Принципы взаимности и компенсации

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви,

будет равен току в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в k – й ветви,

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимностигласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток (см. рис. 3, а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток (см. рис. 3, б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4, а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС .

Перенесение источника ЭДС в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4, б. В этой цепи

(7)

где .

В соответствии с принципом взаимности ток в цепи на рис. 4, а равен току, определяемому соотношением (7)

При приложении к проводникам синусоидального э.д.с. усреднённый вектор скоростей будет изменяться по синусоидальному закону. Если в рассматриваемом металлическом проводнике возникнет разрыв, то электроны не смогут двигаться в направлении действия э.д.с. и ток прекратиться.

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6, а).

При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с (рис. 6, б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

(12)

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6, в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током можно заменить источником тока .

8\9 Теорема о эквивалентном генераторе напряжения\тока

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.

Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.

Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.

Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1, а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1, б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. 1, в, то, как и в цепи на рис.1, б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1, в сделать эквивалентной цепи на рис. 1, а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1, г). Будем теперь искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1, в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1, д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана.

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.

Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2, а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2, б.

Отсюда ток находится, как:

(1)

где - напряжение на разомкнутых зажимах a-b.

Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.

В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток (см. рис. 2, б). Тогда на основании результатов измерений .

В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения и .

При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3, а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3, б. Тогда согласно схеме на рис. 3, б

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать

(2)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.

Параметры цепи: ; .

В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами

В соответствии с (1) для тока через можно записать

откуда для модуля этого тока имеем

. (3)

Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка имеет емкостный характер.

Таким образом,

и .

Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого .

Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: .

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9, а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости и известны.

Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны и (рис. 9, б). На основании принципа компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на рис. 9, в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.

Для этой цепи можно записать

откуда

и .

Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.

Принцип Дуальности

В законах электрических цепей и описывающих цепи выражениях можно обнаружить сходство соотношений, записанных для токов и напряжений, называемое дуальностью: при взаимной замене токов и напряжений обнаруживается своеобразная симметрия. Дуальными являются пары физических величин, топологических понятий и законов цепей, соответствующие друг другу в дуальных соотношениях. Так, индуктивность характеризуется компонентным уравнением u = L di/dt, связывающим напряжение u и производную тока di/dt. Дуальным будет уравнение, выражающее ток элемента i через производную напряжения du/dt. Это — связь i = C du/dt для емкости. Отсюда следует, что L и C являются дуальными элементами. Также дуальны друг другу источник ЭДС и источник тока. Дуальны и топологические понятия контура и сечения, первый и второй законы Кирхгофа, формулируемые для дуальных друг другу топологических структур. Приведем некоторые основные дуальные величины, понятия и законы (перечень этот может быть продолжен):

контур Û сечение; ветви дерева Û ветви связей;

параллельное Û последовательное соединения;

разрыв Û соединение накоротко.

Если уравнения для токов и напряжений одной цепи тождественны уравнениям для токов и напряжений другой цепи при замене в них всех величин на дуальные, такие две цепи являются дуальными. Узлам в дуальной цепи соответствуют элементарные ячейки исходной цепи. Дуальными могут быть только планарные цепи.

Принцип дуальности позволяет распространить результаты, полученные при анализе одних цепей, на дуальные соотношения в дуальных им цепях. Для нахождения структуры дуальной цепи можно воспользоваться преобразованием уравнений исходной цепи, заменяя входящие в них величины на дуальные. В простейших случаях дуальную цепь можно получить, применяя принцип непосредственно к топологическим понятиям и элементам. Так, последовательному соединению источника и индуктивности в дуальной цепи отвечает параллельное соединение источника тока и емкости.

Узлу 1 исходной цепи (рис. 6.1, а) в дуальной цепи (рис. 6.1, б) отвечает элементарная ячейка 1, включающая источник тока J и емкость C₁, дуальную индуктивности L₁.

Рис. 6.1

Узлу 2 исходной цепи отвечает в дуальной цепи ячейка 2. Нетрудно проверить, что все топологические характеристики второй цепи (см. рис. 6.1, б) тождественны таковым для дуальных величин исходной цепи. Обе цепи описываются и дуальными системами уравнений:

Конец формы

⇐ Предыдущая 1 2 3 45