Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки

Запишем уравнение Фурье в развернутом виде

При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е

Температурное поле одномерно (плоская стенка) .

Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d²t/dx²=0.

Проинтегрируем дважды: dt/dx = C₁; t = C₁x+C₂. C₁и С₂ найдем из условий на границе: х=0; х=d. При х=0 t_ст1=С₂, а при х=d t_ст2= C₁d+ t_ст1;

C₁=( t_ст2- t_ст1)/d; В результате получим

t=x(t_ст2- t_ст1)/d+ t_ст1 (8)

Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме

dQ=l/d( t_ст1- t_ст2)dFdt.

Q=l/d( t_{ст 1}- t_ст2)Ft (9).

Здесь l/d - термическая проводимость стенки.

Теплопроводность цилиндрической стенки (самост.)

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда имеет место тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, тем больше тепла оно передает в виде теплового излучения.

Тепловое излучение

- это процесс распространения энергии в форме электромагнитных волн.

Взаимное излучение твердых тел

- лучистая энергия, попадающая на тело, частично поглощается, частично отражается, а частично проходит через тело. Поглощенная энергия увеличивает внутреннюю энергию тела, а значит и температуру тела. Твердые тела, как и жидкости, излучают сплошной спектр излучения. В твердых телах в процессах лучистого теплообмена участвуют поверхностные слои тела.

Тепловое излучение газов - газы излучают и поглощают не весь спектр длин волн, а лишь определенную часть. Кроме того, поглощение носит объемный характер, т.е. поглощение зависит от толщины газового слоя и давления.

Конвективный теплообмен

Конвективный теплообмен - это процесс переноса теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или от жидкости к стенке. Вследствие «прилипания» жидкости к поверхности стенки вблизи нее образуется пограничный слой, в котором движение определяется силами вязкого трения.

С точки зрения тепловых процессов, вблизи стенки также имеется тепловой пограничный слой, в котором тепло передается преимущественно путем теплопроводности.

Рис.

Наряду с теплопроводностью в движущейся жидкости происходит к онвективный перенос теплоты, который обусловлен перемещением частиц жидкости из зоны с большей температурой в зону с меньшей температурой. Т.о. перенос теплоты от стенки к движущейся относительно нее жидкости или наоборот осуществляется одновременно путем теплопроводности и конвекции и называется к онвективным теплообменом или теплоотдачей. При теплоотдаче тепло от стенки к жидкости или наоборот распространяется через пограничный слой в ядро потока, где распространяется уже путем конвекции. Очевидно, что на теплоотдачу существенное влияние оказывает режим движения жидкости. По природе возникновения различают свободное и вынужденное движение. Свободное - возникает из-за разности плотностей в жидкости, обусловленной термическим расширением. Вынужденное - обусловленно действием внешней силы (насосом, вентилятором). Вынужденное движение определяется свойствами жидкости (r, n, t), формой канала.

Различают ламинарный и турбулентный режим движения. Интенсивней теплообмен при турбулентном режиме.

Уравнение теплоотдач и- уравнение Ньютона.

Кинетика переноса теплоты от стенки к жидкости (или наоборот) выражается законом Ньютона: Количество теплоты в Дж, переданной от поверхности теплообмена к среде (или наоборот) прямо пропорционально поверхности теплообмена dF, разности температур стенки и среды Dt и времени теплообмена dt.

dQ = a dF dt D t (10 ),

где Dt - разность температур стенки и жидкости, a - коэффициент теплоотдачи, Вт/м²град. Физический смысл a - выражает количество теплоты, передаваемое за 1с через 1м² поверхности при Dt =1 град. от теплоносителя к стенке (или наоборот).

Для стационарных процессов температура и a постоянны во времени и

dQ=a Dt dF (11).

При расчете конкретных стационарных процессов обычно принимают, что a постоянен вдоль поверхности теплообмена и уравнение теплоотдачи записывается в виде

Q=a Dt F (12)

Это уравнение в расчетной практике применимо, если известно a. Однако, определение a связано с большими трудностями, т.к. на теплоотдачу влияет множество факторов: режим движения, скорость движения, физические параметры жидкости, форма и размер поверхности теплообмена, t_ст. и t_cp. и т.д. Т.о. для проведения расчетов по теплообмену необходимо уравнение, которое бы связывало a с переменными, выражающими условия конвективного теплообмена. Таким уравнением является дифференциальное уравнение конвективного теплообмена.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒