Дан тетраэдр DАВC. Точки М, N, Р являются серединами ребер DА, DВ, DС. Доказать, что плоскости МNР и АВС параллельны.

 

6. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Определение: Углом между непараллельными прямыми т и п называется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т' и п', где т' || т , п' || п .

, , .

Замечание: Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

 

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение:

 

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

 

Задача: Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁.

Найти: ; ; .

Решение:

По признаку параллельности двух прямых:

и , следовательно, . .

. , так как СDD₁С₁ является квадратом.

.

По признаку скрещивающихся прямых:

, следовательно, · .

, следовательно, .

.

Вывод:

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение:

 

 

Задача: Доказать, что через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

Дано: g;

Доказать:

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что через точку М проходит две различные прямые, перпендикулярные плоскости g: .

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость , пересекающая плоскость g по прямой т.

Получили, что в плоскости через точку М проведены два перпендикуляра к прямой т, что невозможно.

Следовательно, предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать. Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

 

Как проверить, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн зданий, которые нужно поставить прямо, т. е. перпендикулярно к той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, для этого нет необходимости проверять перпендикулярность данной прямой к любой прямой этой плоскости, как о том говорится в определении.

Докажем признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Чтобы доказать, что , докажем, что прямая т перпендикулярна произвольной прямой l, принадлежащей плоскости .

Пусть , . , если , т. е.

Дополнительные построения:

Через точку N, принадлежащую плоскости a, проведём прямые и , .

На прямых и от точки N отложим отрезки . Соединяя последовательно точки , получим прямоугольник АВСD (АС = ВD).

Прямая пересекает стороны АВ и СD соответственно в точках К и Р.

Точку М соединяем с точками .

Докажем, что MN является высотой в равнобедренном треугольнике КМР, т. е.

1. D КМР – равнобедренный (МК=МР);

2. MN – медиана (КN =NР);

3. MN – высота (MN^КР).

D АМN=D ВМN=D СМN=D DМN ( как прямоугольные треугольники по двум катетам)

1. , так как MN^АС, MN^ВD;

2. MN – общий катет;

3. АN = ВN = СN = DN по построению.

Из равенства треугольников следует, что АМ = ВМ = СМ = DМ.

D АВМ = D СDМ (по трём сторонам)

1. АD=ВС по построению;

2. АМ = СМ;

3. ВМ = DМ.

Из равенства треугольников следует, что .

D ВМК = D DМР (по двум сторонам и углу между ними)

1. ВК= DР (по свойству параллелограмма);

2. ВМ=DМ;

3. ( как ).

Из равенства треугольников следует, что МК = МР. Значит D КМР – равнобедренный.

По свойству параллелограмма NК = NР, следовательно, MN является медианой в равнобедренном треугольнике. А, значит, MN – высота.

Вывод: Чтобы доказать, что данная прямая перпендикулярна данной плоскости, надо в этой плоскости найти две пересекающиеся прямые, которым данная прямая перпендикулярна.

Упражнения:

1. Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости a. Может ли быть перпендикулярна к этой плоскости:

a) ВС,

b) СD, где D – середина АВ?

2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

3. В треугольнике АВС дано: Ð С = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найти КМ.

7. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Bizz: Допустим, клиент не проверил карман, а там что-то лежит, что может повредит аппарат. Как быть в такой ситуации?
2. E) тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи
3. Hаиболее хаpактеpными для остpого панкpеатита являются боли
4. I - Что относится к внешним проявлениям дружбы с неверными.
5. I LEARN THAT I AM ON AN ISLAND (я узнаю, что я на острове)
6. I SEE SOMETHING IN THE SAND (я вижу кое-что в песке)
7. I ЭТАП: ОБСЛЕДОВАНИЯ (СБОР ДАННЫХ)
8. I. Анкетные данные больного.
9. I. Предание своей жизни в распоряжение воли Божественной.
10. I. Чтобы они поистине были универсальными для научных занятий.
11. I.3. Формирование сербского этноса на территории Османской империи и Австро-Венгерской(Габсбургской) империи.
12. II. Для граждан Российской Федерации