Происхождение уравнений кригинга

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 22Следующая ⇒

Задача состоит в следующем: мы имеем N значений данных z(x₁), …, z(x_N) в нашем районе, и мы хотим оценить линейную функцию переменной Z(x). Например, мы можем захотеть оценить ее значение в конкретной точке Z(x₀), или ее среднее по определенному региону. (Некоторые другие линейные функционалы, такие как градиент, также могут быть оценены с помощью кригинга.) Чтобы избежать необходимости описания всех случаев раздельно, мы обозначим оцениваемое множество через:

[7.1]

Объем V может быть всем месторождением, или добываемым блоком, или он может быть таким маленьким, как одна точка, в случае точечной оценки. Он может быть даже неправильной формы. Для большей информации по кригингу объемов неправильной формы смотрите Рамку 5. Чтобы оценить Z(V), мы запишем взвешенное среднее данных:

[7.2]

где l_i – факторы взвешивания. По договоренности звездочка будет использоваться для обозначения оценки значения, как противопоставление действительному, но неизвестному значению. Проблема заключается в определении лучшего способа выбора факторов взвешивания. Т.е. найти область, где мы можем использовать геостатистическую модель. Мы предполагаем пространственную переменную:

[7.3]

Веса выбираются такие, чтобы оценка была:

несмещенной:

с минимальной дисперсией: - минимально.

Эту дисперсию мы будем называть дисперсией кригинга.

Различные кригинговые оценщики

На первом этапе мы предполагаем, что пространственная переменная Z(x) стационарна и, что ее среднее m неизвестно. Кригинг с неизвестным средним называется обычным кригингом (OK). Сначала мы определим систему уравнений для обычного кригинга (для стационарного случая) в терминах вариограммы, а затем ковариацию, после чего покажем, как обобщить эти результаты на случай внутренних переменных.

Рамка № 5: Могут ли неправильной формы блоки быть оценены кригингом?

Некоторые люди думают, что только регулярные блоки могут быть оценены кригингом. Но это не верно. Уравнения кригинга имеют довольно общий характер. Целевой объем " V" может быть малым, как точка, или большим, как все месторождение. Чаще это блоки регулярной формы, но они могут иметь и неправильную форму, такую как блок, намеченный для взрыва.

Проблемы возникают только, когда надлежащим образом дискретизируется V для вычисления и . Для правильной формы блока легче выбрать размер сетки, который гарантирует достаточное количество точек дискритизации внутри зоны оценивания. Как можно увидеть из двух рисунков ниже, небольшое изменение интервалов сетки приводит к существенному уменьшению количества узлов сети внутри зоны.

Следующий этап заключается в том, чтобы понять, как оценивать неизвестное среднее m. После этого мы увидим, что происходит с кригинговой оценкой, если среднее m известно. Этот метод называется простым кригингом и обозначается SK. Во всех этих случаях линейные уравнения, называемые системой кригинга, должны решаться для вычисления весов кригинга и дисперсии кригинга.

Обычный кригинг

Несмещенность. Переменная Z(x) полагается стационарной со средним m. Ее среднее каждой точки равно m и, поэтому является средним любого блока. Это значит

[7.4]

Большинство оценок являются взвешенным движущимся средним величин пространственных данных, что означает, что они - линейные комбинации этих данных:

[7.5]

Среднее ошибки оценивания – это:

[7.6]

Чтобы быть несмещенной, математическое ожидание ошибки должна быть равно нулю, поэтому либо m=0, либо сумма весов кригинга равна 1. В первом случае среднее известно (Это приводит к простому кригингу). Если m неизвестно, то сумма весов должна равняться 1.[2]

Минимальная дисперсия. Дисперсию ошибки можно выразить в терминах либо ковариации, либо вариограммы:

[7.7]

где - среднее вариограммы между x_i и объемом V, т.е.

Как показано в Главе 6, является средним вариограммы между любыми двумя точками x и x', независимо распределенных по всему объему V.

Аналогично и являются средними для ковариаций. Чтобы минимизировать дисперсию оценивания при условии, что сумма весов кригинга равна 1, мы вводим коэффициент Лагранжа m в выражение для минимизации. Поскольку сумма весов должна быть равна 1.0, то добавление слагаемого m не изменит значения выражения.

[7.8]

Частная производная затем приравнивается нулю. Это приводит к системе с N+1 линейными уравнениями, называемой системой кригинга. В Рамке 6 показан вывод этой системы. Система кригинга в терминах вариограммной модели имеет вид:

[7.9]

Минимум дисперсси, называемый дисперсией кригинга вычисляется:

[7.10]

Понятно, что уравнения можно решать и в терминах ковариации, используя минимизацию первой формы [7.7]. Вид системы кригинга в этом случае:

[7.11]

Рамка № 6: Вывод уравнений обычного кригинга

Важным шагом в выводе уравнений кригинга является минимизация выражения для дисперсии оценивания:

Эта формула получена дифференцированием в отношении каждого неизвестного и присваиванием частной производной нуля. Здесь мы видим это в деталях для случая, когда имеется три пробы. Процедура такая же, как и в общем случае для N проб. Если мы установим и , тогда

Дифференцируем по l₁и получаем

Отсюда

Аналогично дифференцируем по l₂ и l₃ и получаем

Последнее дифференцирование по m дает

В результате - система кригинга имеет вид:

В общем случае она должна дифференцироваться по каждому из N неизвестных весов, сумма их в системе кригинга должна быть от 1 до N, а не от 1 до 3. В противном случае принципы остаются теми же.

Два коэффициента Лагранжа связаны между собой равенством m’=-m. Получаем соответствующую дисперсию кригинга:

[7.12]

Чтобы решить систему, запишем ее в матричном виде: AX=B.

[7.13]

Если g - допустимая модель, и если нет повторяющихся точек, то матрица A в любом случае - не вырожденная. Существует ее обратная матрица A^-1. Поэтому решение существует, и можно доказать, что оно единственно. Единственность важна, потому что она используется для связи различных типов кригинга. Дисперсию кригинга можно записать:

(X^T =X транспонированное) [7.14]

Обратная матрица A не является положительно определенной.

⇐ Предыдущая 9 10 11 12 131415 16 17 18 Следующая ⇒