![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Уравнения вида
связывающие между собой переменную Уравнения вида Рекомендуемая литература. [1] стр. 417-423, [2] стр. 352-360, [8] стр.169-175. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура и вид общего решения. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Рекомендуемая литература. [8] стр.176-180, [1] стр. 443-449, [2] стр. 366-371.
Методические УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНой РАБОТы
Для того чтобы облегчить студенту-заочнику самостоятельное выполнение контрольных работ, приведем примеры решений задач, аналогичных тем, какие предлагаются в контрольных работах.
Образцы решения задач из контрольной работы Задача 1. Дана система линейных уравнений Требуется найти ее решение методом Гаусса. Выполнить проверку решения. Решение. Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система: 1. Перестановка строк матрицы; 2. Умножение всех элементов строки на одно и то же число; 3. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки; 4. Вычеркивание получившихся нулевых строк. Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных: Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение
Задача 2. Найти решение системы линейных уравнений Решение. Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо найти совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю Или в матричной форме Общее решение:
Задача 3. Даны матрицы произведение матриц АВ. Решение. Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Эти матрицы называются соответственными. Для матриц А и В число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: их размеры Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3; -2), В(1; 8), С(5; 3). Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника. Решение. а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки Уравнение стороны АВ: Уравнение стороны АС: Аналогично находим уравнение стороны ВС. б) Каждая из прямых АВ, АС, ВС разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.
получим следующую систему неравенств. определяющих множество внутренних точек треугольника АВС. Система неравенств в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле Угловые коэффициенты прямых найдем по формуле Получим Тогда
г) Длину высоты AD^BC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3; -2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле
Получим
д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами. Вычислим ее через координаты вершин треугольника по формуле Получим Итак, площадь треугольника SABC = 30 кв. ед. Задача 5. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций: 1) Решение. Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида 2) Решение. При
Задача 6. Исследовать функцию Решение. Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо в конце исследования (рис.2).
Рис.2
вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота Здесь Итак, Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 498; Нарушение авторского права страницы