. К4) вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется т. М по закону s = AM = f2(t); положительное направление отсчета s от A к D.

Дано: R = 0,5 м; j = 2t3 - 4t2; s = (pR/6)(7t – 2t2)

(j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: vаб и ааб в момент времени t1=1c.

Решение. Рассмотрим движение т. М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение.Это движение происходит по закону:

s = AM = (pR/6)(7t – 2t2). (2)

Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t = 1 c, получим

, или

Изображаем на рис. К4 т. М1 в положении, определяемом этим углом.

Теперь находим числовые значения uОТ,

где rОТ – радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t1 = 1c, учитывая, что R = 0,5 м, получим:

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону; направлен к центру О дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4 и К4а.

2. Переносное движение.Это движение (вращение) происходит по закону

j = 2t3 - 4t2. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = 6t2-8t; ε = = 12t – 8.

при t1 = 1 c . (4)

Знаки указывают, что при t1 = 1 c направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t1 = 1 c, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изображаем на рис. К4 и К4а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение.Т. к. угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 90˚, то численно в момент времени t1=1 c [см. (3) и (4)]:

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (в данном случае никуда проецировать не надо, т. к. эта плоскость совпадает с плоскостью рисунка), и, повернув затем эту проекцию в сторону ω, т.е. по ходу часовой стрелки на 90˚. Изображаем вектор на рис. К4а.

4. Определение , .Поскольку переносная и относительная скорости точки направлены по одной прямой в противоположные стороны, то абсолютная скорость будет равна разности их модулей: = 0,215 м/c

и направлена в сторону большей скорости.

По теореме о сложении ускорений: (7)





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

  1. Алгоритм вычисления расстояния рабочей точки до границы помпажа
  2. АНТРОПОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГОЛОВЫ ЧЕЛОВЕКА
  3. Библейских персонажей, совершавших довольно странные поступки с точки зрения христианской морали.
  4. БИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ ТОЧКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЛОГОПЕДИЧЕСКОМ МАССАЖЕ
  5. В. Законы сохранения при прямолинейном движении.
  6. Вероятность обнаружения геометрических тел.
  7. Взаимное положение прямых линий. Конкурирующие точки
  8. Влияние человека на ход эволюционных проектов. Загрязнение окружающей среды и проблемы охраны природы с точки зрения эволюционной теории.
  9. Во всех случаях при движении транспортного средства.
  10. Водители и пассажиры каких транспортных средств при движении должны быть пристегнуты ремнями безопасности?
  11. Вопрос 1 мировое культурное наследие, проблема его сохранения. Пакт Рериха и его роль в продвижении проблемы сохранения культурного наследия.
  12. Вопрос 1: Допустима ли манипуляция с этической точки зрения?




Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 891; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2021 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.041 с.) Главная | Обратная связь