Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

Мысленно выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям прямоугольных координат и обозна4им 4ерез р давление в то4ке М – центр параллелепипеда.

Пусть в то4ках «а» и «b» граней параллелепипеда, параллельных координатной плоскости xOz, действуют давления р₁ и р₂. Поскольку то4ки а и b отстоят от центра параллелепипеда на вели4ины ( ) и ( ), а давление в каждой то4ке жидкости является функцией координат, то вели4ина р₁ и р₂ с то4ностью до бесконе4но малой более высокого порядка (разложение в ряд Тейлора) могут быть представлены:

(1)

Аналоги4но можно полу4ить выражения для давления на гранях, параллельных плоскости xOy,

и плоскости yOz:

Параллелепипед находится в покое, следовательно, суммы проекций всех сил, действующих на него, на любую ось равны нулю.

Спроектировав силы на ось, например у, полу4им

Подставляя сюда зна4ения р₁ и р₂ из 1, найдем

Далее, после приведения, полу4им

Аналоги4ные уравнения полу4аются также для проекций на оси х и у. В результате полу4аем систему из 3-х дифференциальных уравнений:

(2)

Эта система носит название уравнений гидростатики Эйлера: они определяют закон распределения давления вдоль соответствующей оси координат.

Умножая уравнения 2 соответственно на dx, dy, dz, и складывая, полу4им

(3)

Давление есть ф-ия только координат, поэтому выражение в скобках представляет собой полный дифференциал этой ф-ии и уравнение 3 можно представить в виде:

(4)

это уравнение является основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Так как левая 4асть формулы 4 является полным дифференциалом, то для однородной жидкости (r=const) и правая 4асть тоже должна быть полным диф-ом некоторой функции U(x, y, z), т.е. Xdx+Ydy+Zdz=dU,

Где (5)

В соответствии с этим 5 можно представить в этом слу4ае в виде

Функция U носит название силовой, а соответствующие ей силы – имеющими потенциал.

Таким образом, несжимаемая жидкость может находиться в равновесии лишь в том слу4ае, если действующие на нее силы имеют потенциал.

 

Основное уравнение гидростатики.

Рассм. случай равновесия жидк., когда на нее действует лишь

одна массовая сила — сила тяжести, и получим ур-е,

позволяющее находить гидростат-е дав­л. в любой точке

рассматриваемого объема жидк. Если этот объем весьма мал по

сравнению с объемом Земли, то свободную по­вер-ть жидк.

можно считать горизонтальной плоск-ю. Пусть жидк.

содержится в сосуде и на ее свободную поверхность действует

давление р_о. Найдем гидростат. давле­ние р в произвольно

взятой точке М, расположен. на глубине h. Выделим около

точки М элементар­ную гориз-ю площадку dS и построим на ней

вертик-й цилинд­р-й объем высотой h. Рассмотрим услов.

равновесия указанного объема жидкости, выделенного из

общей массы жидкости. Давление жидк. на ниж­нее основание

цилин. теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь

объема, т. е. вверх. Запишем сумму сил, действ-х на рассматр-й

объем в проекции на вертикаль: р∙ dS - р_о∙ dS - ρ ∙ g∙ h∙ dS = 0.

Последний член ур-я представ. собой вес жидк. в указанном

объеме. Силы давл. по боковой поверхн-и цилинд­ра в ур-е не

входят, так как они нормальны к вертикали. Со­кратив выраж.

на dS и перегруппировав члены, найдем р = р_о+ρ ∙ g∙ h = р_о+h∙ γ

Полученное ур-е назыв. основн. урав-м гидро­ст-и; по нему

можно подсчитать давл. в любой точке покоя­щ. жидк. Это давл,

как видно из ур-я, складыва­ется из двух величин: давл. р_о на

внешней поверхн. жидк. и давл, обусловленного весом

вышележащих слоев жидк. Давл жид, как видно из формулы,

возраст-т с увеличением глубины по закону прямой и на данной

глубине есть величина постоянная. Поверхн, во всех точках

которой давл. одинаково, на­зыв. поверхностью уровня.

 

 

Закон Паскаля

Согласно основному уравнению гидростатики давление в любой точке: p = p₀ + gh. Закон Паскаля выражается основным уравнением гидростатики. Давление, оказываемое на пограничную поверхность жидкости в замкнутом резервуаре распространяется по всем направлениям с одинаковой силой.

Используется в гидропрессах. p = F₁ / S₁ (1)

 

F₂ = pS₂ (2)

 

Воздействую небольшой силой F₁ на малый поршень, площадью S₁; во всей замкнутой системе возникает гидростатическое давление (1). Согласно закону Паскаля это давление действует также в большом цилиндре. Поэтому возникают

усилие F₂ пресса, равное (2).

 

F₂ = (F₁ / S₁) × S₂ ® F₂ / F₁ = S₂ / S₁

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ макроэкономического равновесия в условиях Беларуси
2. БИЛЕТ 18.Волновое движение. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число. Фазовая скорость. Уравнение волны. Одномерное волновое уравнение.
3. Билет Рыночное равновесие, равновесная цена и последствия нарушения равновесия. Эластичность спроса и предложения. Виды (формы) эластичности. Коэффициент эластичности
4. Буферная система крови. Алкалос, ацедос, резервная щёлочность крови. Роль лёгких и почек в поддержании кислотно-щелочного равновесия крови.
5. Гармоническое колебание, его уравнение и график.
6. Геометрическая структура эл. цепи. Топологический граф. Уравнение Кирхгофа.
7. Глазьев С. Формирование условий макроэкономического равновесия// Пробл. теории и практики управл. - 2011. - N 6. - С.8-18.
8. ДАВЛЕНИЕ ПОД ИСКРИВЛЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ.
9. Десенсибилизация (восстановление психического равновесия)
10. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
11. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ХОЛОНЕ РАВНОВЕСИЯ