Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Перечисляются основные неопределяемые понятия.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒


Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение: Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

 

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I1. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение:

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a, b, g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a, плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a.

Вывод: Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I2. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

 
 


Обозначение: а = АВ

Вывод: Прямые, имеющие две различные общие точки, совпадают.

I3. Прямая, проходящая через две любые точки плоскости, лежит в этой плоскости.

 
 


Обозначение:

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение: a = АВС

Вывод: Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

 

I5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение: М Î a, М Î b, a ¹ b, a ì ü b = l.

II. Аксиомы расстояния

II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

 
 


Обозначение: АВ ³ 0.

II2. Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.

Обозначение: АВ = ВА.

II3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Обозначение: АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О.

 
 


III2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а.

 
 


III3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.

III4. Любая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А, В, А1, В1 лежат в плоскости a, причем АВ > 0 и АВ = А1В1, то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А1 а точку В на точку В1.

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

 
 


Дано: М, а, М Ï а

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I1): АÎ а, ВÎ а.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I4): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a, то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I3): а Ì a.

Следовательно, существует плоскость a, проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I4).

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

 
 


Дано: а, b, а ´ b

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I1): АÎ а, ВÎ b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I4): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a, то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I3): АМ = а Ì a.

Так как точки В, М принадлежат плоскости a, то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I3): ВМ = b Ì a.

Следовательно, существует плоскость a, проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I4).

Определение: Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано: а, b,

Доказать:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. Существование плоскости a, проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых.

2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I1): АÎ а, ВÎ b, МÎ b. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I4. Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная.

Упражнения:

1. Прочитать запись и сделать схематический рисунок:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2. По рисунку назвать:

a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;

b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;

c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС1 и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА1;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А1В1С1;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и АСD, РВ1С1 и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ


⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒
Поделиться:



Популярное:

  1. I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ ПОЛИТИКИ
  2. I. Основные параметры цунами
  3. I. Основные теоретические сведения
  4. I. Основные этапы становления и развития физической культуры в России и зарубежных странах
  5. I. Рабочее тело и параметры его состояния. Основные законы идеального газа.
  6. II. Основные положения по организации практики
  7. II. Основные цели и задачи Совета
  8. III. Основные функции и полномочия Управления
  9. VШ. ОСНОВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПЕРЕРАБОТКИ НЕФТИ
  10. Адлер выделил три основные жизненные цели (задачи): работу, дружбу и любовь.
  11. Алгоритмы классического цикла управления и основные направления развития менеджмента в здравоохранении.
  12. Алфлвит и некоторые основные оперлторы языка PascaI

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-04; Просмотров: 959; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.026 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь