ЗАДАЧИ НА УСТАНОВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Цели: 1. Дать первые понятия перестановкам, размещениям, сочетаниям с повторением и без повторения.

2. Научить правилам полного перебора.

3. Научить решать задачи на различную комбинацию чисел.

Задачи для подготовки

В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик, почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и дядей Федором, то Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?

Задачи на перестановку

1. Крокодил Гена решил позвонить Чебурашке по телефону, но вдруг обнаружил, что забыл номер телефона. Гена хорошо помнит, что первые цифры 5 и 2. А остальные он помнит, но забыл порядок. Это цифры: 1, 3, 4, 6. Какое самое большое число раз придется Гене набрать номер?

РЕШЕНИЕ:

4-6

6 раз, если начать с цифры 1, а если с других цифр, то 4 х 6 = 24 раза.

2. Сколько различных костюмов можно составить из брюк и двух рубашек, если костюм должен состоять из брюк и одной рубашки?

3. От Бабы-Яги до Кащея ведет одна дорога, а от Кащея до Кикиморы — две дороги (см. рис.). Сколькими способами можно дойти от Бабы-Яги до Кикиморы, если надо зайти к Кащею? Похожи ли задачи 2 и 3?

Кащей

Баба-Яга

Кикимора

4. От Марининого дома до Сашиного можно проехать на велосипеде по двум дорогам (двумя способами), а от Сашиного дома до Лизиного — тремя способами (см. рис.). Сколькими способами можно доехать на велосипеде от Марины до Лизы, если по дороге надо заехать к Саше?

5. Карлсон съел яблоко, грушу и персик. В каком порядке он _м₀г их съесть, если каждый фрукт Карлсон ел отдельно? Перечисли все способы.

6. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 1. ². 3 при условии, что цифры в записи каждого числа не повторяются? Перечисли все эти числа и найди их сумму.

7. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных не равных нулю цифр? Зависит ли результат о того, какие именно цифры мы берем? Укажи какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено. Изменится ли число вариантов, если одна цифра — ноль?

8'. Сколькими способами можно переставить 3 различные буквы, 3 различные цифры, трех человек в ряду, 3 книжки на полке? А сколькими способами можно переставить 4 различных предмета? (А, В, С, Д).

9. Сколько дорог.

Из деревни Аленкино в деревню Борискино ведут 3 дороги. Из Борискина в Ваняткино — 4. А из Ваняткина в Галинкино — 5 дорог. Сколькими способами можно попасть в деревню Галинкино, шагая через Борискино и Ваняткино?

3-1=3 3-4=12 12 • 5 = 60 (способов)

10. Мамонтёнок в поисках мамы отправился в Африку. Сколькими разными способами он может выбрать себе маршрут, плывя от островка к островку?

12. Белоснежка, Дюймовочка, Мальвина, Красная Шапочка и Золушка перед Новым годом решили поздравить по телефону ДРУГ друга с праздником. Причем, каждая сказочная героиня переговорила по телефону с каждой из своих подруг. Сколько всего было телефонных звонков?

Замечание: если Мальвина позвонила и поздравила Золушку, то будет ли Золушка звонить Мальвине?

13. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый _с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

РЕШЕНИЕ: 1 способ. Каждый шахматист сыграл 6 партий. Всего сыграна 21 партия (произведение 7x6 нужно разделить на два, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды).

2 способ, (с помощью графов). Пусть каждый шахматист обозначен точкой, а каждая сыгранная партия стрелкой от одного шахматиста к другому. (На рисунке обозначены партии только для первых двух игроков). Если каждую партию считать один раз, то будем иметь 21 партию (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21).

14. Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?

Решение. Т.к. каждый из семи человек дал 6 фотографий (всем, кроме себя), то всего было роздано 42 фотографии

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ» (выбор предметов в темноте)

Цель: 1. Научить делать выбор по лучшему и.худшему случаю.

2. Научить применять данный способ при решении задач на доказательство.

Задачи на доказательство

1 В одном доме живут 13 учеников одной школы. В школе 12 классов. Доказать, что хотя бы 2 ученика, живущие в этом доме, учатся в одном классе.

2, В классе 40 учеников. Найдется ли такой месяц в году,
в котором отмечают свой день рождения не менее, чем 4 уче
ника класса?

Ответ: Да. 40: 13 = 3 (4 ост.)..

3. В спортивной секции 35 мальчиков. Можно ли утверждать,
что среди них найдется хотя бы два спортсмена, фамилии
которых начинаются с одной буквы?

Ответ: Да.

ЗАДАЧИ «ТУДА-ОБРАТНО»

В двух аквариумах плавают рыбки. Если из первого аквариума пересадить одну рыбку во второй аквариум, то рыбок в аквариумах будет поровну. А если из второго аквариума пересадить одну рыбку в первый, то в первом будет рыбок в 2 раза больше, чем во втором. Сколько рыбок в каждом аквариуме?

РЕШЕНИЕ: 1 + 1 =2(рыб.), 2 + 2 = 4 (рыб.). 2 части — 1 часть = 1 часть 4 рыб. —1 часть 2 части —8 рыб 8-1=7 (рыб), 4 + 1=5 (рыб). Ответ: 5 и 7.

2. Если Петя даст Саше 100 рублей, то у друзей денег будет поровну, а если Саша даст Пете 100 рублей, то у Пети будет Денег в 9 раз больше, чем у Саши. Сколько денег у каждого? РЕШЕНИЕ: 100 руб.+ 100 руб. =200 руб. 200 руб.+ 200 руб. = 400 руб. 9 ч.-1 ч. = 8 ч., 400 руб.: 8 = 50 руб. 50 руб.+ 100 руб. = 150 руб. 150 руб.+ 200 = 350 руб.

Ответ: 150 и 350.

3. Как можно разделить 45 на 4 части так, что если к первой
части прибавить 2, от второй отнять 2, третью умножить на
2 и четвертую разделить на 2, то получатся одинаковые числа?

РЕШЕНИЕ: Примем третье число за одну часть, тогда четвертое число равно 4 частям, а первое и второе, каждое в отдельности, —двум частям, если к одному из них прибавить 2, а от другой отнять 2.

Всего частей: 2 + 2 + 1+4 = 9. Третье число равно 45: 9 = 5, четвертое —20, первое: 5 • 2 — 2 = 8 и второе 5 • 2 + 2 = 12.

Ответ. 8, 12, 5, 20.

4. Ваня говорит Пете: «Будь у меня на 4 яблока больше, чем
у меня есть теперь, то у меня было бы вдвое больше, чем у тебя. Сколько яблок у каждого, если у обоих вместе 26 яблок?

Схема помогает строить рассуждения и отражает содержание задачи.

Если добавить Ване 4 яблока, то у них будет 3 части = 30 яблокам, 1 часть —10 яблок (у Пети). Следовательно, у Вани —16 яблок.

Рассуждая так же, реши задачи.

5. У двоих мальчиков было вместе 10 груш. Когда один мальчик съел одну грушу, а другой —3 груши, у них осталось груш поровну. Сколько груш было у каждого?

6. На двух тарелках лежало 9 яиц. Когда с одной тарелки взяли яйцо, то на этой тарелке осталось яиц в 3 раза больше, чем на другой. Сколько яиц было на каждой тарелке?

7. У моего брата было в 3 раза больше орехов, чем у меня. Если же он съест 6 орехов.то у нас будет орехов поровну. Сколько орехов у каждого из нас?

Продолжи решение, обозначив на схеме 6 орехов.

8. У одного мальчика было тетрадей вдвое больше, чем у другого. Когда он купил еще 6 тетрадей, то у него осталось тетрадей в 5 раз больше. Сколько тетрадей было у каждого?

9. Три рыболова согласились всю выловленную рыбу делить поровну один поймал 12 штук, другой —7 штук, а третий —8штук. Кто из них сколько должен отдать?

10. У юннатов было 20 штук уток и гусей. Когда 4 гуся и 6 уток
отдали в колхоз, у них уток и гусей осталось поровну. Сколько
уток и гусей было у юннатов в отдельности?

11. Полсотни яблок разложили в одну большую и две ма
ленькие корзины. В большую корзину положили на 8 яблок
больше, чем в каждую маленькую корзину. Сколько яблок
в каждой корзине?

СПОСОБ «ЛИШНИЙ ЯЩИК»

1. По тропинке вдоль кустов шло 11 хвостов. Насчитать я так же смог, что шагало 30 ног. Это вместе шли куда-то индюки и жеребята, а теперь вопрос таков: сколько было индюков? Спросим так же у ребят: сколько было жеребят?

РЕШЕНИЕ:

1 СПОСОБ

1) Допустим 11 животных —все индюки.

а) 11 • 2 = 22 (ноги) у 11 индюков.

Должно быть 30 ног. На сколько ног оказалось меньше?

б) 30-22 = 8

у каждого жеребенка на 2 ноги больше, чем у индюка.

в) 8: 2 = 4 (жеребят)
г) 11-4 = 7 (индюков)

Ответ: 7 индюков и 4 жеребенка.

2) Можно предположить, что все животные —жеребята.

а) 11 • 4 = 44 ноги

На сколько получились больше?

6)44-30 = 14

Каждый жеребенок —это 2 лишних ноги.

в) 14: 2 = 7 (индюков) -
Значит 7 индюков.

г) 11—7 = 4 (жеребят)
Ответ: 7 индюков и 4 жеребят.

II. СПОСОБ, предположения с перебором (или подбором)

Предположим, что индюк 1, тогда у него ног—2, а жеребят—10 и ног у них —40, 40 + 2 = 42 (ноги), а должно быть 30. Рассуждая так же, составляем таблицу:

всего ног
инд. (2 н.)	(1) 2	(2) 4	(3) 6	(4) 8	(7)14
жер. (4 н.)	- (10) 40	(9) 36	(8)32	(7)28	(4) 16

Можно перебирать до правильного ответа, а можно, заметив закономерность, пропустить несколько переборов. 2. Жуки и пауки.

У меня в одной коробке есть жуки, И еще в другой коробке —пауки. Мало их, в одну минуту можно съесть: Пауков с жуками вместе—только шесть. Стал считать я: в двух коробках сколько ног? Очень долго сосчитать я их не мог. Право, даже зашумело в голове: Оказалось, ног немало —сорок две! Ну, скажи теперь мне, сколько тут жуков? И еще сочти отдельно пауков.

ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ

Взвешивание монет. задачу можно продолжить: 1) Как отмерить 1 л воды?

Во всех этих задачах предлагается некоторое число одинаковых с виду монет. Одна или несколько из них отличаются по весу от остальных. Разумеется, разность в весе слишкоммала, чтобы ее возможно было обнаружить, просто взяв монету руку. Поэтому мы предлагаем воспользоваться чашечными весами, которые позволяют сравнивать вес различных монет. Однако гирь у нас нет. Как же поступить, чтобы определить самую тяжелую или самую легкую монету?

Задача! Имеется 8 одинаковых с виду монет. На каждую чашу весов кладут по четыре монеты. Одна чаша весов перевешивает, ибо одна из монет отличается по весу от остальных семи. С помощью какого числа дополнительных взвешиваний можно обнаружить монету, отличную по весу от остальных?

Задача 2. Имеется 9 одинаковых с виду монет, одна из которых легче по весу от остальных восьми. Как определить эту монету, пользуясь чашечными весами без гирь?

А если нам не известно, легче или тяжелее эта монета остальных, сколько потребуется взвешиваний?

3. Бриллианты и весы В коробке лежат 242 бриллианта, из которых один природного происхождения, остальные его копии, изготовленные в лаборатории (искусственные). Массы искусственных бриллиантов одинаковы, масса природного немного меньше. Придумайте систему действий для выделения природного бриллианта при помощи 5 взвешиваний на чашечных весах без гирь.

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ

1. Имеются две пустые банки в 5 л и 3 л и ведро с водой. Как с помощью этих банок можно отмерить 6 л воды? Эту задачу решают учащиеся следующим образом:

1 переливание

2 переливание

3 переливание

Затем

5л	Ол	Зл	Зл	5л
Зл	Зл	Ол	Зл	1л

2). Как отмерить 7 л воды?

2л

5 л 2 л

Зл

2 л 2 л

О л 3 л

(в ведро)

3) Как отмерить 4 л воды?

5л

Зл

Продолжи решение

2).Как отмерить 3 л воды, если есть кружки 7 л и 2 л?

3. Чип и Дейл решили разделить, пополам молоко, которое
налито в 8-литровый кувшин. Еще нашлись пустые кувшины
в 5 литров и 3 литра.

4. Как с помощью семилитрового ведра и трехлитровой
банки налить в кастрюлю 5 л воды?

5. Разлейте молоко

В вашем распоряжении имеются четыре емкости: 200 г, 400 г, 600 г, 800 г, —все цилиндрической формы.

Емкость, вмещающая 400 г, наполнена молоком, остальные—пустые. Пользуясь только этими емкостями, разлейте молоко так, чтобы в каждой емкости цилиндра оказалось ровно по 100 г.

6. Три сосуда заполнены (не доверху) водой. В одном сосуде
11 л, во втором —7 л, в третьем —6 л В каждый сосуд можно
налить из другого столько воды, сколько в нем было налито.
Как разделить воду во всех трех сосудах поровну?

РЕШЕНИЕ.

Поскольку в трех сосудах 24 л, то в каждом сосуде должно быть 8 л. Задача сводится к получению трех чисел 8 с помощью сложения и вычитания данных чисел и чисел, получающихся в результате сложения и вычитания данных:

8 = (7+7)-6, 8 = (11-7)+4, 8 = (6 + 6)-4.

Процесс переливания можно изобразить в виде таблицы:

7 В первый сосуд входит 8 л, во второй —5 л, в третий —3 л.
пвый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как
«мощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?
РЕШЕНИЕ. 1 способ 2 способ

123. 123

800 800

503 350

530 323

5л

233 620

251 602

701 152

701143

413

8. В один сосуд входит 3 л, в другой 5 л. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 л воды из водопроводного крана? РЕШЕНИЕ

Наполняем сосуд в 5 л и отливаем в трехлитровый сосуд. Оставшиеся 2 литра переливаем в кувшин. Повторяя эту операцию, нальем в кувшин 4 л воды.

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С КОНЦА

24 конфеты разделили на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько конфет, сколько было в этой второй кучке, затем из второй кучки переложить в третью столько, сколько было в этой третьей, и наконец, из третьей переложить в первую столько конфет, сколько в этой первой кучке осталось, то после всех перекладываний число конфет во всех кучках будет одинаково. Сколько конфет было в каждой кучке первоначально?

РЕШЕНИЕ:

После всех перекладываний в каждой кучке стало по 8 конфет. Перед этим в 1 кучку было добавлено столько, сколько конфет там имелось, то есть их число удвоилось. А стало их 8. Следовательно, перед этим лежало 4, а 4 конфеты переложены из 3 кучки, поэтому до последнего перекладывания:

в 1 —4 конфеты,

во 2-8 конфет,

в 3-12 конфет.

Второй раз из второй кучки в третью переложили столько конфет, сколько в третьей имелось, значит 12-это удвоенное число конфет в 3 кучке до второго перекладывания. Следовательно, после первого перекладывания:

в 3 — 6 конфет,

во 2-(8+ 6) конфет,

в 1—4 конфеты. Так как первый раз во вторую кучку переложили из первой 2 = 7 конфет, то первоначально в 1 кучке —11, во 2 кучке —7, в 3 — 6 конфет.

ЗАДАЧИ НА УСТАНОВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Цель: 1. Показать три способа решения:

— путем логических рассуждений

— табличный («логический квадрат»)

— с помощью графов

2. В каждом способе показать процесс установления связей при истинном утверждении и в случае высказываний, отрицающих какие-либо факты.

3. Показать применение способов при решении других типов задач.

I СПОСОБ-ПУТЕМ ЛОГИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

1. Федя и Саша носят фамилии Шилов и Гвоздев. Какую
фамилию носит каждый, если Саша с Шиловым живут в сосед
них домах.

РЕШЕНИЕ: Если Саша с Шиловым живут в соседних домах, то Саша не Шилов, следовательно он Гвоздев, а Федя Шилов.

2. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут
2 курицы за 6 дней?

РЕШЕНИЕ: 3 курицы — 3 дня — 3 яйца

1 курица — 3 дня (! ) — 1 яйцо

2 курицы — 3 дня — 2 яйца 2 курицы — 6 дней — 4 яйца

3. Три насоса за 3 часа выкачивают 3 тонны воды. Сколько тонн воды выкачивают 12 насосов за 12 часов?

4. Два землекопа за 2 часа выкапывают 2 метра канавы. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 5 метров канавы?

5. Аня и Маня имеют фамилии Строганова и Добрина. Какую фамилию имеет каждая, если известно, что Маня и Добрина — одноклассницы.

II СПОСОБ-ТАБЛИЧНЫЙ

6. Три подруги — Валя, Катя и Галя — пришли на день рождения в платьях разного цвета: розовом, голубом и желтом. Катя была не в желтом платье, Валя — не в желтом и не голубом. Кто из девочек пришел в каком платье.Необходимо познакомить с правилами заполнения таблицы_:

1. Истинное утверждение отмечается знаком « + », ложное утверждение « — » (в логическом квадрате «х»).

2. Если в строке (столбике) есть один « + », то остальные

« — ».

3. Заполняем таблицу по ходу чтения текста (отмечаем дан
ные связи), путем рассуждений дополняем и получаем ответ.

7. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании — Юра Воробьев, следующий по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем катался?

Люся Егорова может танцевать только с Юрой Воробьевым, т.к. Андрей Егоров ее брат, а Сережа и Дима ниже ее ростом. Рассуждая аналогично, продолжи решение.

8. Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Бом может быть только в синих туфлях, тогда Бим в красных туфлях и в красной рубашке. Теперь Бам может быть только в синей рубашке, тогда Бом в зеленой.

Итак:

Имя Цвет	Туфель	Рубашки
Бим Бом Бам	Красный Синий Зеленый	Красный Зеленый Синий

9. Встретились Белов, Чернов и Рыжов. Один из них был блондин, другой — брюнет, третий — рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из них, если брюнеты всегда говорят правду? РЕШЕНИЕ:

Б. Ч.. Р.

б бр р

X	X	+
+	X	X
X	+	X

10. Эдик, Вася и Миша заняли- первые. 4-места в соревнованиях, причем никакие два мальчика не делили между собой место. На вопрос, какие они заняли места, мальчики честно

ответили: 1. Эдик — ни первое и ни третье; 2. Вася — второе; о. Андрей не был последним. Какие места заняли мальчики? Эдик мог занять только 4 место, Андрей 1 или 3, тогда Миша — 3 и 1.

Эдик. 1

Вася. 2

Андрей. 3

Миша. 4

Попробуй обозначить решение сам.

11. Вилли, Билли и Дилли решили подарить Поночке на день рождения цветные шарики: желтого, красного и синего цветов, по цене 2 руб., 3 руб. и 5 рублей.

Вилли купил не красный и не синий, но самый дорогой шарик.

Билли — не красный и не дешевый.

Кто из братьев подарил какой шарик?

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СПОСОБОМ СОСТАВЛЕНИЯ «ГРАФА» И ЛОГИЧЕСКИМ КВАДРАТОМ

1. В бутылке, стакане, кувшине, банке находятся молоко, лимонад, квас, вода. Вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

2. Люба, Женя, Саша и Юра получили за контрольную работу отметки: 5, 5, 4, 3. Саша получил отметку больше, чем Люба, а Женя такую же, как Юра. Кто какую отметку получил?

3. Миша, Женя и Леня имеют фамилии Орлов, Ястребков и Соколов. Какую фамилию имеет каждый из них, если. Женя Миша и Соколов — члены математического кружка, а Миша и Ястребков занимаются музыкой?

4. В шашечном турнире каждый из ребят Миша, Серёжа и Яша — защищал честь своего класса. Один из них учился в

3 А, ДРУГОЙ в 3 Б, а третий — в 3 В. Первую партию играли Миша и ученик 3 А класса. Вторую партию играл Сережа с учеником 3 В класса, а Миша отдыхал. В каком классе учится каждый из ребят?

5. Петя, Ваня и Саша учатся в одной начальной школе, но в разных классах. Петя перешел в тот класс, в котором учился Саша. Ване нужно учится еще один год, чтобы перейти в тот класс, в котором учится Петя. В каком классе учится каждый мальчик?

6. Три ученицы — Тополева, Березкина и Кленова — на пришкольном участке посадили три дерева: березку, тополь, клен.

— Интересно получилось, — что ни одна из вас не посадила дерево той породы, от которой произошла фамилия; узнайте, ребята, какой породы деревце посадила Кленова, если это была не березка? А какие деревца посадили Тополева и Березкина?

7. Три подружки — Вера, Оля и Таня — пошли в лес по
ягоды. Для сбора ягод у них были корзинка, лукошко и ведерко.
Известно, что Оля была не с корзинкой и не с лукошком, Вера не
с лукошком. Что взяла с собой каждая девочка для сбора ягод?

Реши задачи методом исключения с применением таблиц (обозначим + и - все связи)

1. А, Б, В, Г — друзья. Один из них врач, другой — журналист, третий — тренер спортивной школы, четвертый — инженер. Журналист написал статью об А и Г. Тренер и журналист вместе с Б ходили в турпоход. А и Б были на приеме у врача. У кого какая профессия?

2. В - одном дворе живут 4 друга. Вадим и шофер старше Сергея. Николай и слесарь занимаются плаваньем, электрик — младший из друзей. По вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определить профессию каждого.

3. На улице, встав в кружок беседуют, четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Валя и не Аня) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей и какое платье носит каждая девочка?

4. В одном классе уроки по математике, истории и русскому языку вели три учителя: Архипов, Морозов и Светлов. Определите кто из них какой предмет ведет, если известно, что:

^а) все трое — Морозов, учитель математики и Светлов — идут из школы вместе домой;

б) учитель истории старше учителя математики, а Морозов — самый младший среди них.

5. Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на одной улице. Один из них работает плотником, другой — маляром, третий — водопроводчиком. Однажды маляр пришел к плотнику, чтобы попросить его починить дверь в своей квартире, но ему сказали, что плотник помогает Федорову ремонтировать пол. Определите профессию каждого, если известно, что водопроводчик никогда не видел Давыдова.

6. Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров — четыре талантливых молодых человека. Один из них — танцор, другой — художник, третий — певец, а четвертый — писатель. Вот что о них известно:

а) Воронов и художник сидели в театре в тот вечер, когда
певец выступал там с концертом;

б) Павлов и писатель вместе позировали художнику;

в) писатель написал биографическую повесть о своем друге
Сахарове и собирается написать о втором друге, Воронове.
Назовите фамилии танцора, художника, певца и писателя.

7. Поезд идет из Москвы в Минск. В поезде едут пассажиры
Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фами
лии у машиниста, кондуктора и кочегара. Известно, что:

а) пассажир Иванов живет в Москве, а пассажир Петров
живет в Минске. Однофамилец машиниста живет между Моск
вой и Минском.

б) Однофамилец кочегара получает ровно втрое больше
кондуктора. Пассажир Петров получает в месяц 200 тыс. руб.

Определите фамилии всех членов поездной бригады.

* 8. В купе одного из вагонов поезда едут 6 пассажиров, живущих в разных городах: Москве, С-Петербурге, Минске, Киеве, Харькове и Одессе. Их фамилии: Андреев, Борисов, Васильев, Григорьев, Дмитриев и Елисеев. При посадке Васильев помог одесситу грузить багаж. В дороге выяснилось, что Андреев и москвич — врачи, Дмитриев и ленинградец — учителя, Васильев и минчанин — инженеры, Борисов и Елисеев — участники Отечественной войны, а минчанин в армии не служил. Андреев и харьковчанин сошли в Киеве, а Васильев поехал дальше. Елисеев вел спор с ленинградцем о пользе нового лекарства. Определите местожительство каждого из пассажиров и укажите их профессии.

* 9. Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий Дмитрий, Евгений, Захар, Иван, Кирилл и Леонид учатся всё в разных классах десятилетней школы.

1) Старший брат Дмитрия оканчивает 7 класс, а младший

брат Евгения учится в 5 классе. Александр старше Кирилла на один класс, а Леонид старше Евгения на два класса.

2) Василий не оканчивает школу в этом году. Иван при окончании 4 класса получил грамоту. Борис — вожатый

_в 5 классе, а Василий — в 4.

3) Александр, Кирилл и шестиклассник занимаются в гимнастической секции, а одновременно с ними тренируются баскетболисты, среди которых всегда Борис, Евгений и восьмиклассник.

4) Александр и семиклассник живут на улице Свободы, Георгий и пятиклассник на улице Пограничной, Дмитрий, первоклассник и восьмиклассник на Садовой, а Кирилл и десятиклассник — на Октябрьской.

5) Борис помогает в учебе Евгению, Дмитрий — Ивану, Георгий — Александру.

Кто из них в каком классе учится?

* 10. На заводе работали три друга: слесарь, токарь, сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов женат на сестре Борисова, он старше токаря. Назови фамилии рабочих.

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Цели: 1. Дать первые понятия перестановкам, размещениям, сочетаниям с повторением и без повторения.

2. Научить правилам полного перебора.

3. Научить решать задачи на различную комбинацию чисел.

Задачи для подготовки

Задачи на перестановку

РЕШЕНИЕ:

4-6

6 раз, если начать с цифры 1, а если с других цифр, то 4 х 6 = 24 раза.

Кащей

Баба-Яга

Кикимора

9. Сколько дорог.

3-1=3 3-4=12 12 • 5 = 60 (способов)

Замечание: если Мальвина позвонила и поздравила Золушку, то будет ли Золушка звонить Мальвине?

14. Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?

Решение. Т.к. каждый из семи человек дал 6 фотографий (всем, кроме себя), то всего было роздано 42 фотографии

12 3 Следующая ⇒