Методы суммирования погрешностей

Перед суммированием все погрешности делятся на следующие группы:

· систематические

· случайные:

o коррелированные

o некоррелированные;

· аддитивные и мультипликативные;

· основные и дополнительные.

Такое деление необходимо потому, что систематические и случайные погрешности, а также коррелированные и некоррелированные суммируются по разному, а аддитивные погрешности нельзя складывать с мультипликативными.

Если некоторые погрешности указаны в виде доверительных интервалов, то перед суммированием их нужно представить в виде среднеквадратических отклонений (п. 4.1.5).

Дополнительные погрешности могут складываться с основными либо перед суммированием погрешностей, либо на заключительном этапе, в зависимости от поставленной задачи. Второй вариант часто предпочтительнее, поскольку позволяет оценивать погрешность всего ИК в зависимости от величины внешних влияющих факторов в конкретных условиях эксплуатации.

При последовательном соединении нескольких СИ погрешности, проходя через ИК с ПФ (функцией преобразования) f(х), могут усиливаться или ослабляться. Для учета этого эффекта используют коэф-ты влияния, определяемые как df(x)/dx ≈ К_х. Все погрешности перед суммированием приводят к выходу (или входу) ИК путем умножения (деления) на коэф-т влияния. В дальнейшем преполагается, что такое приведение уже выполнено.

Погрешности СИ являются случайными величинами, поэтому при их суммировании в общем случае необходимо учитывать соответствующие законы распределения. На практике пользуются более грубыми упрощенными методами, разработанными математической статистикой.

Математическое ожидание погрешностей СИ, как правило, равно нулю. Если это не так, то его (в виде поправки) складывают с систематической составляющей погрешности. В СА введение поправки выполняется автоматически с помощью микроконтроллера, входящего в состав СИ. Математическое ожидание случайной составляющей всегда равно нулю, поскольку при нормировании метрологических характеристик его относят к систематической составляющей.

Наиболее полное определение итоговой погрешности ИК состояло бы в нахождении функции распределения суммы нескольких погрешностей измерения. Однако функция распределения суммы случайных величин находится с помощью операции свертки, что приводит к значительным практическим трудностям. Поэтому для оценки итоговой погрешности ограничиваются только суммированием дисперсий погрешностей.

Погрешности суммируют по однородным группам, затем находят общую погрешность, используя геометрическое суммирование для случайных погрешностей и алгебраическое для детерминированных.

Существует 3 способа суммирования погрешностей:

· алгебраический:

(4.57)

где i - номер погрешности, N - их число

· геометрический:

(4.58)

где σ _i - среднеквадратическое значение i-й погрешности;

· с учетом корреляции:

(4.59)

Здесь во 2-м слагаемом: j ≠ i потому, что члены с j = i уже учтены в первой сумме, j < i для того, чтобы суммировать только члены, лежащие ниже диагонали корреляционной матрицы, поскольку вследствие ее симметричности R_ijσ _iσ _j + R_jiσ _jσ _i = 2R_ijσ _iσ _j. При R_ij = +1 соотношение такое суммирование переходит в алгебраическое:

(4.60)

где σ _i складывается со своим знаком, т.е. коррелированные погрешности с противоположными знаками частично взаимно компенсируются, если их коэф-т корреляции равен единице.

При R_ij = -1 погрешности вычитают попарно:

(4.61)

т.е. при отрицательной корреляции погрешности частично компенсируются, если они имеют один и тот же знак.

Учитывая, что получить удовлетворительные оценки коэф-тов корреляции практически довольно трудно, используют следующий прием: при | R_ij | > 0, 7 считают, что | R_ij | = 1, при | R_ij | < 0, 7 полагают | R_ij | = 0.

Систематические погрешности

В наиболее типовом случае систематические составляющие основных погрешностей ИК суммируются геометрически, поскольку являются случайными величинами.

Соотношения геометрического суммирования были получены для среднеквадратических погрешностей (4.17). Поэтому, если комплекс метрологических характеристик СИ включает предел допускаемых значений систематической составляющей основной погрешности Δ _os без указания среднеквадратического значения (по ГОСТ 8.009), то соответствующее ему среднеквадратическое значение находят в соответствии с рекомендациями РД 50-453-84:

(4.62)

Это соотношение справедливо, если нет оснований полагать, что функция распределения данной погрешности является несимметричной и имеет несколько максимумов.

По рекомендациям МИ 2232-2000 - половина предела допускаемой погрешности.

Выбор способа суммирования систематических составляющих основных погрешностей не является однозначным, и это связано с отсутствием полной информации о законе распределения.

Причиной основной погрешности является как технологический разброс параметров электронных компонентов, так и нескомпенсированная нелинейность. Технологический разброс обычно является случайным и систематическая составляющая погрешности может рассматриваться как случайная величина на множестве ИК одного и того же типа. Поэтому при расчете погрешностей она учитывается геометрически. Однако нелинейность передаточной характеристики ИК (нелинейность АЦП, нормирующих усилителей, термопар) у всех экземпляров приборов одного типа будет иметь примерно один и тот же вид, величину и знак. Например, погрешность, вызванная нелинейностью, в начале шкалы может быть положительной, в середине шкалы отрицательной, у верхнего предела шкалы опять положительной, и так для всех экземпляров приборов одного типа. Поэтому погрешности, обусловленные нелинейностью, должны суммироваться алгебраически.

В современных модулях аналогового ввода используется автоматическая калибровка, позволяющая уменьшить случайную компоненту систематической погрешности, и в этом случае преобладающей является детерминированная погрешность нелинейности.

Поскольку ГОСТ 8.009 не предусматривает нормирование таких тонких нюансов поведения погрешностей, выбор способа суммирования начинает зависеть не от технических, а от других факторов. Если фактическая погрешность окажется выше расчетной и это влечет за собой угрозу жизни людей, большой экономический ущерб, техногенную катастрофу и т.п., то суммирование погрешностей выполняют алгебраически, причем используют не среднеквадратические отклонения, а пределы допустимых значений погрешности.

Если известен знак систематической погрешности, то его учитывают при суммировании.

Для наиболее ответственных применений следует использовать СИ, для которых указаны погрешность без разделения на случайную и систематическую компоненты, поскольку в этом случае погрешность указана с доверительной вероятностью, равной единице. Если же используются ИК, для которых указана случайная составляющая, то для них рассчитывают величину погрешности при доверительной вероятности, равной единице. Это условие существенно завышает требования к точности ИК.

Алгебраическое суммирование часто дает слишком завышенную оценку погрешности. Поэтому МИ 2232-2000 предусматривает промежуточный вариант между геометрическим и алгебраическим суммированием:

(4.63)

где К - поправочный коэф-т, равный 1, 2 для наиболее важных параметров ТС аварийной защиты и блокировки, контроля за соблюдением требований техники безопасности и экологической безопасности, контроля характеристик готовой продукции.

Для конкретных экземпляров приборов могут быть указаны не номинальные характеристики (имеющие одну и ту же величину для всех приборов данного типа), а индивидуальные. В этом случае систематическая погрешность является не случайной, а детерминированной величиной, поэтому должна учитываться в итоговой погрешности измерительного канала алгебраически.

Случайные погрешности

Случайные составляющие основной погрешности СИ по ГОСТ 8.009 задаются своими среднеквадратическими отклонениями, поэтому их суммирование выполняется геометрически по (4.58).

Если случайная погрешность является коррелированным случайным процессом (п.4.1.3) и задана в виде функции автокорреляции R(t) или спектральной плотности мощности S(f), то сначала находят среднеквадратическое значение случайной составляющей погрешности:

(4.64)

где fв - верхняя граничная частота полосы пропускания всего ИК или цифрового фильтра, используемого при обработке полученных данных. Если задана функция автокорреляции R(t), то сначала находят спектральную плотность мощности:

(4.65).

Случайная составляющая погрешности может быть уменьшена в несколько раз (в зависимости от величины фликкер-шума) усреднением результатов многократных измерений (п.4.2).

⇐ Предыдущая 31 32 33 34 353637 38 39 40 Следующая ⇒