Уравнения OK для внутренних пространственных переменных

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 22Следующая ⇒

В предыдущем параграфе уравнения OK получены для случая стационарных пространственных переменных. Что произойдет, если пространственная переменная Z(x) внутренняя, но не стационарная. В определении внутренней переменной мы сказали, что здесь действия производятся с приращениями, а не с самими переменными. В частности были выдвинуты две гипотезы:

[7.15]

[7.16]

где g(h) зависит от h, но не от x. Поэтому по этой гипотезе ошибка оценивания является приращением, обеспечивающим сумму весов равную 1.0, и, следовательно, ее математическое ожидание и дисперсия существуют и могут быть вычислены. С этой точки процедура остается такой же как и для стационарного случая. Вычисляется и минимизируется дисперсия ошибки оценивания. Это приводит к такой же системе кригинга в терминах вариограммы, как и раньше. Это - одна из причин того, почему используется внутренняя гипотеза, а не просто – гипотеза стационарности.

Упражнение: Обычный кригинг блока

Рис 7.1. Конфигурация данных с оцениваемым блоком

Оценим кригингом выделенный блок (200м на 200м), используя 5 проб из регулярной 200м сетки. Предположим, что пространственная переменная стационарна с изотропной сферической вариограммой с порогом 2.0 и зоной 250м. Чтобы сделать возможными вычисления на карманном калькуляторе, ниже даны значения и .

[7.17]

Решение

Первый шаг – это написать систему кригинга. Так как проб 5, то система имеет размерность 6 на 6.

[7.18]

В матричном виде находим расстояния между точками и, затем оцениваем соответствующие значения вариограмм. Например, для расстояние между точками равно . Так как эта величина больше зоны, то значение вариограммы равно порогу. В результате система принимает вид:

[7.19]

Отсюда легко получим:

[7.20]

Поэтому оценка среднего значения в квадрате:

[7.21]

Дисперсия оценки:

[7.22]

Эффект самородка привносит элемент сложности при создании матрицы кригинга. Если, как в предыдущем случае, при сферической вариограмме эффект самородка был равен 1.5, то все недиагональные элементы матрицы увеличиваются на 1.5, а диагональные элементы остаются равными 0. Наоборот, если система записывается в элементах ковариации, то диагональные элементы будут равны суммарному порогу, включая компонент эффекта самородка; недиагональные элементы при этом остаются прежними.

Кригинг значения среднего

В обычном кригинге целью является оценивание линейной функции пространственной переменной, например - содержания в точке или среднее содержание по блоку. Здесь целью оценивания является значение неизвестного среднего m. Если мы будем использовать индекс m для того, чтобы отличать веса в этой оценке от предыдущей, то основное уравнение можно записать так

[7.23]

Как и раньше эта оценка должна быть несмещенной, и дисперсия ее должна быть минимальной. Чтобы быть несмещенной, ошибка оценивания должна иметь математическое ожидание = 0. Т.е.

Так как среднее Z(x) есть m, то это условие можно записать, как

[7.24]

Дисперсия ошибки оценивания –

[7.25]

Как и в обычном кригинге, эта дисперсия минимизируется с использованием коэффициентов Лагранжа. Следовательно, оценки кригинга –

[7.26]

Можно вычислить соответствующую дисперсию кригинга. Интересно, что в этом случае она равна коэффициенту Лагранжа.

[7.27]

Простой кригинг

Теперь мы построим систему кригинга, когда среднее m пространственной переменной известно. Во-первых, мы предполагаем, что пространственная переменная Y(x) имеет нулевое среднее. Понятно, что начальная пространственная переменная вычисляется из условия Z(x)=Y(x)+m. Получаем нашу оценку Y(x):

[7.28]

Мы будем использовать простые числа, чтобы отличать веса простого кригинга от весов обычного кригинга и от весов для кригинга среднего. Как и раньше эта оценка должна быть несмещенной, и дисперсия должна быть минимальной. Чтобы быть несмещенной, ошибка оценивания должна иметь математическое ожидание равное 0. Т.е.

[7.29]

Так как среднее Y(x) равно 0, то эта оценка автоматически становится несмещенной. Поэтому ограничение на сумму весов отсутствует. Дисперсия ошибки оценивания –

[7.30]

Так как нет условия по сумме весов, то нет необходимости и в коэффициенте Лагранжа. Поэтому система кригинга имеет следующий вид

[7.31]

Соответствующая дисперсия кригинга:

[7.32]

Решение системы кригинга [7.32] дает веса кригинга и, отсюда, оценку Y_V. Оценку Z_V можно вывести заменой Y(x) на Z(x)-m. Это дает:

[7.33]

Элемент l_M называется весом среднего в простом кригинге.

Простой кригинг редко используется в наши дни для практического применения, потому что среднее редко бывает известно. Он иногда используется на больших рудниках, например, в Южной Африке, где среднее каждой части залежи известно, потому что она разрабатывается уже много лет. Он также используется при кригинге преобразованных данных (например, после преобразования Гаусса), когда среднее устанавливается директивно, обычно – в виде нуля. Пример - дизъюнктивный кригинг. Но более важной причиной для изучения простого кригинга является то, что вес среднего – это один из лучших критериев для проверки качества кригинга. Больше информации об этом критерии качества дано в Главе 8.

Глядя на оценку [7.33], становится понятно, что форма оценщика изменилась. Сравнивая его с обычным кригингом и кригингом среднего, становится понятным, что это не больше, чем обычная линейная комбинация данных. Добавилось одно слагаемое - константа. Иногда кригинг рассматривается в терминах проекций (Journel, 1977).

Теорема аддитивности

В предыдущем параграфе мы увидели, как оценивать переменные, когда среднее известно (простой кригинг) и, когда оно неизвестно (обычный кригинг). Мы также увидели, как оценить значение среднего во втором случае. Интересно проследить, как эти три оценки связаны между собой. Оказывается, что замена кригинговой оценки для среднего m на выражение оценки SK дает оценку OK. Доказательство представлено в Рамке 7. В процессе доказательства получаются два интересных результата. Это:

[7.34]

[7.35]

Первое из уравнений обеспечивает интерпретацию коэффициента Лагранжа для OK в терминах веса среднего в SK и коэффициента Лагранжа для кригинга среднего. Второе уравнение показывает, что дисперсию обычного кригинга можно представить в виде двух частей: первая – это дисперсия простого кригинга, где среднее известно, вторая – это дисперсия оценки среднего, умноженная на квадрат фактора взвешивания среднего в простом кригинге. Второе слагаемое вводит элемент потери точности из-за незнания действительного среднего.

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒