Телекоммуникаций и информатики

Телекоммуникаций и информатики

Кафедра ТОРС

Конспект лекций по дисциплине

« Теория электрических цепей (часть III)»

Составитель: к.т.н., доц. Михайлов В.И.

Самара, 2013 г.

Содержание

Содержание................................................................................................................................................................................................................... 3

1. Теория двухполюсников в ЭЦ................................................................................................................................................................. 5

1.1. Введение в теорию двухполюсников........................................................................................................................................................ 5

1.2. Операторное сопротивление двухполюсника и его свойства...................................................................................................... 6

1.3. Реактивные двухполюсники......................................................................................................................................................................... 7

1.3.1.Простейшие реактивные двухполюсники................................................................................................................................................ 8

1.3.2. Теорема Фостера о сопротивлении........................................................................................................................................................ 9

реактивного двухполюсника.................................................................................................................................................................................. 9

1.3.3. Канонические схемы Фостера................................................................................................................................................................. 10

1.3.4. Канонические схемы Кауэра..................................................................................................................................................................... 12

1.3.5. Понятие о синтезе электрических цепей.............................................................................................................................................. 13

1.3.6. Виды соответствия двухполюсников.................................................................................................................................................... 16

2. Теория четырехполюсников................................................................................................................................................................ 19

2.1. Основные понятия и классификация четырехполюсников......................................................................................................... 19

2.2. Основные характеристики четырехполюсников.............................................................................................................................. 20

2.3. Системы параметров. Матричные параметры ЧП............................................................................................................................. 21

2.4. Сложные четырехполюсники. Виды соединений ЧП...................................................................................................................... 24

2.5. Рабочие параметры ЧП................................................................................................................................................................................... 27

2.6. Характеристические параметры четырехполюсника..................................................................................................................... 27

2.7. Каскадное согласованное включение четырехполюсников...................................................................................................... 29

2.8. Рабочая мера передачи.................................................................................................................................................................................. 30

..................................................................................................................................................................................................................................... 30

Расчет и измерение рабочего ослабления...................................................................................................................................................... 31

Связь рабочего и характеристического ослаблений.................................................................................................................................. 32

3. Теория электрических фильтров...................................................................................................................................................... 33

3.1. Общие понятия................................................................................................................................................................................................... 33

3.2. Классификация частотно – избирательных электрических фильтров.................................................................................... 33

3.3. Лестничные реактивные фильтры............................................................................................................................................................. 35

3.4. Фильтры типа k.................................................................................................................................................................................................. 37

3.4.1. Основные понятия....................................................................................................................................................................................... 37

3.4.2. Теорема о фильтрах типа k..................................................................................................................................................................... 38

3.4.3. ФНЧ типа k (полузвено)............................................................................................................................................................................ 38

3.4.4. ФВЧ типа «К» (полузвено)....................................................................................................................................................................... 41

3.4.5. Полосовые фильтры типа «К»............................................................................................................................................................... 42

3.4.6. Режекторный фильтр типа «К»............................................................................................................................................................ 43

3.4.7. Достоинства и недостатки фильтров типа k................................................................................................................................... 43

3.5. Фильтры типа m.................................................................................................................................................................................................. 44

3.5.1. Общие понятия............................................................................................................................................................................................. 44

3.5.2. Последовательно-производный ФНЧ типа m(полузвено)................................................................................................................ 44

3.5.3. Параллельно-производное полузвено типа m (на примере ФНЧ)................................................................................................... 47

3.5.4.ФВЧ типа m.................................................................................................................................................................................................... 48

3.6. Построение сложных фильтров на основе звеньев типа k и m................................................................................................... 49

3.7. Проектирование фильтров по характеристическим параметрам.............................................................................................. 50

3.8. Проектирование фильтров по рабочим параметрам........................................................................................................................ 53

3.8.1. Функция фильтрации.................................................................................................................................................................................. 56

3.8.2. Фильтры Баттерворта............................................................................................................................................................................ 57

3.8.3. Полиномиальные фильтры Чебышева................................................................................................................................................... 59

3.8.4. Сравнение фильтров Баттерворта и Чебышева.............................................................................................................................. 61

3.8.5. Фильтры со всплесками ослабления (на основе дробей Чебышева и Золотарева).................................................................. 62

3.9. Методики реализации схем фильтров.................................................................................................................................................... 64

3.9.1. Лестничные полиномиальные LC-фильтры......................................................................................................................................... 64

3.9.2. Реализация фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров..................................................................... 67

3.9.3. Денормирование по сопротивлению и по частоте.......................................................................................................................... 68

при расчете величин элементов......................................................................................................................................................................... 68

3.9.4.Ускоренный метод синтеза схем фильтра по Попову...................................................................................................................... 69

Ускоренный метод реализации симметричных фильтров......................................................................................................................... 69

(n-нечетное)............................................................................................................................................................................................................. 69

Ускоренный метод реализации симметричных фильтров........................................................................................................................ 73

(n-четное).................................................................................................................................................................................................................. 73

3.10. Расчёт частотных характеристик фильтра...................................................................................................................................... 76

4. Искажения в ЭЦ при передаче сигналов и их корректирование........................................................................... 85

4.1. Искажения сигнала в ЭЦ............................................................................................................................................................................... 85

4.2. Корректирующие цепи (корректоры). Общие положения................................................................................................................ 85

4.3. Принцип корректирования амплитудно-частотных искажений (АЧИ)................................................................................... 86

4.4. Стандартные схемы амплитудных корректоров.............................................................................................................................. 87

4.5. Фазовые корректоры........................................................................................................................................................................................ 90

5.Мостовые реактивных фильтры................................................................................................................................... 93

5.1 Теорема о мостовых реактивных фильтрах......................................................................................................................................... 93

5.2 Резонаторы и резонаторные фильтры................................................................................................................................ 95

Пьезоэлектрические резонаторы и фильтры............................................................................................................................................... 95

5.3. Модернизированная мостовая схема........................................................................................................................................................ 97

5.4. Широкополосные пьезоэлектрические фильтры.................................................................................................... 98

5.5. Магнитострикционные фильтры............................................................................................................................................................ 103

5.4. Электромеханические фильтры............................................................................................................................................................... 104

6. RC – фильтры........................................................................................................................................................................................................ 105

6.1. Общие понятия................................................................................................................................................................................................. 105

6.2. Различные виды RC – фильтров................................................................................................................................................................ 105

6.2.1. Фильтры ФНЧ............................................................................................................................................................................................ 105

6.2.2 Фильтры ФВЧ............................................................................................................................................................................................. 106

6.2.3 Полосовые фильтры.................................................................................................................................................................................. 106

6.3. Недостатки RC – фильтров......................................................................................................................................................................... 107

6.4. Активные RC – фильтры (АRC).................................................................................................................................................................. 107

6.4.1. Общие понятия.......................................................................................................................................................................................... 107

6.4.2. Недостатки АRC – фильтров с имитацией индуктивностей. Принцип позвенной реализации....................................... 108

6.4.3. АRC – фильтры на усилителях.............................................................................................................................................................. 109

6.4.4. Фильтры на преобразователях с комплексными коэффициентами........................................................................................... 112

6.4.5. Схема реализации полосового фильтра второго порядка на преобразователях................................................................. 115

2. Синтез ARC-фильтров................................................................................................................................................................................... 119

2.1. Переход к ФНЧП.............................................................................................................................................................................................. 121

2.2. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления........................................................ 121

2.3. Переход от нормированной передаточной функции ФНЧП к нормированной передаточной функции заданного фильтра................................................................................................................................................................... 121

2.3.1. Нахождение нормированной передаточной функции ФВЧ................................................................................................... 121

2.3.2. Нахождение нормированной передаточной функции ПФ...................................................................................................... 121

1. Теория двухполюсников в ЭЦ

Введение в теорию двухполюсников

Под полюсами в ЭЦ понимают выводы, их количество (как параметр), через которые данная электрическая цепь соединяется и взаимодействует с другими цепями. По количеству этих выводов (проводников или полюсов) выделяют двухполюсники, трехполюсники, четырехполюсники и многополюсники.

Еще понятие «полюс» употребляется в математическом смысле для операторных и частотных характеристик электрической цепи: (значение переменной, когда функция стремится к бесконечности). ДП – это электрическая цепь соединяющееся и обменивающаяся энергией с другими цепями только через 2 вывода или полюса.

Классификация двухполюсников

По своим свойствам двухполюсники делятся на автономные и неавтономные. Автономными являются двухполюсники, которые самостоятельно создают напряжение на разомкнутых зажимах или ток при закороченных зажимах, т.е. без внешних подключений. Неавтономные двухполюсники сами по себе ничего не создают.

Операторное сопротивление двухполюсника и его свойства

Под операторным сопротивлением двухполюсника понимают отношение операторного изображения напряжения к операторному изображению тока через двухполюсник (обычно при нулевых независимых начальных условиях).

Операторное сопротивление представляет собой некоторую функцию комплексной переменной . Эта функция зависит от типа двухполюсника. Она может быть трансцендентной функцией, если в двухполюснике имеется участок с распределенными параметрами, и рациональной, если таких участков нет.

Реактивные двухполюсники

Реактивные двухполюсники содержат только реактивные элементы (L и C). В принципе они неавтономные и могут быть линейными и нелинейными. Эти двухполюсники относят к разряду пассивных, так как они, сколько получают энергии, столько отдают. Соответственно все нули и полюсы располагаются на мнимой оси.

Практически, для реальных цепей реактивные двухполюсники – это двухполюсники из катушек индуктивности и конденсаторов (двухполюсники с малыми потерями).

Таблица 1. Простейшие реактивные двухполюсники

И их свойства

Z(p)=pL Z(jω )=jω L Y(p)=1/(pL) Класс 0 - ¥	Z(p)=1/pC Z(jω )=1/ jω C Y(p)=pC Класс ¥ - 0	Класс ¥ - ¥	Класс 0 – 0

У всех реактивных двухполюсников комплексное сопротивление чисто мнимое: . Соответственно мнимая часть или реактивное сопротивление характеризует частотные свойства двухполюсника.

Иногда вместо графиков сопротивлений изображают характеристические оси:

Значение величины сопротивления реактивного двухполюсника в крайних точках, на крайних частотах 0 и ∞ называют классом реактивного двухполюсника.

Реактивного двухполюсника

Комплексное сопротивление реактивного двухполюсника можно представить функцией, выраженной через ее нули и полюса (резонансные частоты):

(1),

где Н – некоторый множитель, положительное вещественное число; ω – угловая частота; ω _к – резонансные частоты (математически нули и полюсы). Принято в числителе использовать нечетные индексы (нули функции сопротивления ДП) в знаменателе четные (полюсы функции сопротивления ДП).

Из этой формулы можно получить частные случаи, соответствующие классам двухполюсников. Для классов 0 - ∞, 0 – 0 ω ₁=0. Для классов ∞ - 0, ∞ - ∞ ω ₁≠ 0.

Производная по частоте всегда положительная:

Канонические схемы Фостера

Канонические схемы – стандартные схемы или схемы, построенные по определенному правилу.

Первая схема Фостера

Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: , далее- четным, а последние . Индексы показывают, на какой частоте происходит полюс у этого элемента или пары элементов.

Для анализа такой схемы удобно воспользоваться операторным сопротивлением:

(здесь четные индексы – полюсы функции сопротивления). Это выражение можно преобразовать в общую дробь:

(в числителе нечетные индексы в знаменателе четные). В знаменателе столько скобок, сколько параллельных контуров в схеме.

Класс реактивного двухполюсника здесь определяет только первая пара элементов (если есть оба элемента, то класс ∞ - ∞; нет ни одного 0 – 0; есть только индуктивность 0 - ∞; есть только емкость ∞ - 0). Пример графика для класса ∞ - ∞;

Существует правило для канонических схем: количество элементов в канонической схеме минимальное для получения заданной функции сопротивления (заданного количества резонансных частот, т.е. внутренних нулей и полюсов). Количественно их на единицу больше общего числа резонансных частот (внутренних нулей и полюсов). Также самая старшая степень полинома числителя или знаменателя равна количеству элементов. может равняться при ω → ∞ ∞ или 0. При этом емкости заменяются перемычкой, индуктивности заменяются разрывом. Если = ∞, то в первой схеме Фостера и Н малая величина, если =0, то - большая величина. Тогда в первой схеме Фостера при последовательном соединении с учетом схемы при ω → ∞ .

Вторая схема Фостера

Эта схема дуальна первой схеме Фостера. Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: , далее- нечетным, а последние . Индексы соответствуют полюсам проводимости. Элементы определяют класс двухполюсника (если есть оба элемента, то класс двухполюсника , если нет обоих элементов, то и т.д.). Количество последовательных контуров соответствует количеству резонансных частот напряжения (или скобок в числителе - нулей сопротивления).

Здесь в общем виде удобно записать формулу проводимости:

(здесь индексы нечетные –нули функции сопротивления или полюсы проводимости).

Множитель находится аналогично во второй схеме Фостера. на основе схемы замещения при ω → ∞. Если = ∞, то во второй схеме Фостера и Н малая величина, если =0, то - большая величина. Тогда во второй схеме Фостера при последовательном соединении с учетом схемы при ω → ∞ .

1.3.4. Канонические схемы Кауэра

Ая схема Кауэра

Такая схема называется лестничной или цепной схемой. Сопротивление удобно записать в виде лестничной или цепной дроби:

Ая схема Кауэра

Здесь математическая процедура основана на разложении функции сопротивления по полюсам этой функции. Полюсы в начале и конце координат дают по одному элементу, а на конкретной частоте дают сразу пару элементов или параллельный контур.

где

Для удобства вычислений, Z(p) надо представить в виде выражения из теоремы Фостера из произведения скобок в операторном виде (особенно для знаменателя). Если какой то предел дает ноль, то этого элемента в схеме не будет.

Во второй схеме Фостера синтез ведется с использованием разложения функции проводимости по ее полюсам, все остальное аналогично. В схеме будет столько последовательных контуров, сколько частот резонансов напряжений (скобок знаменателя проводимости)

Такое деление возможно, если числитель четный, а знаменатель нечетный. Если наоборот, то первое деление пропускают (первого элемента С не будет) и переходят сразу к перевороту дроби и далее делают деление.

Количество элементов в любых канонических схемах одинаково и равно самой старшей степени полинома.

ДП1 ДП2

Z₁(p)=Z₂(p)

Нули первого ДП равны нулям второго ДП, полюсы первого равны полюсам второго, Н₁=Н₂. Тогда при любой частоте сопротивления равны.

2. Подобные ДП

Для них выполняется условие пропорциональности: Z₁(p)=k▪ Z₂(p) k – положительное вещественное число. Это означает, что нули и полюсы (резонансные частоты) одинаковы, а множители Н разные.

Например, ДП:

Они будут подобными, если их резонансные частоты равны, а сами величины L и C элементов различны.

3. Взаимообратные

где R₀- const

Нули сопротивления (частоты резонансов напряжений) ДП1 равны полюсам (частотам резонансов тока) сопротивления ДП2, и наоборот.

Например:

L₁∙ C₁=L₂∙ C₂

У взаимообратных ДП, если они по структуре дуальны, выполняются следующие соотношения:

Первая и вторая схема Фостера могут быть взаимообратными. Пример дуальных ДП – у них все наоборот. Они будут обратными при выполнении указанных соотношений для их элементов.

Z₁(p)

Z₂(p)

4. Взаимо-дополнительные

а) дополнительные по сопротивлению

, где R₀- const

б) дополнительные по проводимости

Основные понятия и классификация четырехполюсников

Классификация четырехполюсников очень похожа на классификацию двухполюсников. Четырехполюсники так же делятся на автономные и неавтономные. Автономные четырехполюсники сами создают токи и напряжения без воздействия внешних источников, неавтономные – не создают.

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линейные ЧП отличаются от нелинейных тем, что не содержат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются линейной зависимостью тока и напряжения на выходных зажимах от тока и напряжения на входных зажимах.

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметричные. В симметричном ЧП перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен. Четырехполюсники кроме электрической симметрии могут обладать структурной симметрией, определяемой относительно вертикальной оси симметрии. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Это Т – образный ЧП.

При Z₁=Z₃ ЧП симметричен.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравновешенными. Уравновешенные ЧП имеют горизонтальную ось симметрии и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно некоторой точки (например, земли).

пример уравновешенного ЧП

Четырехполюсники делятся на обратимые и необратимые. Обратимые ЧП позволяют предавать энергию в обоих направлениях одинаково (удовлетворяют теореме обратимости).

Каскадное соединение ЧП

Параллельное соединение

Параллельное соединение параллельно и по входу, и по выходу. При параллельном соединении применяют проводимости и, соответственно, Y-параметры.

Для получения параметров сложного ЧП, нужно сложить матрицы Y-параметров простых ЧП. Необходимо, чтобы соблюдалось равенство токов в парных зажимах у простых ЧП и после их соединения в сложный ЧП. Если это соблюдается, то такое соединение называют регулярным.

К примеру, каскадное соединение всегда является регулярным, параллельное же соединение не всегда регулярно.

Есть некоторые критерии регулярности:

1. Если какой-либо ЧП из двух соединяющихся имеет разрывный элемент, то соединение – регулярное.

2. Соединение трехполюсных ЧП считается регулярным, если соединяются вместе общие выводы.

Последовательное соединение

Рабочие параметры ЧП

В системах передачи много четырехполюсников, причем используют каскадное соединение нескольких ЧП сразу. Для того, чтобы четырехполюсники работали согласно (оптимально на максимум мощности и минимум искажений), их включают при согласовании (равенстве) характеристических сопротивлений.

Рабочая мера передачи

Рабочая мера передачи оценивает передачу сигнала через ЧП с учетом внутреннего сопротивления источника сигнала и нагрузки в рабочем режиме относительно эталонной цепи передачи сигнала.

Общие понятия

По расположению ПП и ПЗ

По применяемым элементам

По схемам

1) По расположению ПП и ПЗ различают:

а) Фильтры нижних частот ( ФНЧ )

Обычно f₁= 0 и f₄=∞.

б) Фильтры верхних частот( ФВЧ )

Обычно f₁=∞ и f₄=0.

в) Полосовой фильтр ( ПФ)

г) Заграждающий ( режекторный) фильтр ( ЗФ)

д) Комбинированный ( многополосный) фильтр: много ПП и ПЗ

По элементам выделяют:

· катушечно – конденсаторные( реактивные ) фильтры

· резистивно – конденсаторные ( RC ) фильтры

· активные фильтры ( содержат усилительные устройства), разделяют на ARLC – фильтры, ARC

· резонаторные фильтры( содержат резонаторы)

2) По схемам выделяют:

а) лестничные фильтры

б) мостовые фильтры

в) фильтры с цепями обратной связи (активные фильтры)

Доказательство

Пусть в нашем случае . Z_1КЗ=jX₁, Z_1XX=jX₁+jX₂

Характеристическое ослабление равно 0, когда

, т.е. числитель и знаменатель – сопряженные. Это возможно, когда число под корнем – отрицательное, т.е. Х₁ и Х₂ разных знаков, и , что соответствует условию теоремы. Таким образом мы доказали условие полосы пропускания.

Если выполняется условие теоремы, то под знаком корня положительное число, т.е. - положительное, резистивное.

Если условие теоремы не выполняется, то под корнем отрицательное число и. - мнимая величина, реактивное сопротивление.

Пример

Условие ПП выполняется там где знаки разные и .

Граничные частоты между полосами пропускания и непропускания называются частотами среза ω _C1 и ω _C2 (f_C1 и f_C2).

Фильтры типа k

Основные понятия

Теорема о фильтрах типа k

ФНЧ типа k (полузвено)

Z₁=jω L Z₂=1/jω C

- номинальное сопротивление полузвена типа к.

Z_КЗ1 =jω L, Z_XX1=j(ω L-1/ω C)

и , где L и С – параметры полузвена.

-обратное Z_Т

Нагрузку согласуют с сопротивлением фильтра на некоторой частоте согласования (при чем для Т- входа R_H< R₀, а для П- входа R_H> R₀.

При ω =ω _согл, в идеальном случае у фильтров без потерь, А_отр=0, в реальном оно может быть больше 0.

3.4.4. ФВЧ типа «К» (полузвено)

3.4.5. Полосовые фильтры типа «К»

Режекторный фильтр типа «К»

Достоинства:

· простота схем;

12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
2. ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»