Алиасные частоты, антиалиасные фильтры

⇐ ПредыдущаяСтр 35 из 51Следующая ⇒

В СИ СА появляется низкочастотная помеха, которой нет в измеряемом процессе. Она может иметь форму периодического сигнала (сплошная кривая на рис. 4.17, а) или напоминать сигнал с амплитудной модуляцией (рис. 4.17, б, в). Реально такая помеха появляется только после дискретизации сигнала, поэтому ее называют ложной или алиасной (от alias - вымышленный). Алиасные помехи увеличивают погрешность ИК. Аналогичные эффекты проявляются и в других областях измерений (например, интерференция, стробоскопический эффект, муар и т.п).

Принцип образования помехи с алиасной частотой иллюстрируется рис.4.17, а. где пунктирной линией показан дискретизируемый периодический сигнал с периодом Т, точки на линии показывают моменты выборки текущих значений.

При дискретизации с высокой частотой, когда шаг дискретизации много меньше периода колебаний (таким образом дискретизирован 1-й период синусоидального сигнала на рис.4.17, а), дискретизированный сигнал качественно не отличается от исходного, если пренебречь погрешностью дискретизации.

Если же шаг дискретизации приближается к периоду исходного сигнала, то, как показано сплошной линией на рис. 4.17, а, после дискретизации получается сигнал, по форме похожий на исходный, но с гораздо большим периодом. Период стремится к бесконечности при τ → Т.

Рис.4.17. Пояснение принципа появления алиасных частот: а - при τ = 0.1 Т; б - при τ = 0.45 Т; в - при τ = - 0.49 Т

Аналогичный эффект, состоящий в появлении новых компонент спектра в низкочастотной области, возникает и при дискретизации функций произвольной формы x(t) заданный на интервале времени [ 0, Т ] (рис.4.18). Если х_д(k) последовательность отсчетов сигнала с шагом τ в точках kт (называемая дискретным сигналом), то:

(4.52)

где δ (t) - дискретная импульсная (игольчатая) функция, определяемая как

δ (t) = 1 если t = 0 и δ (t) = 0 если t ≠ 0 (4.53)

В отличие от дельта-функции Дирака, она не стремится к бесконечности при t = 0. В (4.52) функция x(t) вынесена за знак суммирования потому, что она не зависит от k.

Cпектр сигнала x_д(t) (4.52):

(4.54)

Здесь функция x(t) внесена под знак суммирования, поскольку она не зависит от n.

Спектральная плотность X_д(jω ) дискретного сигнала x_д(t):

(4.55)

Таким образом, спектр дискретного сигнала X_д(jω ) является серией копий спектров непрерывного сигнала X(jω ) сдвинутых друг относительно друга на частоту дискретизации ω _д= 2π /τ = 2π f_д:

На рис.4.19, а показан график непрерывного сигнала х(t) (рис.4.19, а, слева) и модуля его спектральной плотности |X(f)|, f = ω /2π (справа). Поскольку функция |X(f)| симметрична относительно оси ординат, на рис. 4.19 показан только график в правой полуплоскости. Исходный непрерывный сигнал x(t) можно рассматривать как дискретный с нулевым периодом дискретизации ( ω → 0, и ω _д → ∞ ). Поэтому модуль его спектральной плотности является непериодической функцией (рис.4.19, а, справа).

После дискретизации функции х(t) с частотой f_д на графике модуля спектральной плотности появляется бесконечное количество копий |X(f)| (рис.4.19, 5, в, справа), сдвинутых друг относительно друга на величину f_д. Степень отличия спектра дискретного сигнала от спектра непрерывного характеризует величину погрешности дискретизации. С уменьшением частоты дискретизации в соответствии с (4.98) и как видно из рис.4.19 копии спектров сближаются, увеличивая погрешность дискретизации.

Рис. 4.19. Сигналы и их спектральные плотности: а - непрерывный сигнал; б) –г) - дискретные сигналы; f_д = 1/τ - частота дискретизации, fс - граница спектра

Если вся полезная информация, содержащаяся в непрерывном сигнале, заключена в области от 0 до частоты f_с, - границы спектра непрерывного сигнала (на рис.4.19 заштрихована) и если для восстановления сигнала используется фильтр с граничной частотой 2 f_с (рис.4.19, в), который убирает все составляющие спектра, лежащие выше 2 f_с, то наличие копий в спектре дискретного сигнала не искажает форму сигнала после его восстановления.

Если же ближайшая копия спектра приблизится к оригиналу настолько, что внесет искажения в его форму (рис.4.19, г), то восстановить исходный сигнал становится невозможно. Поэтому для исключения наложения спектров частота дискретизации f_д должна быть по крайней мере в 2 раза выше граничной частоты спектра f_с, т.е.

f_д > 2 f_с, (4.56)

как и требуется по теореме Котельникова.

Спектр произвольного непрерывного сигнала, показанный на рис.4.19, а, в общем случае является неограниченным. Поэтому копии спектров, появляющиеся после дискретизации, всегда частично перекрываются. Это является причиной потери информации при восстановлении сигнала. И только для сигнала с ограниченным спектром эффект наложения отсутствует, что позволяет восстановить сигнал без потери информации.

Описанный алиасный эффект не может быть устранен с помощью цифровой фильтрации, если частота дискретизации равна удвоенной частоте верхней границы спектра полезного сигнала, так как при этом в спектре дискретизированного сигнала будет потеряна информация о помехах. Для решения этой проблемы можно использовать аналоговый (антиалиасный) фильтр с граничной частотой f_с ≤ 0.5f_д на входе блока дискретизации или выбрать частоту дискретизации выше верхней граничной частоты спектра помех, чтобы в последующем выполнить цифровую фильтрацию.

В модулях аналогового ввода антиалиасный фильтр обычно настроен на максимальную частоту дискретизации, обеспечиваемую модулем и не может быть перестроен. Поэтому, если при измерении медленно протекающих процессов частота дискретизации программно выбрана низкой, а антиалиасный фильтр не перестроен, то помеха не ослабляется антиалиасным фильтром и в измеренном сигнале появляются алиасные помехи.

⇐ Предыдущая 30 31 32 33 343536 37 38 39 Следующая ⇒