Задача оценки различия средних значений признака в независимых выборках

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Задача.Преподаватель сопоставил изложение одной и той же темы в двух различных учебниках. Работая в двух параллельных студенческих группах, он отобрал из них случайным образом две группы по 15 студентов в каждой и поручил им самостоятельно проработать эту тему: одной группе по первому учебнику, другой группе – по второму.

В конце эксперимента студентам был предложен тест на усвоение изученного материала. Результаты оценивались количеством правильных ответов. Были получены следующие данные:

в первой группе , , ;

во второй группе , , .

Значимы ли различия между средним количеством правильных ответов студентов в группах?

Решение

Нулевую гипотезу (о равенстве генеральных средних) проверим на уровне значимости . Альтернативная гипотеза (о различии) задает двустороннюю критическую область.

Обе выборки независимы, выборочные дисперсии равны между собой , объемы выборок совпадают ( ). Тогда значение

Вычислим эмпирическое значение критерия:

Найдем по таблице критические точки -распределения Стьюдента для двусторонней критической области при уровне значимости и числе степеней свободы . Получим . Значит, правая критическая точка , левая критическая точка , а область допустимых значений двустороннего -критерия есть симметричный интервал от до .

Значение находится внутри области допустимых значений , то есть , поэтому нет оснований для отклонения гипотезы о равенстве генеральных средних значений числа правильных ответов в группах. Расхождение между и незначимо. Оба учебника дают примерно одинаковые результаты по усвоению учебного материалы по критерию числа правильных ответов на тестовые задания.

F-критерий Фишера (для сравнения дисперсий)

F-критерий Фишера используется для:

1) установления сходства-различия дисперсий в двух независимых выборках (D1↔ D2);

2) установления отличия от нуля коэффициента детерминации (η 2 ↔ " О" );

3) установления наличия-отсутствия влияния фактора в дисперсионном анализе.

Случай 1

Случай 1

Эмпирическое значение F-критерия для сравнения двух дисперсий в независимых выборках находят по очень простой формуле:

где – большая дисперсия, – меньшая дисперсия. [Подстановка в числитель большей дисперсии необходима для использования таблиц критических значений, в которых приводится только правое критическое значение (больше единицы). Статистические программы рассчитывают и левое критическое значение (меньше единицы)].

Количество степеней свободы определяется отдельно для числителя и отдельно для знаменателя:

df_числ= n_числ-1

df_знам=n_знам -1

Сформулируем задачу. Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. : относительно конкурирующей или .

Для проверки гипотезы из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом и . Так как оценки дисперсий и нам неизвестны, воспользуемся несмещенными выборочными оценками дисперсий и .

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы следует учесть, что распределение статистики (в отличие от нормального или распределения Стьюдента является несимметричным.)

Критерий Фишера – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза принимается (отвергается альтернативная гипотеза ) если .

Случай 2

В случае определения отличия от нуля коэффициента детерминации эмпирическое значение F-критерия рассчитывается так:

где: N – общее число испытуемых, r-число интервалов квантования, исходя из которых рассчитывалось η ².

При определении критического значения число степеней свободы для числителя:

df_числ=r–1,

для знаменателя:

df_знам=N–r.

(Коэффициент детерминации – η ², определяет общую меру связи – корреляционное отношение. Он определяется по формуле:

Здесь:

– сумма квадратов отклонений от внутригруппового (условного) среднего;

– сумма квадратов отклонений от общего для всех измерений среднего (безусловного среднего);

Следует отметить, что в отличие от линейной корреляции коэффициент детерминации устанавливает два типа связей: зависимость х от у и зависимость у от х (η ² _х/у, η ²_у/х). То есть сначала одна переменная рассматривается как зависимая, другая – как независимая, затем наоборот).

3. χ 2-критерий Пирсона

Критерий χ 2 применяется в двух целях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим – равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух трех или более эмпирических распределений одного и того же признака На самом деле области применения критерия χ 2 многообразны,

Описание критерия.

Критерий χ ² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения " да – нет", " допустил брак – не допустил брака", " решил задачу – не решил задачу".

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы определяем степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических частот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение χ 2.

Гипотезы.

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

H₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

H₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

H₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

H₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Третий вариант:

H₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... не различаются между собой.

Н₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... различаются между собой.

Критерий χ 2 позволяет проверить все три варианта гипотез.

Ограничения критерия.

1) Объем выборки должен быть достаточно большим: n>.30. При n< 30 критерий χ 2 дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших п.

2) Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: ƒ ≥ 5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод, χ 2 не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле:

n_min=k*5.

3) Выбранные разряды должны " вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.

4) Необходимо вносить " поправку на непрерывность" при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ 2 уменьшается.

5) Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

⇐ Предыдущая 1 23