Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Прототип 10

№ 319353

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение

0, 45*0, 03+0, 55*0, 01=0, 019

№ 319355

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0, 52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0, 3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0, 52 · 0, 3 = 0, 156.

Ответ: 0, 156.

№ 320169

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение

¼ = 0, 25

№ 320170

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение

4/16 = 0, 25

№ 320171

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0, 2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0, 15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Р(А) = вопрос на тему «Вписанная окружность»*вопрос не на тему «Параллелограмм» + вопрос не на тему «Вписанная окружность»*вопрос на тему «Параллелограмм»

Р(А) = 0, 2*(1-0, 15) + (1-0, 2)*0, 15= 0, 2*0, 85+0, 8*0, 15= 0, 17+0, 12= 0, 29

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0, 2 + 0, 15 = 0, 35.

Ответ: 0, 35.

№ 320173

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Р(А) = в первый раз попал*во второй раз попал*в третий раз попал*в четвертый раз не попал*в пятый раз не попал = 0, 8³*(1-0, 8)²= 0, 512 * 0, 04= 0, 02048= 0, 02

№ 320174

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение

Р(А) = 1 – первый неисправен*второй неисправен= 1- 0, 05*0, 05= 1-0, 0025=0, 9975

№ 320175

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0, 3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

0, 7*0, 7+0, 7*0, 3+0, 3*0, 7=0, 91

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0, 3·0, 3 = 0, 09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0, 09 = 0, 91.

Ответ: 0, 91.

№ 320176

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0, 97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0, 89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Р= 0, 97-0, 89=0, 08

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

Откуда, используя данные из условия, получаем

0, 97 = P(A) + 0, 89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0, 97 − 0, 89 = 0, 08.

№ 320177

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение

Пусть событие А – яйцо имеет высшую категорию

В₁ – яйцо произведено в 1 хозяйстве

В₂ – яйцо произведено в 2 хозяйстве

А/ В₁ - яйцо высшей категории произведено в первом хозяйстве

А/ В₂ - яйцо высшей категории произведено в втором хозяйстве

Вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Р(АВ₁)+Р(АВ₂) = Р(А/В₁)*Р(В₁)+Р(А/В₂)*Р(В₂)=0, 4*Р(В₁)+0, 2*(1-Р(В₁))= 0, 2*Р(В₁)+0, 2

Поскольку по условию эта вероятность равна 0, 35, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве имеем: Р(В₁)=(0, 35-0, 2)/0, 2=0, 75

Это решение можно записать коротко. Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1-х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

0, 4х+0, 2(1-х)=0, 35 х = 0, 75

№ 320178

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение

5/10= 0, 5

№ 320179

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение

3/10=0, 3

№ 320180

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0, 9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0, 2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение

Джон попадет в муху из пристрелянного револьвера с р = 0, 9, вероятность промаха = 1-0, 9=0, 1

Джон попадет в муху из непристрелянного револьвера с р = 0, 2, вероятность промаха = 1-0, 8=0, 2

Вероятность того, что взял пристрелянный револьвер = 4/10=0, 4

Вероятность того, что взял непристрелянный револьвер = 6/10=0, 6

Вероятность промаха: берет непристрелянный револьвер*промах+пристрелянный револьвер*промах =

0, 4*0, 1 + 0, 6*0, 8=0, 52

Вероятность попадания: берет непристрелянный револьвер*попадание +пристрелянный револьвер* попадание = 0, 4*0, 9 + 0, 6*0, 2=0, 48

Сумма вероятностей 1

Ответ вероятность промаха 0, 52

№ 320181

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна

2: 5 = 0, 4.

Ответ: 0, 4.

№ 320183

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение

3/8

№ 320184

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию

«А = сумма очков равна 5»?

Решение

(1, 4) (2, 3) (3, 2) (1, 4)

Ответ 4

№ 320185

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение

ОО, ОР, РО, РР

Р(А)= ¼ = 0, 25

№ 320186

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

2/6= 1/3=0, 33333=0, 3

№ 320187

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0, 4, а при каждом последующем — 0, 6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0, 98?

Решение:

Независимые события

Первый выстрел мимо р=1-0, 4=0, 6

Второй выстрел мимо р=1-0, 6=0, 4

П- число выстрелов

0, 6*0, 4^п-1 ≤ 0, 02

0, 4^п-1 ≤ 1/30

П-1 =4 (подбором)

Ответ: 5

№ 320188

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0, 4.

Решение

0, 16+0, 4*0, 2+0, 4*0, 2=0, 32

№ 320189

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

2488/5000=0, 4976=0, 498

№ 320190

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение:

12+18=30

30/300= 0, 1

№ 320191

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение:

250-120*2=10 – человек писали олимпиаду в запасной аудитории.

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Спасибо! А вот ещё: в классе 21 шестиклассник, среди них два друга-Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной группе.

Представим себе, что Митя уже попал в какую-то группу. Тогда для Пети есть 6 " благоприятных" мест в этой группе, а всего у него 20 возможных мест (одно место занято Митей). р = 6: 20 = 0, 3

№ 320193

В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение

50-27=23- жёлтые с чёрными надписями

Р = 23/50=0, 46

№ 320194

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение

6/30 = 1/5 = 0, 2

№ 320195

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0, 045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение.

Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51: 1000 = 0, 051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0, 006.

Ответ: 0, 006.

№ 320196

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0, 01 мм, равна 0, 965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66, 99 мм или больше чем 67, 01 мм.

Решение

Вообще то в задаче не все данные указаны, ведь возможно что диаметр подшипника будет ровно 66.99 или 67.01, а вероятность наступления этого нам не дана. А если считать что это не возможно, то искомая вероятность 1-0.965=0.035

№ 320198

Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0, 67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0, 74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение

Событие А – О решит больше 11 задач р(А)=0, 67

Событие А₁ – О решит больше 10 задач р(А₁ )=0, 74

Событие А₂ – О решит ровно 11 задач р(А₂ ) = р(А₁) – р(А) = 0, 74-0, 67=0, 07

№ 320199

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

События независимы

0, 3*0, 3*0, 3=0, 027 (три множителя, т.к. три продавца)

№ 320202

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0, 8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0, 9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение

События независимы р= (1-0, 8)(1-0, 9)=0, 02

№ 320203

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0, 94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0, 56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение

Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров р(А)=0, 94

Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров р(А₁)=0, 56

Вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 обозначим р(А₂)

р(А₂) = р(А) – р(А₁)=0, 94-0, 56=0, 38

№ 320205

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение

Обозначим «Статор» начинает игру «+»

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0, 8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение

Июля погода хорошая

Июля

Р(погода хорошая) =0, 8

Р(погода отличная) =0, 2

Июля

Р(погода хорошая)= погода хорошая*не изменится+погода отличная*изменится=0, 8*0, 8+0, 2*0, 2=0, 68

Р(погода отличная)=погода отличная*не изменится+погода хорошая*изменится=0, 2*0, 8+0, 8*0, 2=0, 32

Июля

Р(погода хорошая) = погода хорошая*не изменится + погода отличная*изменится = 0, 68*0, 8+0, 32*0, 2=0, 608

Р(погода отличная)=погода отличная*не изменится+погода хорошая*изменится = 0, 68*0, 2+0, 32*0, 8=0, 392

Ответ: 0, 392

№ 320207

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0, 9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0, 01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение

5% - частота случая, р=0, 05

Вероятность того, что Больной гепатитом поступил в клинику р(А₁)= 0, 05

Вероятность того, что у больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат р(В₁)=0, 9

Р(А₁ пересечение (и) В₁) = 0, 05*0, 9=0, 045

Вероятность того, что здоровый пациент поступил в клинику р(А₂)= 0, 95

Вероятность того, что у зоровых пациентов анализ даёт положительный результат р(В₁)=0, 01

Р(А₂ пересечение (и) В₂) = 0, 95*0, 01=0, 0095

Вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным р(А) = Р(А₁ пересечение (и) В₁)+ Р(А₂ пересечение (и) В₂)=0, 045+, 0095=0, 545

№ 320208

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Решение

3/12=0, 25

№ 320209

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение

3/12=0, 25

№ 320210

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0, 06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0, 02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0, 99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0, 01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение

События зависимы

Батарейка исправна р(А₁)= 1-0, 02=0, 98

Система забракует исправную батарейку р(В₁)=0, 01

Р(А₁ пересечение В₁) = 0, 98*0, 01=0, 0098

Батарейка неисправна р(А₂) =1-0, 98=0, 02

Система забракует неисправную батарейку р(В₂)=1-0, 01=0, 99

Р(А₂ пересечение В₂) =0, 02*0, 99=0, 0198

вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля = р = Р(А₁ пересечение В₁) + Р(А₂ пересечение В₂) = 0, 0098+0, 0198=0, 0296

№ 320212

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Прототип 10

№ 319353

Решение

0, 45*0, 03+0, 55*0, 01=0, 019

№ 319355

Решение

Ответ: 0, 156.

№ 320169

Решение

¼ = 0, 25

№ 320170

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

12 3 Следующая ⇒