Институт дистанционного обучения

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Кафедра высшей математики

Институт дистанционного обучения

Кратные, криволинейные

и поверхностные интегралы

Методические указания и индивидуальные задания

К контрольной работе № 8

Волгоград 2002

УДК 517

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе № 8 /Сост. Р.К.Катеринина, И.П. Руденок, Л.П. Харитонова, М.С. Хмелевская; ВолгГАСА. Волгоград, 2002 - 18с.

Содержатся краткие теоретические сведения и образцы решений типовых задач контрольной работы.

Для студентов 2-го курса института дистанционного обучения всех специальностей, кроме ЭУС, по дисциплине «Математика».

Ил.13. Библиогр. - 3. назв.

План учеб.-метод. документ. 2002 г., поз. 3

Редактор Н.И. Бороусова

Подписано в печать 16. 05. 03. Формат 60х84¹/₁₆.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 1, 2. Уч.-изд. л. 0, 4. Тираж 250 экз. Заказ №

Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия

Редакционно-издательский отдел

Сектор оперативной полиграфии ЦИТ

400074, Волгоград, ул. Академическая, 1

I. Основные теоретические сведения

И решение типовых примеров

Вычисление площади плоской фигуры

В декартовых координатах

Пусть требуется вычислить площадь некоторой плоской области D (фигуры), ограниченной заданными линиями в декартовой системе координат. Эту задачу можно решить с помощью двойного интеграла

, (1)

где S- искомая площадь; D- область интегрирования; х, у – переменные интегрирования.

Чтобы вычислить двойной интеграл (1), его сводят к повторному (двукратному). Это можно сделать двумя способами в зависимости от вида области интегрирования.

1-й способ. Пусть область ограничена снизу и сверху непрерывными линиями и , причем всякая прямая, параллельная оси Оу и проходящая через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе) точку области, пересекает каждую из них только в одной точке.

Слева и справа область ограничена отрезками прямых х=а и х=b. В частном случае эти отрезки могут превращаться в точки (рис.1). Такая область называется правильной (простой) в направлении оси Оу, и в этом случае интеграл (1) вычисляется по формуле

(2)

Выражение, стоящее в правой части равенства (2), называется повторным интегралом, его вычисление сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных интегралов. Сначала нужно найти внутренний интеграл

который является непрерывной функцией от x. Потом вычисляют внешний интеграл

Пределы внутреннего интеграла в общем случае переменные, они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном (фиксированном) значении аргумента х. Пределы внешнего интеграла всегда постоянны, они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

В случае, когда сверху или снизу область ограничена линиями, состоящими из нескольких участков, заданных разными уравнениями, ее разбивают прямыми, параллельными оси Оу, на части так, чтобы в каждой из них верхняя и нижняя линии границы задавались бы лишь одним уравнением каждая, а интеграл (1) вычисляют, используя свойства аддитивности двойного интеграла.

Например, если область интегрирования D приходится разбивать на две области D₁ и D₂ (рис.2), то в этом случае

. (3)

Рис. 1 Рис. 2

2-й способ. Пусть область интегрирования D-правильная в направлении оси Ох (рис.3)

Рис. 3 Рис. 4

Тогда

. (4)

Здесь интегрирование ведется сначала по переменной х, при этом у считается постоянной величиной. Затем вычисляется внешний интеграл по переменной у.

Если область интегрирования разбивают, например, на две области
(рис. 4), то в этом случае

. (5)

Замечание 1. Если область интегрирования не соответствует указанным видам, то прямыми, параллельными координатным осям, ее разбивают на конечное число правильных областей.

Замечание 2. Если область правильная в направлении обеих осей Ох и Оу, то для вычисления двойного интеграла можно использовать любую из формул (2) и (4), выбирая наиболее удобную для интегрирования.

П р и м е ч а н и е. Приведенный теоретический материал используется для решения задач № 1-10 контрольной работы № 8.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, лежащей над осью Ох и ограниченной линиями у²=4х, х+у=3, у=0.

Решение. Площадь . Область интегрирования образуется пересечением трех линий: параболы у²=4х, прямой х+у=3 и оси Ох (у=0), причем у³ 0 (рис. 5).

Рис. 5

Координаты точки А найдем, решив совместно уравнения прямой и параболы:

Находя х из первого уравнения х=3-у и подставляя это выражение в уравнение параболы, получим у²+4у-12=0.

Отсюда получим у₁=2, у₂=-6. В соответствии с условием у³ 0 выберем у=2, тогда х=1.

Определим порядок интегрирования. При интегрировании в направлении оси Оу область D пришлось бы разбить на две области, так как верхняя линия границы состоит из двух участков (параболы и прямой), имеющих разные уравнения. Поэтому проще рассматривать область интегрирования в направлении оси Ох и использовать формулу (4).

В пределах области D у изменяется от 0 до 2. При этом х изменяется от значения найденного из уравнения параболы, ограничивающей фигуру слева до х=3-у, найденного из уравнения прямой, ограничивающей фигуру справа. Тогда

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

(кв. ед.).

Замечание 3. Вычисление двойного интеграла часто записывают так:

(кв. ед.).

В полярных координатах

При вычислении двойного интеграла (1) мы пользовались декартовой системой координат. Часто переход от декартовых координат к полярным r и j (r - полярный радиус, j - полярный угол) значительно упрощает его вычисление. При этом предполагают, как обычно, что полюс лежит в начале координат и полярная ось совпадает с осью Ох (рис. 6.).

Рис. 6

Тогда декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

(6)

и имеет место равенство

. (7)

В интеграле, стоящем справа в (7), r и j – переменные интегрирования.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат также сводится к вычислению повторного интеграла, а расстановка пределов интегрирования зависит от вида области D.

1. Пусть полюс расположен вне области интегрирования (рис. 7).

Рис. 7

Область ограничена кривыми , и лучами j=j₁, j=j₂. Область правильная, так как всякий луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает ее границу не более чем в двух точках. Тогда, интегрируя сначала по в пределах его изменения при постоянном j, т. е. от до , а затем по j от j₁ до j₂, получим

. (8)

2. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования и любой полярный радиус пересекает границу в одной точке (рис. 8).

Рис. 8

В этом случае

(9)

П р и м е ч а н и е. Приведенный теоретический материал используется при решении задач № 11-20 контрольной работы № 8.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

(x²+y²)²=a²(x²-y²), a> 0.

Решение. Используя формулы (6), перейдем к полярной системе координат, в которой уравнение данной кривой примет вид

Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой Бернулли (рис. 9).

Как видно из полученного уравнения и рисунка, кривая симметрична относительно координатных осей, площадь S фигуры, ограниченной этой кривой, выражается двойным интегралом .

Рис. 9

Здесь D – фигура (область), лежащая в первом квадрате, для которого . Следовательно,

И их вычисление

Пусть во всех точках дуги АВ плоской кривой (L) определена функция двух независимых переменных P(x, y).

Дугу АВ разобьем на n частичных дуг точками A₀=A, A₁, A₂, …, A_i, A_i₊₁, …, A_n=B. На каждой из частичных дуг выберем произвольную точку M_i(x_i_,y_i). В этой точке вычислим значение функций Р(x, y). Полученное число P_i(x_i_,y_i) умножим на Dx_i=x_i₊₁-x_i – проекцию дуги A_iA_i₊₁ на ось Ох и получим произведения P(x_iy_i)Dx_i. Составим сумму этих произведений

Если функция Р(x, y) непрерывна во всех точках дуги АВ, а сама эта дуга не имеет особых точек, то существует предел при стремлении всех к нулю, и он не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на части, ни от выбора точки M_i на каждой частичной дуге. Этот предел называется криволинейным интегралом, взятым по дуге (АВ) и обозначается символом т. е.

Если бы значения функции P(x, y) в точке M_i(x_iy_i), т.е. P(x_iy_i), мы умножили не на , а на , т. е. на проекцию дуги A_iA_i₊₁ на ось Оу, то получили бы произведение . Предел суммы таких произведений при условии, что все стремятся к нулю, также называется криволинейным интегралом и обозначается т. е.

В том случае, когда на дуге (АВ) заданы две непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), можно рассмотреть криволинейные интегралы

и . (14)

Сумму этих двух интегралов обозначают символом

и называют криволинейным интегралом по координатам (при этом предполагается, что оба интеграла (14) вычисляются в одном и том же направлении).

Библиографический список.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. М.: Наука, 1985. Т.2.

2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. М.: Наука, 1966.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 2.