КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ ПО БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ И ПО ДИДАКТИЧЕСКИМ ЕДИНИЦАМ

Стр 1 из 4Следующая ⇒

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ ФИЛИАЛ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

Кафедра информатики и общеобразовательных дисциплин

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ ПО БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ И ПО ДИДАКТИЧЕСКИМ ЕДИНИЦАМ

По дисциплине Математика

Для направлений 17430 Реклама и связи с общественностью

8430 Туризм

Семестр I

Выполнил к.ф-м.н., доцент Фунтикова Т.П.

Калининград

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Методические указания по выполнению контрольной

работы для студентов заочной формы обучения 2

I.Темы контрольных работ и контрольные задания 3

II. Распределение заданий по вариантам 9

III Требования к оформлению контрольной работы 10

IV.Распределение баллов за выполнение работ 10

V. Методические указания по выполнению контрольных заданий 11

VI. Список литературы 11

VII.. Контрольные вопросы для подготовки к зачету 12

Темы контрольных работ и контрольные задания

Определители, матрицы, системы линейных уравнений. (ДЕ 1 )

ЗАДАНИЕ 1

1– 10.	Дана система линейных уравнений. Требуется найти ее решение методом Гаусса.
1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11 – 20 Методом Крамера найти общее решение системы уравнений:
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21 – 30.	Найти произведение матриц , если , заданы:
21. ,
22. ,
23. ,
24. ,
25. ,
26. ,
27. ,
28. ,
29. ,
30. ,

Геометрия (ДЕ2 ) ЗАДАНИЕ 2

Даны вершины треугольника

. Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол

треугольника в градусах и минутах; г) длину высоты, проведенной из вершины

; д) площадь треугольника.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

Пределы (ДЕ 3 )

ЗАДАНИЕ 3

	Н айти пределы функций:
11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б)
19.	а)	б)
110.	а)	б)
Производные ( ДЕ 4 ) ЗАДАНИЕ 4
	Исследовать функцию и построить ее график
1. ;	2. ;
3. .	4. ;
5. ;	6. .
7. ;	8. ;
9. .	10. ;

Функции нескольких переменных ( ДЕ 5 )

ЗАДАНИЕ 5

	Найти точки экстремума функции двух независимых переменных :
1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Интегрирование функций ( ДЕ 6 )

ЗАДАНИЕ 6

	Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:
1. y = x², y = ;	2. y²= 2x + 1, x – y - 1=0;
3. y = x², y = ;	4. y= 9x - 2, y = x² + 2;
5.	6. .
7.	8. y = x², y = x³;
9. y = 2^x, x = 0, x = 2;	10. y = 9 - x², y = 0.

Дифференциальные уравнения ( ДЕ 7 )

ЗАДАНИЕ 7

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

10.

Ряды ( ДЕ 8 )

ЗАДАНИЕ 8

Найти 3-ий член разложения функции в ряд Маклорена

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

Требования к оформлению контрольной работы

При выполнении контрольных работ надо придерживаться указанных ниже правил.

ВЫБОР ВАРИАНТА. Каждому студенту при поступлении присваивается учебный шифр. Он указан в зачетной книжке и студенческом билете. Вариант определяется по последней цифре номера шифра.

Контрольную работу надо выполнить в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента. В конце работы оставьте 3 – 4 чистых страницы, которые, возможно, понадобятся для исправления решений.

1. В заголовке работы должны быть разборчиво написана фамилия, имя и отчество, учебный шифр, номер контрольной работы, название дисциплины. Заголовок надо поместить на обложке тетради. Здесь же указать адрес студента и дату выполнения контрольной работы.

2. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях варианта.

3. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, заменив, где надо, общие данные контрольными из своего варианта.

4. Решения задач излагайте аккуратно, объясняя основные действия, выписывая нужные формулы, делая необходимые чертежи.

5. После получения прорецензированной работы исправьте все ошибки и недочеты, отмеченные рецензентом, вписав исправления на оставленных чистых страницах.

Распределение баллов за выполнение работ

Максимальное количество баллов за каждое задание – 5, за всю работу – 50.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Фундаментальность подготовки в области математики включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

В ходе изучения дисциплины “Математика” основное внимание уделяется изучению основных математических понятий и методов, роли и месту математики в различных сферах человеческой деятельности.

Практическая часть дисциплины предназначена для выработки у студентов логического и аналитического мышления, формирования вычислительных навыков, умения проводить приближенные расчеты, привития первичных навыков работы с наиболее популярными прикладными программами. Изучение практической части рекомендуется с обязательным выполнением предлагаемых упражнений.

Тема 4. Комплексные числа

Определение комплексных чисел и их свойства. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Теорема о произведении и частном. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

Рекомендуемая литература. [6] стр.145-146.

Функций одной переменной

Производная функции, дифференциал функции, их геометрический смысл. Правила их нахождения. Таблица производных. стр.104-107, 109, 11-

Производные и дифференциалы высших порядков.

Рекомендуемая литература. [1] стр. 104-106, 109, 111-116, 120-126, [8] стр. 97-104.

Правило Лопиталя.

Рекомендуемая литература. [1] стр.131-135, [8] стр.108-110.

Формула Тейлора.

Рекомендуемая литература. [8] стр.111-113.

Асимптоты графика функции.

Рекомендуемая литература. [1] стр.146-148, [8] стр.118-119.

Полное исследование функций и построение графиков.

Рекомендуемая литература. [2] стр.233-245, [1] стр.140-143, [8]стр.113-121.

Функций одной переменной

Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица неопределённых интегралов. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Простейшие методы интегрирования иррациональных и тригонометрических функций.

Рекомендуемая литература. [1] стр.159-173, [8] 128-135, [2] стр. 276-286.

Определённый интеграл и его свойства. Теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Вычисление длин и площадей с помощью определённого интеграла.

Рекомендуемая литература. [8] стр. 135-144, [1] стр. 177-179, 186-200, 209-215, [2] стр. 287-298, 301-306.

Тема 9. Ряды

Числовые ряды. Сходимость. Сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши).

Рекомендуемая литература. [1] стр. 379-389, [2] стр. 320-327.

Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Рекомендуемая литература. [1] стр. 389-391, [2] стр. 327-331.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.

Рекомендуемая литература. [1] стр. 391-402, [2] стр. 337-345.

Решение.

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо найти совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х₁ и х₂ нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х₁ и х₂, для которых определитель . Будем считать неизвестную х₃ свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Задача 3. Даны матрицы и . Найти

произведение матриц АВ.

Решение.

Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Эти матрицы называются соответственными. Для матриц А и В число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцы второй:

Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3; -2), В(1; 8), С(5; 3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника.

Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или

Уравнение стороны АС: или

Аналогично находим уравнение стороны ВС.

б) Каждая из прямых АВ, АС, ВС разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0; 1). Подставляя координаты этой точки в уравнения сторон треугольника АВС

получим следующую систему неравенств.

определяющих множество внутренних точек треугольника АВС.

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых найдем по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

г) Длину высоты AD^BC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3; -2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (лин. ед.)

д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.

Вычислим ее через координаты вершин треугольника по формуле .

Получим .

Итак, площадь треугольника S_ABC = 30 кв. ед.

Задача 5. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:

1) .

Решение.

Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

Решение.

При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.

Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо в конце исследования (рис.2).

1) Область определения функции

. 2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть

, тогда

. Пусть

, тогда

или

. Значит, график функции проходит через начало координат. 3) Проверить является ли функция четной, нечетной, общего вида.

. Функция общего вида. 4) Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).

Рис.2

вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида найдем, если существуют конечные пределы и .

Здесь

Итак, - уравнение наклонной асимптоты.

Решение.

Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .

Получим .

б) .

Решение.

Найдем частные производные

Составим полный дифференциал

Задача 8. Найти экстремум функции ,

Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и .

Решим систему уравнений x = 2y, y = -3. x =-9.

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума, а если , то Р – точка максимума.

Если , экстремума нет, а если - экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.

Интегрирование функций

Метод разложения или табличное интегрирование.

В этом случае нахождение исходного интеграла с помощью различных преобразований подынтегральной функции и использования свойств неопределенного интеграла сводится к алгебраической сумме табличных интегралов. Например:

1) .

4) .

5) .

При вычислении этих интегралов записывалась одна общая постоянная, т.к. сумма произвольных постоянных, возникающих при нахождении каждого табличного интеграла, является произвольной постоянной.

Список литературы

1. Шипачев В.С. Высшая математика.- М.: Высшая школа, 2005.

2. Общий курс высшей математики для экономистов/ под ред. Ермакова В.И.- М.: Инфра-М, 2002.

3. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.- М.: Высшая школа, 1999.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями).- М.: Оникс 21 век. Мир и образование, 2005.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. - М.: Издательство «Дело», 2002.

6. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М.: Инфра-М, 2003.

7. Исследование операций в экономике/ под ред. Кремера Н.Ш.- М.: Юнити, 2005.

8. Красс М.С., Чупрынов Б.М. Математика для экономистов.- СПб.: Питер, 2006.

Вопросы для подготовки к экзамену

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ ФИЛИАЛ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

Кафедра информатики и общеобразовательных дисциплин

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ ПО БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ И ПО ДИДАКТИЧЕСКИМ ЕДИНИЦАМ

По дисциплине Математика

Для направлений 17430 Реклама и связи с общественностью

8430 Туризм

Семестр I

Выполнил к.ф-м.н., доцент Фунтикова Т.П.

Калининград

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

12 3 4 Следующая ⇒