Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения вида

связывающие между собой переменную , неизвестную функцию и ее производные, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнения вида называются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешенными относительно производной. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , определенная на некотором интервале, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Рекомендуемая литература. [1] стр. 417-423, [2] стр. 352-360, [8] стр.169-175.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура и вид общего решения. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

Рекомендуемая литература. [8] стр.176-180, [1] стр. 443-449, [2] стр. 366-371.

Методические УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНой РАБОТы

Для того чтобы облегчить студенту-заочнику самостоятельное выполнение контрольных работ, приведем примеры решений задач, аналогичных тем, какие предлагаются в контрольных работах.

Образцы решения задач из контрольной работы

Задача 1. Дана система линейных уравнений

Требуется найти ее решение методом Гаусса. Выполнить проверку решения.

Решение.

Решим систему уравнений методом Гаусса.

Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

1. Перестановка строк матрицы;

2. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

3. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

4. Вычеркивание получившихся нулевых строк.

Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг

Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение , откуда х₃ = -3 Подставляя х₃ = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим или . Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем . Решение такое же, как в случае (а). Оно уже проверено.

Задача 2. Найти

решение системы линейных уравнений .

Решение.

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо найти совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х₁ и х₂ нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х₁ и х₂, для которых определитель . Будем считать неизвестную х₃ свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Задача 3. Даны матрицы и . Найти

произведение матриц АВ.

Решение.

Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Эти матрицы называются соответственными. Для матриц А и В число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцы второй:

Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3; -2), В(1; 8), С(5; 3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника.

Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или

Уравнение стороны АС: или

Аналогично находим уравнение стороны ВС.

б) Каждая из прямых АВ, АС, ВС разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0; 1). Подставляя координаты этой точки в уравнения сторон треугольника АВС

получим следующую систему неравенств.

определяющих множество внутренних точек треугольника АВС.

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых найдем по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

г) Длину высоты AD^BC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3; -2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (лин. ед.)

д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.

Вычислим ее через координаты вершин треугольника по формуле .

Получим .

Итак, площадь треугольника S_ABC = 30 кв. ед.

Задача 5. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:

1) .

Решение.

Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

Решение.

При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.

Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо в конце исследования (рис.2).

1) Область определения функции

. 2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть

, тогда

. Пусть

, тогда

или

. Значит, график функции проходит через начало координат. 3) Проверить является ли функция четной, нечетной, общего вида.

. Функция общего вида. 4) Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).

Рис.2

вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида найдем, если существуют конечные пределы и .

Здесь

Итак, - уравнение наклонной асимптоты.

⇐ Предыдущая 1 2 34