Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 16Следующая ⇒

Пусть дана система в которой m и n произвольные числа. Понятие решения х = (х₁, х₂, …, х_п) системы линейных уравнений введено нами ранее. Система (15) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

(15)

Система (14) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет множество решений. Матрица

называется матрицей системы (15), матрица

называется расширенной матрицей. Очевидно, что

Ответ на вопрос о совместности системы (14) дает следующая теорема.

Теорема 5 (Кронекера – Капелли). Для совместности системы (14) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. .

В этом случае число r называется рангом системы.

Если , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, т.е. r=n, то система является определенной. Если же r< n, то - неопределенной.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим произвольную (по размерам) систему линейных уравнений.

Не ограничивая общности, предположим, что коэффициент а₁₁ не равен нулю и, пользуясь элементарными преобразованиями системы, исключим неизвестное х₁ из всех уравнений, кроме первого. При этом неизвестное х₁ называют ведущим неизвестным, а первое уравнение (в нем сохраняется х₁) – ведущим уравнением.

(16)

Умножим ведущее уравнение системы (16) на и прибавим ко второму уравнению, далее умножим ведущее уравнение на и прибавим к третьему уравнению и т.д. до последнего уравнения, к которому прибавим ведущее, умноженное на .

В результате получим систему:

(17)

равносильную исходной системе (16).

Если , то аналогичным образом можно исключить неизвестное х₂ из всех уравнений системы (17), кроме первого и второго уравнения, и получить систему:

(18)

Теперь исключим неизвестное х₃ из всех уравнений системы (18), кроме первых трех, и т.д.

В процессе последовательного исключения неизвестных могут появиться тривиальные уравнения, которые следует отбросить.

Если же появится уравнение вида

0х₁ + 0х₂ + 0х₃ + … + 0х_п = С, С ≠ 0, (19)

то это означает отсутствие решения исходной системы (16), так как уравнение (19) не удовлетворяется ни при каких значениях неизвестных.

Пусть в процессе исключения неизвестных не встретилось уравнение (19), тогда система (16) окажется приведенной к так называемому «трапецеидальному» виду:

где r < n.(20)

Если r = n, то система (20) примет так называемый «треугольный» вид, в котором последнее уравнение позволяет найти х_п. Подставим это х_п в предыдущее уравнение и найдем х_п-1; «поднимаясь» по уравнениям, найдем последовательно х_п-2, х_п-3, … х₁.

Таким образом, система (15) имеет в этом случае (r = n) единственное решение.

Если r < n, то исключавшиеся неизвестные х₁, х₂, х₃…х_r назовем ведущими или базисными неизвестными, а оставшиеся переменные х_r+1, х_r+2 … х_п – свободными неизвестными. Придавая свободным неизвестных произвольные (конкретные) числовые значения и поднимаясь по уравнениям системы (20), получим однозначно определенные (для конкретного набора свободных неизвестных) значения базисных неизвестных.

Так как значения свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом способов, то система (20), а значит, и (16) имеют бесконечное множество решений.

Решить методом Гаусса следующие системы:

Умножим первое уравнение на 2 и прибавим ко второму. Затем умножим первое уравнение на (-1) и прибавим к третьему. В результате получим эквивалентную систему

Умножим второе уравнение на и прибавим к третьему уравнению, получим систему

Теперь, поднимаясь от последнего уравнения к верхнему, получим

х₃ = 3, х₂ = -2, х₁ = 7.

Замечание. Для сокращения записей обычно не пишут неизвестные, а производят преобразования только над коэффициентами расширенных матриц систем. Так, в нашем случае:

Неизвестные подставляются в последнюю матрицу и находятся последовательно х₃,, х₂, х₁.

Таким образом, и переменные х₁ и х₂ – базисные,

а х₃ – свободное.

Выразим базисные переменные через свободные и получим так называемое общее решение исходной системы:

Положим, например, х₃ = 7, получим одно из множества решений:

х₁ = 11, х₂ = -1, х₃ = 7.

Метод полного исключения неизвестных (метод Гаусса – Жордана)

Этот метод является модификацией предыдущего метода и заключается в том, что каждое ведущее неизвестное исключается из всех уравнений, кроме одного (ведущего). Заметим, что ведущем неизвестным и ведущим уравнением могут быть любое неизвестное и любое уравнение системы. Для определенности рассуждений мы будем считать, что номера ведущих неизвестного и уравнения совпадают. В противном случае можно переставить уравнения и переобозначить неизвестные.

Итак, рассмотрим систему (16).

Точно так же, как и в методе Гаусса, исключим неизвестное х₁ из всех уравнений, кроме первого. Далее исключим х₂ из всех уравнений, кроме второго, следующим образом: из всех уравнений, начиная с третьего, повторим исключение, как в методе Гаусса, а чтобы исключить х₂ из первого уравнения, умножим второе уравнение на и прибавим к первому уравнению. Заметим, что коэффициент а₁₁ системы не изменится. Аналогично поступим с исключением х₃ из всех уравнений, кроме третьего, и т.д. Если в процессе такого исключения встретятся тривиальные уравнения, их следует удалить из системы, а если встретиться уравнение

С ≠ 0

Число r оставшихся уравнений после полного исключения неизвестных не может быть больше, чем число неизвестных п.

Пусть r=п, тогда система (16) приводится к виду

(21)

где с_i ≠ 0 (i = 1, 2, … п).

Решение системы в этом случае единственно и получается очевидным образом из системы (21).

Пусть r< п, тогда система (16) приводится к виду:

(22)

Иногда систему (22) записывают в виде, разрешенном относительно базисных неизвестных.

Совокупность формул (22) называется общим решением системы (16). Чтобы получить конкретное (частное) решение этой системы, достаточно положить значения свободных неизвестных х_r₊₁, x_r₊₂, … х_п некоторым числам и после этого из общего решения найти значения основных (базисных)неизвестных х₁, х₂, …х_r. В частности, если все свободные неизвестные положить равными нулю, то соответствующее решение системы (16) называется базовым решением.

Заметим, что базовых решений имеется конечное множество, так как в роли ведущих неизвестных и ведущих уравнений могут выступать различные неизвестные и уравнения, которых конечное число.

Пример 6. Даны векторы ₁(2; 4; 3; 2), ₂(4; 2; 2; 8), ₃(4; 5; 8; 7), ₄(6; 7; 5; 3) и (18; 24; 13; 6). Показать, что векторы ₁, ₂, ₃, ₄ образуют базис четырехмерного линейного пространства R₄ и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Выражение х₁+ ₁+х₂ ₂+…+х_к _к называется линейной комбинацией векторов ₁, ₂, … _к с коэффициентами х₁, х₂, …х_к. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой вектор того же пространства. Если некоторый вектор линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов ₁, …, _к того же пространства, т.е.

(23)

то говорят, что вектор разложен по векторам ₁, … _к Система векторов ₁, ₂, … _кнекоторого линейного пространства называется линейно независимым, если равенство

(24)

имеет место только при нулевых значениях коэффициентов х₁, х₂, …, х_к, если же равенство (2) выполняется и при условии, что хотя бы один из коэффициентов х₁, х₂, …, х_к, отличен от нуля, то система векторов ₁, ₂, … _кназывается линейно зависимой.

Для векторов с заданными координатами ₁(х₁, y₁, z₁, p₁), ₂(x₂, y₂, z₂, p₂), ₃(x₃, y₃, z₃, p₃), ₄(x₄, y₄, z₄, p₄), составим определитель и вычислим его.

(25)

Подставим в (25) данные векторы ₁, ₂, ₃, ₄, получим

Так как , то векторы линейно независимы и они образуют базис линейного пространства R₄. Для вычисления координат вектора в этом базисе составим систему линейных уравнений из координат векторов ₁, ₂, ₃, ₄ и и решим ее методом Гаусса:

Составим матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, т.е. будем последовательно получать нули ниже главной диагонали матрицы, на которых находятся элементы 2, 2, 8, 3.

Разделим каждый элемент I строки на 2, затем полученную I строку умножим последовательно на -4; -3; -2 и сложим соответственно со II; III и IV строками, получим:

Разделим III строку на (-2) и поменяем ее местами со II строкой.

Новую II строку умножим последовательно на 3; -2 и сложим соответственно с III и IV строками, получим:

III строку умножим на 5, IV на 6 и сложим их, получим:

Таким образом получим матрицу ступенчатого вида, например х₁, х₂, х₃, х₄,

откуда х₄= 3, х₃= -1, х₂= 0, х₁= 2.

Решение системы * (2; 0; -1; 3) образует совокупность координат вектора в базисе ₁, ₂, ₃, ₄, т.е. в этом базисе (2; 0; -1; 3) или = 2 ₁- ₃+ 3 ₄.

Пример 7. Даны координаты вершин пирамиды А₁(2; 1; 0), А₂(3; -1; 2), А₃(13; 3; 10), А₄(0; 1; 4).

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃. Сделать чертеж.

Решение.

1) Расстояние d между точками А(х₁, y₁, z₁) и В(х₂, y₂, z₂), определяется по формуле

(26)

Подставим в (1) координаты точек А₁ и А₂, находим длину ребра А₁А₂:

А₁А₂=

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу φ между направляющими векторами этих ребер и . Косинус угла между двумя векторами = скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:

(27)

Координаты вектора с началом в точке А₁(x₁, y₁, z₁) и концом в точке А₂(x₂, y₂, z₂)

(28)

Применяя (28), получим (1; -2; 2), (-2; 0; 4). Применяя (1), получим модули векторов

Скалярное произведение двух векторов с заданными координатами равны сумме произведений соответствующих координат, т.е если (а₁, а₂, а₃), ( ), то их скалярное произведение

(29)

Применяя (29), найдем . Следовательно,

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁ А₂ А₃ равен углу φ между направляющим вектором данного ребра и нормальным вектором плоскости А₁ А₂ А₃.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки А₁(х₁, y₁, z₁) и А₂(х₂, y₂, z₂), А₃(х₃, y₃, z₃) имеет вид

(30)

Подставим в (30) координаты точек А₁ А₂ А₃, получим:

Разложим определитель по элементам I строки:

Сократив на (-12), получим уравнение плоскости А₁ А₂ А₃ :

2x – 4 – y + 1 - 2z = 0

2x – y - 2z – 3 = 0

Если уравнение плоскости α задано в каноническом виде Ax + By + Cz + Д = 0, то ее нормальный вектор _α (А; В; С), т.е. нормальный вектор плоскости А₁ А₂ А₃ имеет координаты (2; -1; -2). Синус угла α между вектором и плоскостью А₁ А₂ А₃

(31)

Найдем скалярное произведение по формуле (29):

= -2 2 + 0 (-1) + 4 (-2) = - 4 – 8 = -12.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒