Вычисление площади плоской фигуры

В полярных координатах

При вычислении двойного интеграла (1) мы пользовались декартовой системой координат. Часто переход от декартовых координат к полярным r и j (r - полярный радиус, j - полярный угол) значительно упрощает его вычисление. При этом предполагают, как обычно, что полюс лежит в начале координат и полярная ось совпадает с осью Ох (рис. 6.).

Рис. 6

Тогда декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

(6)

и имеет место равенство

. (7)

В интеграле, стоящем справа в (7), r и j – переменные интегрирования.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат также сводится к вычислению повторного интеграла, а расстановка пределов интегрирования зависит от вида области D.

1. Пусть полюс расположен вне области интегрирования (рис. 7).

Рис. 7

Область ограничена кривыми , и лучами j=j₁, j=j₂. Область правильная, так как всякий луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает ее границу не более чем в двух точках. Тогда, интегрируя сначала по в пределах его изменения при постоянном j, т. е. от до , а затем по j от j₁ до j₂, получим

. (8)

2. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования и любой полярный радиус пересекает границу в одной точке (рис. 8).

Рис. 8

В этом случае

(9)

П р и м е ч а н и е. Приведенный теоретический материал используется при решении задач № 11-20 контрольной работы № 8.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

(x²+y²)²=a²(x²-y²), a> 0.

Решение. Используя формулы (6), перейдем к полярной системе координат, в которой уравнение данной кривой примет вид

Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой Бернулли (рис. 9).

Как видно из полученного уравнения и рисунка, кривая симметрична относительно координатных осей, площадь S фигуры, ограниченной этой кривой, выражается двойным интегралом .

Рис. 9

Здесь D – фигура (область), лежащая в первом квадрате, для которого . Следовательно,

Вычисление объема тела в декартовых

И цилиндрических координатах

Пусть задана некоторая пространственная область G, ограниченная замкнутой поверхностью S (будем называть такую область телом), и пусть выполняются следующие условия:

1) всякая прямая, проходящая через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S) точку области, пересекает поверхность не более чем в двух точках;

2) вся область G проектируется на плоскость xOy в правильную область D. Пусть такая область G (она называется правильной) снизу и сверху ограничена поверхностями и (рис. 10).

Рис.10

Вычислить объем такого тела можно с помощью тройного интеграла

(10)

который приводится к виду

(11)

Сначала вычисляют внутренний интеграл по переменной z. Затем переходят к вычислению двойного интеграла по плоской области D. Для случая, указанного на рис. 10, окончательная формула имеет вид

(12)

Выражение, стоящее в правой части равенства (12), называется трехкратным интегралом.

Если при интегрировании по области D удобнее перейти к полярным координатам, то объем вычисляют с помощью тройного интеграла в цилиндрических координатах r, j и z:

(13)

причем при расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле по области D учитывают вид этой области.

П р и м е ч а н и е.Приведенный теоретический материал используется при решении задач № 21-30 контрольной работы № 8.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и.

Решение. Найдем линию пересечения параболоида и конуса из системы

Выразим из первого уравнения и подставим во второе: При из второго уравнения найдем .

Строим тело и его проекцию на плоскость хОу (рис. 11).

Рис. 11

Так как проекцией тела на плоскость хОу (область D) служит круг, а уравнения поверхностей содержат двучлен , то перейдем к цилиндрическим координатам:

или ;

или .

Объем тела вычислим с помощью тройного интеграла

Последовательно вычисляя интегралы

получим

(куб.ед).

Криволинейные интегралы по координатам

И их вычисление

Пусть во всех точках дуги АВ плоской кривой (L) определена функция двух независимых переменных P(x, y).

Дугу АВ разобьем на n частичных дуг точками A₀=A, A₁, A₂, …, A_i, A_i₊₁, …, A_n=B. На каждой из частичных дуг выберем произвольную точку M_i(x_i_,y_i). В этой точке вычислим значение функций Р(x, y). Полученное число P_i(x_i_,y_i) умножим на Dx_i=x_i₊₁-x_i – проекцию дуги A_iA_i₊₁ на ось Ох и получим произведения P(x_iy_i)Dx_i. Составим сумму этих произведений

Если функция Р(x, y) непрерывна во всех точках дуги АВ, а сама эта дуга не имеет особых точек, то существует предел при стремлении всех к нулю, и он не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на части, ни от выбора точки M_i на каждой частичной дуге. Этот предел называется криволинейным интегралом, взятым по дуге (АВ) и обозначается символом т. е.

Если бы значения функции P(x, y) в точке M_i(x_iy_i), т.е. P(x_iy_i), мы умножили не на , а на , т. е. на проекцию дуги A_iA_i₊₁ на ось Оу, то получили бы произведение . Предел суммы таких произведений при условии, что все стремятся к нулю, также называется криволинейным интегралом и обозначается т. е.

В том случае, когда на дуге (АВ) заданы две непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), можно рассмотреть криволинейные интегралы

и . (14)

Сумму этих двух интегралов обозначают символом

и называют криволинейным интегралом по координатам (при этом предполагается, что оба интеграла (14) вычисляются в одном и том же направлении).

⇐ Предыдущая 1 23