Гидростатическое давление и его свойство

Как следует из гл. 1, жидкости практически не способны сопротивляться растяжению, а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы. Поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать только силы давления; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими. Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхность раздела жидкости с газообразной средой или твердыми стенками, но и поверхность объема, мысленно выделяемого из общего объема жидкости.

Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление.

Рассмотрим основное свойство гидростатического давления: в любой точке жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, т. е. от углов ее наклона по отношению к координатным осям.

Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и (рис.2.1). Пусть внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны , и . Обозначим через гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси , через — давление на грань, нормальную к оси , и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через , а площадь этой грани через .

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси , учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости.

Рис. 1.4 Элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и

Проекция сил давления на ось :

Масса жидкости в тетраэдре равна произведению ее объема на плотность, т. е. , следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси , составляет

.

Уравнение равновесия тетраэдра запишем в виде:

.

Разделив это уравнение на площадь , которая равна площади проекции наклонной грани на плоскость , т. е. , получим

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель , также стремится к нулю, а давления и остаются величинами конечными. Следовательно, в пределе получим

Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей и , находим

, или (2.1)

Так как размеры тетраэдра , и взяты произвольно, то и наклон площадки произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Это положение можно легко свойства гидростатического давления доказать, основываясь на формулах сопротивления материалов для напряжений при сжатии по двум и трем взаимно перпендикулярным направлениям. Для этого положим в указанных формулах касательное напряжение равным нулю, в результате чего получим

.

Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Те же результаты можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости, которые рассмотрены в следующем параграфе.