Мощности в цепях переменного тока.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ имени К.Г. РАЗУМОВСКОГО (Первый казачий университет)»

(ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»)

Башкирский институт технологий и управления (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г. Разумовского (Первый казачий университет)»БИТУ (филиал) ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»

Контрольная работа

По дисциплине

«ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА»

«Вариант 2»

Выполнил:

Студент 1 курса

Волков А.Г.

Направление 27.03.04

Шифр: 152922

Работа сдана на проверку

Преподаватель: Сиротин П.А.

Оценка____

Мелеуз – 2016

Содержание

Цепь с источником ЭДС. 3-12 стр.
Мощности в цепях переменного тока. 13-18 стр.
Трехфазные трансформаторы. Зависимость КПД и коэффициента мощности от тока нагрузки (внешняя характеристика трансформатора), как это используется в системах управления. 18-45 стр.

4. Литература 46 стр.

Цепь с источником ЭДС.

Возьмем два участка цепи a-b и c-d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Объединяя оба случая, получим

(1)

или для постоянного тока

(2)

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

(3)

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

(4)

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

(5)

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

(6)

§ второй закон Кирхгофа

(7)

Пример.

Дано:



Определить:	1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

Решение:

1. .

2. .

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

Тогда

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6. .

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

;

; ;

; .

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

Поскольку ,

то

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

- сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;

- сумма сопротивлений, общих для i-го и k-гоконтуров, причем ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла b:

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i-гоуравнения записывается со знаком “+”потенциал i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i-гоуравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

Рис. 8.3. Внешние характеристики трансформатора

Пример. Для трансформатора, данные которого приведены в примерах, определить изменение вторичного напряжения при номинальной нагрузке (β =1) с коэффициентом мощности соsφ ₂= 0, 8 для нагрузок двух характеров: активно-индуктивной и активно-емкостной.

Решение. Из примера 1.4 имеем: u_К75 = = 5, 4 %; соsφ _к75 = 0, 40; sinφ _к75=0, 92. По (8.6) при соsφ ₂ = 0, 8 и sinφ ₂ = 0, 6 получим:

для активно-индуктивной нагрузки Δ U= 5, 4(0, 4· 0, 8 + 0, 92 · 0, 6) = 4, 65 %;

для активно-емкостной нагрузки

Δ U = 5, 4[0, 4· 0, 8 + 0, 92· (-0, 6)] = -1, 2 %.

Рис. 10.2. Сравнение положения стрелок часов с обозначением групп соединения.

Применением разных способов соединения обмоток в трехфазных трансформаторах можно создать 12 различных групп соединения рассмотрим в качестве примера схему соединений «звезда — звезда» (рис. 10.3, а). Векторные диаграммы ЭДС показывают, что сдвиг между линейными ЭДС и в данном случае равен нулю. В этом можно убедиться, совместив точки А и а при наложении векторных диаграмм ЭДС обмоток ВН и НН. Следовательно, при указанных схемах соединения обмоток имеет место группа 0; обозначается Y/Y—0. Если же на стороне НН в нулевую точку соединить зажимы а, b и с, а снимать ЭДС с зажимов х, y и z, то ЭДС изменит фазу на 180°и трансформатор будет принадлежать группе 6 (Y/Y —6) (рис. 10.3, б).

При соединении обмоток «звезда — треугольник», показанном на рис. 10.4, а, имеет место группа 11 (Y/Δ —11). Если же поменять местами начала и концы фазных обмоток НН, то вектор повернется на 180° и трансформатор будет относиться к группе 5 (Y/Δ —5) (рис. 10.4, б).

При одинаковых схемах соединения обмоток ВН и НН, например Y/Y и Δ /Δ , получают четные группы соединения, а при неодинаковых схемах, например Y/Δ или Δ /Y, — нечетные. Рассмотренные четыре группы соединения (0, 6, 11 и 5) называют основными. Из каждой основной группы соединения методом круговой перемаркировки выводов на одной стороне трансформатора, например на стороне НН (без изменения схемы соединения), можно получить по две производные группы. Например, если в трансформаторе с группой соединения Y/Y—О (рис.10.3, а) выводы обмотки НН перемаркировать и вместо последовательности аbспринять последовательность саb, то вектор ЭДС повернется на 120°, при этом получим группу соединения Y/Y—4. Если же выводы обмоток НН перемаркировать в последовательность bса, то вектор повернется еще на 120°, а всего на 240°; получим группу Y/Y— 8.

Рис.10.3.Схемы соединения обмоток и векторные диагрыммы: а-для группы Y/Y –0: б-для группы Y/Y-6

Рис. 10.4. Схемы соединения обмоток и векторные диаграммы:

Рис. 10.5. Схемы и группы соединения обмоток трехфазных двухобмоточных трансформаторов

Рис. 11.1. Включение трансформаторов на параллельную работу

Для того чтобы нагрузка между параллельно работающими трансформаторами распределялась пропорционально их номинальным мощностям, допускается параллельная работа двухобмоточных трансформаторов при следующих условиях:

1. При одинаковом первичном напряжении вторичные напряжения должны быть равны. Другими словами, трансформаторы должны иметь одинаковые коэффициенты трансформации: k₁=k₁₁=k₁₁₁=…. При несоблюдении этого условия, даже в режиме х. х., между параллельно включенными трансформаторами возникает уравнительный ток, обусловленный разностью вторичных напряжений трансформаторов (рис.11.2, а):

(11.1)

где Z_k1 и Z_k2 — внутренние сопротивления трансформаторов.

При нагрузке трансформаторов уравнительный ток накладывается на нагрузочный. При этом трансформатор с более высоким вторичным напряжением х.х. (с меньшим коэффициентом трансформации) оказывается перегруженным, а трансформатор равной мощности, но с большим коэффициентом трансформации — недогруженным. Так как перегрузка трансформаторов недопустима, то приходится снижать общую нагрузку. При значительной разнице коэффициентов трансформации нормальная работа трансформаторов становится практически невозможной.

Рис.11.2.Появление напряжения ∆ U при несоблюдении условий включения тарнсформаторов на параллельную работу

Однако ГОСТ допускает включение на параллельную работу трансформаторов с различными коэффициентами трансформации, если разница коэффициентов трансформации не превышает ±0, 5 % их среднего значения:

(11.2)

где — среднее геометрическое значение коэффициентов трансформации.

2. Трансформаторы должны принадлежать к одной группе соединения. При несоблюдении этого условия вторичные линейные напряжения трансформаторов окажутся сдвинутыми по фазе относительно друг друга и в цепи трансформаторов появится разностное напряжение Δ U, под действием которого возникнет значительный уравнительный ток. Так, если включить на параллельную работу два трансформатора с одинаковыми коэффициентами трансформации, но один из них принадлежит к нулевой (Y/Y— 0), а другой — к одиннадцатой (Y/Δ — 11) группам соединения, то линейное напряжение U₂₁ первого трансформатора будет больше линейного напряжения U₂₁₁второго трансформатора в раз U₂₁/U₂₁₁= . Кроме того, векторы этих напряжений окажутся сдвинутыми по фазе относительно друг друга на угол 30° (рис. 11.2, б). В этих условиях во вторичной цепи трансформаторов появится разностное напряжение Δ U. Для определения величины Δ U воспользуемся построениями рис. 11.2, б: отрезок ОА равен U₁₁/2 или, учитывая, что U₂₁₁=U₂₁/ , получим ОА=0, 5U₂₁. Следовательно, треугольник, образованный векторами напряжений равнобедренный, а поэтому разностное напряжение Δ U=U₂₁₁. Появление такого разностного напряжения привело бы к возникновению во вторичной цепи трансформаторов уравнительного тока, в 15—20 раз превышающего номинальный ток нагрузки, т.е. возникла бы аварийная ситуация. Величина Δ U становится еще большей, если трансформаторы принадлежат нулевой и шестой группам соединения (Δ U=2U₂), так как в этом случае векторы линейных вторичных напряжений окажутся в противофазе.

3. Трансформаторы должны иметь одинаковые напряжения к. з.: u_k1=u_k11=u_k111….Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы общая нагрузка распределялась между трансформаторами пропорционально их номинальным мощностям.

С некоторым приближением, пренебрегая токами х.х., можно параллельно включенные трансформаторы заменить их сопротивлениями к.з. Z_k1 и Z_k11 и тогда от схемы, показанной на рис.11.3, а, можно перейти к эквивалентной схеме (рис. 11.3, б). Известно, что токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям:

(11.3)

Умножим обе части равенства (11.3) на I_11номU_ном/(I_1номU_ном), левую часть — на U_ном/U_ном а правую часть — на 100/100, получим

Затем преобразуем полученное равенство, имея в виду следующее: I_1номU_ном=S₁ и I_11номU_ном=S₁₁ — фактическая нагрузка первого и второго трансформаторов соответственно, В.А; I_1номU_ном=S_1ном и I_11номU_ном=S_11ном — номинальные мощности этих трансформаторов, В.А; (I_1номZ_k1/U_ном)100=u_1k и (I_11номZ_k11/U_ном)100=u_11k — напряжения к.з. трансформаторов, %. В результате получим

(11.4) или

(11.5)

где — соответственно относительные мощности (нагрузки) первого и второго трансформаторов.

Из соотношения (11.5) следует, что относительные мощности (нагрузки) параллельно работающих трансформаторов обратно пропорциональны их напряжениям к.з.- Другими словами, при неравенстве напряжений к.з. параллельно работающих трансформаторов больше нагружается трансформатор с меньшим напряжением к. з. В итоге это ведет к перегрузке одного трансформатора (с меньшим u_к) и недогрузке другого (с большим u_к). Чтобы не допустить перегрузки трансформатора, необходимо снизить общую нагрузку. Таким образом, неравенство напряжений к.з. не допускает полного использования параллельно работающих трансформаторов по мощности.

Рис. 11.3. К понятию о распределении нагрузки при параллельной работе трансформаторов

Учитывая, что практически не всегда можно подобрать трансформаторы с одинаковыми напряжениями к. з., ГОСТ допускает включение трансформаторов на параллельную работу при разнице напряжений к. з. не более чем 10% от их среднего арифметического значения. Разница в напряжениях к.з. трансформаторов тем больше, чем больше эти трансформаторы отличаются друг от друга по мощности. Поэтому » ГОСТ рекомендует, чтобы отношение номинальных мощностей трансформаторов, включенных параллельно, было не более чем 3: 1.

Помимо соблюдения указанных трех условий необходимо перед включением трансформаторов на параллельную работу проверить порядок чередования фаз, который должен быть одинаковым у всех трансформаторов.

Соблюдение всех перечисленных условий проверяется фазировкой трансформаторов, сущность которой состоит в том, что одну пару, противоположно расположенных зажимов на рубильнике (см. рис. 11.1, б) соединяют проводом и вольтметром V_о (нулевой вольтметр) измеряют напряжение между оставшимися несоединенными парами зажимов рубильника. Если вторичные напряжения трансформаторов равны, их группы соединения одинаковы и порядок следования фаз у них один и тот же, то показания вольтметра V_о равны нулю. В этом случае трансформаторы можно подключать на параллельную работу. Если вольтметр V_опокажет некоторое напряжение, то необходимо выяснить, какое из условий параллельной работы нарушено. Необходимо устранить это нарушение и вновь провести фазировку трансформаторов. Следует отметить, что при нарушении порядка следования фаз вольтметр Vо покажет двойное линейное напряжение. Это необходимо учитывать при подборе вольтметра, предел измерения которого должен быть не менее двойного линейного напряжения на вторичной стороне трансформаторов.

Общая нагрузка всех включенных на параллельную работу трансформаторов 5 не должна превышать суммарной номинальной мощности этих трансформаторов: S≤ ∑ S_номх

Распределение нагрузки между параллельно работающими трансформаторами определяется следующим образом:

S_х=S S_номх/[u_кx ∑ (S_номх/u_кх)] (11.6)

где S_x — нагрузка одного из параллельно работающих трансформаторов, кВ·А; S — общая нагрузка всей параллельной группы, кВ·А; u_кх— напряжение к. з. данного трансформатора, %; S_номх— номинальная мощность данного трансформатора, кВ·А.

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.