Первичные параметры длинной линии.

Е.Д. Григорьева

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие

Москва 2010

УДК 621

Григорьева Е.Д. Электрические цепи с распределёнными параметрами. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2010. – 27 с.

Изложены основы анализа электрических цепей с распределёнными параметрами. Рассмотрены примеры практического использования отрезков линий с пренебрежимо малыми потерями. Пособие предназначено для студентов начальных курсов обучения по специальностям 210302 (Радиотехника) и 210312 (Аудиовизуальная техника).

Ил. 16, список лит. 5 назв.

Издание утверждено на заседании Методического совета ОТФ

протокол №4 от 1 июня 2010 г.

Рецензенты: Ю.Ф. Урядников, д.т.н., профессор (МТУСИ)

М.Е. Костина, к.т.н. (ЗАО «ДеТеВе-Сервис»)

Введение.

Устройства, линейные размеры которых соизмеримы с длиной волны проходящего по ним электромагнитного колебания, называются длинными линиями или цепями с распределёнными параметрами. Такими, в частности, являются различные типы линий передачи электромагнитных волн: воздушные, коаксиальные, микрополосковые линии, антенные системы и другие.

Электромагнитная энергия распространяется вдоль линии с конечной скоростью , не превышающей скорость света ( ), но в большинстве случаев приближающейся к этому значению. Если по линии передаются электромагнитные колебания с верхней граничной частотой , то наименьшая длина волны составит:

Например, отрезок коаксиального кабеля длиной = 0, 2 м может считаться цепью с сосредоточенными элементами, если он служит для передачи телевизионных сигналов диапазона метровых волн (f_max = 56, 5 МГц), так как наименьшая по длине волна гораздо больше длины отрезка кабеля м > > 0, 2 м.

Если отрезок кабеля такой же длины служит для передачи дециметровых волн (f_max =558 МГц), м, то он должен рассматриваться как цепь с распределёнными параметрами, поскольку геометрическая длина отрезка кабеля соизмерима с четвертью длины волны.

Падающие и отражённые волны.

Для установившегося режима гармонических колебаний мгновенные напряжения и токи в любой точке линии можно представить в виде суммы падающих и отражённых волн напряжения и тока:

Отраженные волны возникают в конце линии. Комплексные значения напряжения и тока также равны сумме комплексных значений падающей и отраженной волн:

где

Переходя к мгновенным значениям и учитывая, что

(α - коэффициент ослабления, β - коэффициент фазы) и

получаем:

(3.1)

Каждое из слагаемых в правой части уравнений (3.1) можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты y и затухающую в направлении движения (рис. 2). Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны.

Фазовой скоростью v_ф волны называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени t и по мере увеличения расстояния, пройденного волной, остаётся постоянной, то есть: откуда следует, что

и .

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на 2π. Следовательно, для первых слагаемых уравнений (3.1) получается откуда

Отношение комплексной амплитуды отражённой волны к комплексной амплитуде падающей волны в точке y=0 (или ) называется коэффициентом отражения от выходных зажимов линии. Из выражения (2.10а) следует, что:

Коэффициент отражения показывает, какую часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет амплитуда отражённой волны. Величина коэффициента отражения зависит от режима работы линии. При согласованной нагрузке, то есть когда коэффициент отражения , в этом случае отражённых волн в линии не будет. При коротком замыкании выходных зажимов линии ( ) то есть В режиме холостого хода (при разомкнутых выходных зажимах: ) и Следовательно, модуль коэффициента отражения может меняться в пределах

Вторичные параметры.

Коэффициент распространения (2.6) и волновое сопротивление (2.8) называются вторичными параметрами линии. Представим волновое сопротивление в показательной форме:

Примерные зависимости и , соответствующие воздушным и кабельным сетям связи, показаны на рисунке 3. В реальных линиях обычно , поэтому модуль волнового сопротивления с частотой уменьшается.

Для линии с малыми потерями коэффициент распространения можно представить следующим образом:

Отсюда следует, что

, , .

Линия без искажений.

Для передачи сигнала по линии без искажений необходимо, чтобы для каждой составляющей спектра входного сигнала ослабление и фазовая скорость были бы постоянными:

, (6.1)

, или . (6.2)

Рассмотрим выражение, определяющее коэффициент распространения:

Если

, (6.3)

тогда .

То есть при выполнении условия (6.3), называемом условием Хевисайда, выполняются равенства (6.1) и (6.2) и передача сигнала по линии происходит без искажений.

Линия без потерь.

Если первичные параметры линии , то она называется линией без потерь (рис. 4). Такая идеализация справедлива для коротких по длине линий, работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов радиотехнических устройств, полосковых линий, согласующих СВЧ устройств и других), где выполняются условия и , и резистивными сопротивлением и проводимостью можно пренебречь по сравнению с сопротивлением индуктивности и проводимостью ёмкости в линии.

Коэффициент распространения линии без потерь:

и условия (6.1), (6.2) выполняются: коэффициент ослабления амплитуды а коэффициент фазы линейно зависит от частоты, при этом фазовая скорость равна постоянной величине Линия без потерь не вносит амплитудно-частотных и фазочастотных искажений в передаваемый сигнал.

Волновое сопротивление линии без потерь является резистивным.

Уравнения передачи (2.10 б) для линии без потерь с учётом и принимают вид:

(7.1)

(7.2)

Входное сопротивление линии без потерь, согласно (5.1),

(7.3)

С учётом

(7.4)

В зависимости от нагрузки на конце линии различают следующие режимы работы:

- линия с разомкнутыми выходными зажимами ,

- линия с замкнутыми накоротко выходными зажимами ,

- подключение к линии реактивной нагрузки ,

- подключение к линии согласованной нагрузки ,

- подключение к линии несогласованной нагрузки .

Рассмотрим распределение напряжения и тока вдоль линии при различных режимах работы. Уравнения передачи линии без потерь (7.1), (7.2) с учётом имеют вид:

(7.5)

, (7.6)

где , - комплексные значения напряжения и тока в конце линии (то есть в нагрузке); , - комплексные значения напряжения и тока на расстоянии у от конца линии.

7.1. В режиме холостого хода, то есть когда линия на конце разомкнута , уравнения (7.5), (7.6) преобразуются в:

(7.7)

. (7.8)

Если начальную фазу напряжения принять равной нулю ( , ), тогда мгновенные значения напряжения и тока:

(7.9)

(7.10)

Действующие значения напряжения и тока в раз меньше амплитудных и соответственно определяются из выражений:

(7.11) (7.12)

В выражения (7.11), (7.12) переменная времени не входит, следовательно, распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии с течением времени не меняется. Рассмотренный режим колебаний называют режимом стоячих волн.

На рисунках 5.а и 5.б показано распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. В линии имеются точки, где амплитуда колебаний равна нулю (узлы напряжения или тока) и точки, где амплитуда колебаний максимальна (пучности напряжения или тока). Стоячие волны являются результатом сложения падающей и отражённой волн с равными амплитудами ( ). В пучностях фазы обеих волн совпадают и амплитуда суммарной волны вдвое больше амплитуды падающей волны, а в узлах фазы противоположны и амплитуда суммарной волны равна нулю.

Условия возникновения стоячей волны могут быть сформулированы так:

1. α = 0 дБ/м – линия без потерь;

2. |n2| = 1, или Р_н = U₂·I₂·cos(φ _z) = 0 – полное отражение падающей волны от выходных зажимов линии.

При этом U(y) и I(y) - распределения вдоль линии значений амплитуд колебаний, - определяются законами синус или косинус; а фазы этих колебаний от координаты «у» не зависят.

Входное сопротивление разомкнутой линии в режиме холостого хода на расстоянии «у» от выходных зажимов:

(7.13)

График зависимости Х_вх(х.х.)(у) представлен на рисунке 5.в.

Разомкнутая на конце линия длиной от 0 до имеет входное сопротивление емкостного характера (Х_вх(х.х.) < 0).

Линия длиной имеет входное сопротивление равное 0, то есть такой отрезок длинной линии аналогичен последовательному колебательному контуру без потерь (Х_вх(х.х.) = 0).

Линия длиной от до имеет входное сопротивление индуктивного характера (Х_вх(х.х.) > 0).

Линия длиной имеет неограниченно большое входное сопротивление (Х_вх(х.х.) = ∞ ), то есть такой отрезок длинной линии аналогичен параллельному колебательному контуру без потерь.

7.2. В режиме короткого замыкания, то есть когда линия на конце замкнута , уравнения (7.1), (7.2), (7.3) преобразуются:

(7.14)

Если начальную фазу тока I₂ принять равной нулю, тогда мгновенные значения напряжения и тока:

(7.15)

Графики распределения амплитудных значений напряжения и тока, а также и входного сопротивления, вдоль линии показаны на рисунках 6.(а, б, в). В короткозамкнутой линии, также как и в разомкнутой, имеет место режим стоячих волн.

Короткозамкнутая линия без потерь длиной имеет неограниченно большое входное сопротивление (X_вх(к.з.) = ∞ ). Если в линии имеются потери, то входное сопротивление не бесконечно, но достаточно велико. Это свойство используется в схемотехнике.

7.3. При нагрузке линии на реактивное сопротивление образуются стоячие волны, как и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Коэффициент отражения , |n2|=1. То есть в этом режиме работы длинной линии так же происходит сложение падающей и отражённой волн с равными амплитудами.

Реактивный элемент, подключаемый к линии в качестве нагрузки, можно заменить эквивалентным отрезком линии, входное сопротивление которого равно сопротивлению реактивного элемента. Емкостной элемент можно заменить разомкнутым отрезком линии длиной , а индуктивный элемент – короткозамкнутым отрезком длиной .

Если нагрузка индуктивная, узлы и пучности сдвигаются влево, в сторону генератора, и вправо, в сторону нагрузки, если она емкостная (рис. 7).

7.4. Если линия нагружена на резистивное сопротивление, равное волновому , то нагрузка является согласованной. В этом случае комплексные действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: .

Напряжение и ток совпадают по фазе, так как в линии без потерь Z_в принимает действительное (не комплексное) значение. Коэффициент отражения n2=0, и в линии существует только падающая волна с неизменной амплитудой (рисунок 8).

Если начальную фазу напряжения принять равной нулю ( , ), то

, (7.16)

тогда мгновенные значения напряжения и тока:

. (7.17)

В линии без потерь при согласованной нагрузке образуется бегущая волна, амплитуда которой не зависит от расстояния, а фаза – зависит.

Входное сопротивление согласованной линии резистивное, равно волновому сопротивлению и не зависит от длины линии.

7.5. При подключении несогласованной резистивной нагрузки действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: , тогда

Введём параметр: . Коэффициент отражения |n2|< 1. В линии одновременно присутствуют как бегущие, так и стоячие волны. Это можно показать на примере выражения:

В получившемся выражении первое слагаемое представляет собой бегущую волну (амплитуда не зависит от расстояния; фаза - зависит), а второе слагаемое представляет собой стоячую волну (амплитуда зависит от расстояния по закону cos(β y); фаза - не зависит).

Следовательно, в линии без потерь при резистивной несогласованной нагрузке существует режим смешанных волн.

Распределение действующего значение напряжения вдоль линии описывается выражением:

. (7.18)

Графики распределения действующих значений напряжения вдоль линии при различных соотношениях между R_н и Z_в приведены на рисунке 9.

Чем больше отличие между значениями сопротивления нагрузки R_н и волновым сопротивлением Z_в, тем больше отличие между максимальным и минимальным значениями напряжения U_max и U_min. Для количественной оценки этого отличия, то есть степени рассогласования линии с нагрузкой, служит коэффициент бегущей волны:

(7.19)

В ряде случаев используют понятие коэффициента стоячей волны:

Линия как фидер.

Линия, по которой осуществляется передача энергии высокочастотных колебаний от генератора к нагрузке, называется линией передачи, или фидером (название происходит от английского глагола to feed – питать). В современных устройствах связи находят применение фидеры различных типов.

В диапазоне метровых и более длинных волн для передачи энергии обычно используется воздушная двухпроводная линия. При передаче гармонических сигналов по воздушным линиям связи без потерь фазовая скорость волн практически равна скорости света в вакууме , а при наличии потерь лишь немного меньше: . Среднее значение волнового сопротивления для воздушных линий Ом.

Например, длина волны λ в воздушной линии, при частоте f=50 Гц км. Общая протяжённость воздушных линий, сооружённых между Волжской гидростанцией и Москвой, немного больше 1000 км, то есть на таких линиях укладывается сравнительно небольшая доля длины волны и нельзя наблюдать волнообразного изменения тока или напряжения по длине, а можно наблюдать лишь их монотонное изменение. Волнообразное изменение напряжения и тока вдоль линии можно наблюдать в устройствах связи, где линии соединяют, например, радиопередатчик коротких волн с антенной.

Однако на более коротких волнах воздушная линия начинает интенсивно излучать электромагнитное поле в окружающее пространство; также возрастают тепловые потери в проводах. В дециметровом диапазоне волн наиболее широко применяется коаксиальная линия передач. В кабелях с диэлектрической проницаемостью изоляции ε ≈ 4…5 фазовая скорость волн в 2…2, 5 раза меньше скорости света в вакууме. Среднее значение волнового сопротивления для кабелей Z_в = 50…70 Ом. В отличие от двухпроводной линии коаксиальная линия не имеет потерь на излучение, так как её электромагнитное поле отделено от внешнего пространства надёжным экраном – оболочкой внешнего цилиндрического проводника. Коаксиальный фидер обладает меньшими тепловыми потерями также оттого, что образующие его проводники имеют достаточно большие поверхности.

На сантиметровых волнах в качестве фидера используется волновод, представляющий собой полую металлическую трубу, в которой распространяются электромагнитные волны. Отсутствие в волноводе внутреннего проводника уменьшает расход энергии на нагревание и, следовательно, уменьшает потери энергии сигнала при передаче.

Список литературы.

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. – М.: Радио и связь, 2000. – 588 с.

2. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. – Л.: «Энергия», 1972. – 816 с.

3. Попов П.А. Теория связи по проводам. – М.: «Связь», 1978. – 270 с.

4. Алексенцев Ю.Т., Григорьева Е.Д., Коробицына Н.М., Урядников Ю.Ф., Фриск В.В. Теория электрических цепей. ч.3 / Под ред. Ю.Ф. Урядникова. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2001. – 68 с.

5. Добротворский И.Н. и др. Расчёт цепей с распределёнными параметрами. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 1996. – 43 с.

Содержание.

Введение …………………………………….………………………….…
1.	Первичные параметры ………………………………………….…....
2.	Уравнения передачи однородной линии ………………….….….....
3.	Падающие и отражённые волны ……………………….…….…….
4.	Вторичные параметры ………………………………………….…...
5.	Входное сопротивление линии ………………..…………….….…...
	5.1.	Определение входного сопротивления …………………….
	5.2.	Определение вторичных параметров ………………………
	5.3.	Определение первичных параметров ………………………
6.	Линия без искажений ………….……….……………………….....
7.	Линия без потерь …………………………………………………….
	7.1.	- в режиме холостого хода …………………………………..
	7.2.	- в режиме короткого замыкания ……………………………
	7.3.	- при нагрузке на реактивное сопротивление ……………..
	7.4.	- при нагрузке на резистивное сопротивление Rн = Zв ……
	7.5.	- при нагрузке на резистивное сопротивление Rн ≠ Zв ……
8.	Принципы использования отрезков длинных линий …………….
	8.1.	Линия как фидер ………………………………………………
	8.2.	Согласующий четвертьволновый трансформатор ………..
	8.3.	Согласование линии с нагрузкой при помощи шлейфа ……
	8.4.	Применение линий для измерений ………………………….
	8.5.	Линия как элемент резонансной цепи ………………………
9.	Нестационарные процессы в длинной линии …………………….
	9.1.	- в режиме холостого хода …………………………………..
	9.2.	- в режиме короткого замыкания ……………………………
Список литературы …………………………….…………………….….

План УМД на 2010/2011 уч.г.

Елена Дмитриевна Григорьева,

Анастасия Георгиевна Арзуманян

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие

Подписано в печать.10. Формат 60х84/16. Объём 2 усл.п.л.

Тираж экз. Заказ. Цена договорная.

ООО «Инсвязьиздат». Москва, ул. Авиамоторная, 8.

Е.Д. Григорьева

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие

Москва 2010

УДК 621

Григорьева Е.Д. Электрические цепи с распределёнными параметрами. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2010. – 27 с.

Ил. 16, список лит. 5 назв.

Издание утверждено на заседании Методического совета ОТФ

протокол №4 от 1 июня 2010 г.

Рецензенты: Ю.Ф. Урядников, д.т.н., профессор (МТУСИ)

М.Е. Костина, к.т.н. (ЗАО «ДеТеВе-Сервис»)

Введение.

Первичные параметры длинной линии.

Сначала рассмотрим примеры элементов с сосредоточенными параметрами – это катушка индуктивности, конденсатор и резистор. С энергетической точки зрения катушка индуктивности является устройством, которое способно запасать энергию в виде магнитного поля. Это поле практически полностью бывает сосредоточено в магнитопроводе катушки. Конденсатор является устройством, которое способно запасать энергию в виде электрического поля, сосредоточенного в пространстве между обкладками. Отличительное свойство резистора – его способность преобразовывать электрическую энергию в тепловую. Этот процесс также осуществляется во вполне определённом объёме пространства – в токопроводящем слое резистора.

Цепь, у которой магнитные поля сосредоточены в одних вполне определённых объёмах пространства, электрические поля – в других, а преобразование электрической энергии в тепловую происходит в третьих объёмах пространства, называется цепью с сосредоточенными параметрами. Под параметрами подразумеваются индуктивность, ёмкость и резистивное сопротивление.

Длинные линии служат для передачи электромагнитных волн. Если рассмотреть любую точку на протяжении длинной линии, то можно утверждать, что в пространстве, окружающем рассматриваемую точку, существуют электрическое поле и магнитное поле. Следовательно, любому элементу длины линии соответствует такая эквивалентная схема, которая характеризуется параметрами индуктивности L₀ и ёмкости C₀.

При распространении электромагнитной энергии вдоль линии неизбежны тепловые потери, которые характеризуются параметром резистивного сопротивления R₀. Кроме тепловых потерь, происходят потери вследствие рассеяния электромагнитной энергии в окружающее пространство. Причиной этому является неидеальность изоляции. Для учёта такого рода потерь, на эквивалентной схеме используется параметр проводимости изоляции G₀.

Эквивалентную электрическую схему однородной линии длиной можно представить в виде соединения большого количество звеньев длиной dx. Каждое из звеньев представляет собой эквивалентный четырёхполюсник Г-образной структуры, представленный на рисунке 1.

Электрические свойства длинной линии определяются параметрами R₀, L₀, C₀, G₀, равномерно распределёнными по длине линии, и называются первичными параметрами. Все остальные электрические характеристики линии можно выразить через первичные параметры и частоту. Первичные параметры линии зависят от материала и диаметра проводов, расстояния между проводами, свойств изоляционных материалов, температуры и влажности окружающей среды и частоты электромагнитного колебания, передаваемого по линии. Эти параметры можно определить с использованием справочной литературы.

Если первичные параметры не изменяются по длине линии, то такая линия называется однородной. Линия будет однородной, если не изменяется конструкция: материал и диаметр проводов, расстояние между проводами, магнитная и электрическая проницаемость пространства между проводами.

Если выполняются условия ω L₀ > > R₀, ω C₀ > > G₀, то линию считают линией без потерь (точнее, – линией с пренебрежимо малыми потерями).

12 3 4 Следующая ⇒