Вторичные параметры четырехполюсника

К вторичным параметрам четырехполюсника относятся характеристические сопротивления и постоянная передачи.

Для каждого пассивного четырехполюсника существуют два таких характеристических сопротивления Z_1C, Z_2C (со стороны входных и выходных зажимов соответственно), которые удовлетворяют следующим условиям: если сопротивление нагрузки Z_H2 на выходе четырехполюсника равно характеристическому Z_2C, то входное сопротивление со стороны первичных зажимов равно характеристическому Z_1C; если при обратном включении четырехполюсника сопротивление нагрузки Z_H1 равно характеристическому Z_1C, то входное сопротивление со стороны вторичных зажимов будет равно характеристическому сопротивлению Z_2C.

Такая нагрузка четырехполюсника называется согласованной. При согласованной нагрузке потери в четырехполюснике минимальны.

Характеристические сопротивления можно вычислить как по известным коэффициентам четырехполюсника, так и по опытным данным, полученным при проведении опытов холостого хода и короткого замыкания:

При согласованной нагрузке: .

Выходной ток и напряжение связаны зависимостью:

Тогда напряжение и ток на входе четырехполюсника:

Комплексное число полагают равным е^g,

где – постоянная передачи.

Входные и выходные токи и напряжения при согласованной нагрузке связаны соотношением:

Или

откуда: , то есть модуль входного напряжения в е^а раз отличается от модуля выходного напряжения, а модуль входного тока в е^а раз отличается от модуля выходного тока;

, то есть входное напряжение опережает выходное напряжение на угол b и начальные фазы входного и выходного токов отличаются на такой же угол.

Величина а называется коэффициентом затухания. Единицами измерения коэффициента затухания являются неперы (Нп) и белы (Б).

Затухание в неперах: а_Нп=

Если , то затухание равно 1 Нп.

Затухание в белах: а_Б= , а в децибелах: а_дБ= .

Величина b называется коэффициентом фазы и измеряется в градусах или в радианах.

Передача энергии от источника через пассивный четырехполюсник к приемнику характеризуется коэффициентом полезного действия четырехполюсника и потерями мощности в нем. КПД определяется как отношение мощности нагрузки P₂=U₂I₂ cos ₂ к входной мощности P₁=U₁I₁ cos ₁, а потери мощности как разность этих мощностей Р = Р₁-Р₂.

Электрические фильтры

Электрические фильтры – это четырехполюсники, включаемые между источником питания (генератором) и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том, чтобы без затухания пропускать к приемнику токи одних частот и задерживать или пропускать, но с большим затуханием, токи других частот (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Диапазон частот, пропускаемый фильтром без затухания, называется полосой прозрачности (ПП). В идеальном случае необходимо обеспечить нулевое затухание сигнала (коэффициент затухания = 0) в этом диапазоне. Диапазон частот, пропускаемый с затуханием называется полосой затухания (ПЗ).

Электрические фильтры выполняют обычно из L и С элементов. В основе их работы лежит зависимость реактивных сопротивлений от частоты:

Подключение резисторов с сопротивлением R приводит к подавлению сигналов всех частот, поэтому в пассивных электрических фильтрах они не применяются.

Выполняют фильтры по симметричной Т- или П- образной схеме четырехполюсника, ( или ), согласованного по нагрузке (Z_H=Z_C). Сопротивления Z₁ и Z₄ называют продольными, а Z₃ и Z₅ – поперечными.

Электрические фильтры, в которых произведение продольного сопротивления на соответствующее поперечное, представляет собой некоторое постоянное для данного фильтра число k, независящее от частоты, принято называть k-фильтрами. Фильтры, у которых это произведение зависит от частоты, называют m-фильтрами.

Фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают сигналы в диапазоне частот от ω ₁= 0 до ω ₂. На рис. 5.4 изображены простейшие П- и Т-образные схемы фильтров низкой частоты.

В этих схемах и . Индуктивные продольные сопротивления с возрастанием частоты возрастают и гасят высшие гармоники; поперечные емкостные проводимости с увеличением частоты так же возрастают и токи высших гармоник через поперечные ветви возвращаются на вход четырехполюсника.

Граничные частоты для полосы пропускания определяют из условия:

откуда и .

На рис. 5.6 показаны зависимости коэффициента затухания a и коэффициента фазы b в зависимости от .

Фильтры верхних частот ( ФВЧ) пропускают сигналы в диапазоне частот от ω ₁до ω ₂= ∞. На рис. 5.7 изображены простейшие П- и Т-образные схемы фильтров, пропускающих сигналы верхних и задерживающие сигналы нижних частот.

В этих схемах и . Продольные емкостные сопротивления при низких частотах имеют большие сопротивления и гасят токи низших гармоник, а при увеличении частоты емкостное сопротивление уменьшается, и высшие гармоники с небольшим затуханием передаются на выход. Продольная индуктивная проводимость имеет большое значение на низких частотах, и токи этих частот через поперечные ветви возвращаются на вход фильтра. На больших частотах проводимость поперечных ветвей уменьшается, и токи высших частот по пути наименьшего сопротивления поступают на выход фильтра.

Граничные частоты для полосы пропускания определяют из условия:

откуда

и .

На рис. 5.8 показаны зависимости коэффициента затухания a и коэффициента фазы b в зависимости от .

Полосовые фильтры ( ПФ) пропускают сигналы в диапазоне частот от ω ₁до ω ₂ и подавляют сигналы остальных частот. Полосовой фильтр можно получить, если совместить электрически друг с другом схемы фильтров низкой частоты (рис. 5.5) с полосой пропускания ω _Н1= 0 до ω _Н2 и высокой частоты (рис. 5.7) с полосой пропускания ω _В1до ω _В2 =∞. Тогда полученный фильтр будет пропускать сигналы в диапазоне частот от ω _В1до ω _Н2, как показано на частотной характеристике рис. 5.10. На рис. 5.9 приведены две схемы полосовых фильтров, имеющие Т- и П-образные формы.

Чтобы при одной и той же частоте стали равны нулю продольные сопротивления Z (резонанс напряжений) и поперечные проводимости Y (резонанс токов), необходимо выполнить условие, определяющее частоту:

при котором .

Заграждающие фильтры ( ЗФ) пропускают сигналы в диапазоне частот от 0 до ω ₁и от ω ₂до ∞, сигналы в диапазоне частот от ω ₁до ω ₂ подавляются. Заграждающий фильтр можно получить если, если совместить электрически друг с другом схемы фильтров низкой частоты с полосой пропускания ω _Н1 = 0 до ω _Н2 и высокой частоты с полосой пропускания ω _В1до ω _В2 = ∞. Тогда полученный фильтр будет подавлять сигналы в диапазоне частот от ω _Н2до ω _В1, как показано на частотной характеристике рис. 5.11.

Тогда при частоте ω ₀ можно получить разрыв продольных сопротивлений Z и короткое замыкание поперечных проводимостей Y. Для этого необходимо выполнить условия:

и .

На рис. 5.12 приведены две схемы заграждающих фильтров, имеющие Т- и П-образные формы.

Примеры решения задач

5.2.1 Четырехполюсник, схема соединения элементов которого приведена на рис. 5.13, имеет параметры R=X_L=10 Ом, Х_С=20 Ом.

Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD-BC=1.

Расчет коэффициентов выполнить с помощью законов Кирхгофа и по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:

1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.

Согласно первому закону Кирхгофа: .

По второму закону Кирхгофа составим уравнения для внешнего и правого контуров схемы:

;

Из второго уравнения выразим ток:

и подставим полученное выражение в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным для тока, можно определить коэффициенты и

Для определения коэффициентов А и В подставим выражение, полученное для тока в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно напряжения, найдем коэффициенты:

Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:

AD – BC = (1 – j1)(–1) – (–10 – j20)(–j0, 1) = –1 + j1 – j1+ 2 = 1,

что и требовалось доказать.

2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис.2.14, а, б):

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.15, а, б):

По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов:

B=A Z_2K=(1-j1)·(5-j15)=5-j5-j15-15= (-10-j20) Ом;

Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.

5.2.2 Четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 5.16, имеет параметры:

R = X_L = 10 Ом, Х_С = 20 Ом. Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD – BC = 1.

Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:

1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.

По первому закону Кирхгофа составим два уравнения

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для внешнего контура схемы:

Так как напряжение на зажимах четвертой ветви рано входному напряжению четырехполюсника, а напряжение на пятой ветви равно – выходному, то по закону Ома можно выразить токи в ветвях:

и .

Выразим значение тока третьей ветви через выходные режимные параметры четырехполюсника, подставив выражение для тока в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа . Полученное выражение подставим в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа:

Можно записать, подставив одно в другое уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа .

Подставим в полученное уравнение значения токов четвертой и пятой ветвей и уже известное выражение для входного напряжения:

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно входного тока, найдем коэффициенты:

Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:

AD-BC=(1+j0, 5)·(1-j1)-10·(0, 05-j0, 05)=1-j1+j0, 5+0, 5-0, 5+j0, 5=1.

2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис. 5.17, а и б).

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.18, а и б).

По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов уравнений А-формы записи:

B = A Z_2K = (1 + j0, 5)·(8 – j4) = 8 + j4 – j4 + 2 = 10 Ом;

Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.

5.2.3 Несимметричный четырехполюсник имеет параметры А = 1; В = 2, 83е^j45°Ом; С = j0, 5 См; D = j1. Найти характеристические сопротивления четырехполюсника и постоянную передачи.

Найдем характеристические сопротивления:

Отрицательные значения комплексного сопротивления не имеют физического смысла, так как они не реализуемы.

Определим постоянную передачи:

где коэффициент затухания , а коэффициент фазы или

5.2.4 Для четырехполюсника, эквивалентная схема которого приведена на рис. 5.19, составить уравнения, выражающие зависимость комплексных напряжения входной ветви и тока выходной ветви от комплексных тока входной ветви и напряжения выходной ветви.

Параметры элементов цепи: Z₀=12 Ом, Z₂=6 Ом, Z₁=(4+j3) Ом.

Искомую зависимость выражают уравнения четырехполюсника Н-типа:

Коэффициенты Н₁₁, Н₁₂, Н₂₁ и Н₂₂ можно определить на основе рассмотрения исходной схемы сначала при разомкнутых первичных зажимах, а затем при короткозамкнутых вторичных полюсах с одновременным анализом уравнений Н-формы записи, соответствующим этим состояниям.

При разомкнутых первичных зажимах = 0 и система уравнений примет вид:

откуда запишем

Для рассматриваемого режима:

, ,

и тогда можно определить коэффициенты:

При короткозамкнутых вторичных полюсах =0 система уравнений примет вид:

откуда запишем

Для рассматриваемого режима:

, .

Тогда можно определить коэффициенты:

5.2.5 Выразить Z параметры взаимного четырехполюсника через сопротивления его Т-схемы замещения (рис. 5.20).

Система уравнений четырехполюсника в Z-форме записи имеет вид:

Запишем уравнения по законам Кирхгофа, связывающие напряжения четырехполюсника с входным и выходным токами, одновременно проводя анализ уравнений z-формы:

где – ток в поперечной ветви;

Сравнив выражение, полученное для входного напряжения четырехполюсника с первым уравнением Z- формы, можно определить коэффициенты:

Относительно выходного напряжения запишем:

Сравнив полученное уравнение со вторым уравнением системы уравнений в z-форме, определим коэффициенты:

Из полученных значений видно, что для взаимного четырехполюсника равны коэффициенты

5.2.6 При питании четырехполюсника со стороны первичных зажимов были измерены U₁, I₁, P₁в двух режимах:

а) холостого хода U₁_X = 100 B; I₁_X = 1 A; P₁_X = 0; б) в режиме короткого замыкания U_1К = 100 B; I_1К = 1, 41 A; P_1К = 100 Вт. В обоих случаях характер сопротивлений емкостный.

При обратном включении четырехполюсника при закороченных первичных зажимах были измерены U_2К = 100 B; I_2К = 1 A; P_2К = 100 Вт. Известно, что Z₁_K/Z₂_K = Z₁_X/Z₂_X. Рассчитать сопротивления прямого, обратного холостого хода и короткого замыкания. Определить по ним Z-параметры четырехполюсника.

При прямом включении четырехполюсника входные сопротивления для режимов холостого хода и короткого замыкания по показаниям измерительных приборов определяются:

где так как, согласно исходным данным, нагрузка носит чисто емкостный характер (Р_1Х=0);

где ,

так как известно, что характер сопротивлений емкостный.

где .

Сопротивление Z₂_K найдем из соотношения Z₁_K/Z₂_K = Z₁_X/Z₂_X:

Уравнения четырехполюсника в Z-форме записи имеют вид:

Для режима холостого хода при прямом = 0 и обратном = 0 включении четырехполюсника запишем:

тогда

Для режима короткого замыкания на вторичных зажимах четырехполюсника ( ) запишем:

Выразим из второго уравнения ток на выходе четырехполюсника, и подставим полученное выражение в первое уравнение:

, тогда .

Сопротивление короткого замыкания со стороны первичных зажимов:

Отсюда рассчитаем коэффициенты:

5.2.7 Для симметричного четырехполюсника, работающего в режиме холостого хода, на рис. 5.21 задана векторная диаграмма токов и напряжений. Определить А-параметры четырехполюсника. Действующие значения тока и напряжений: U_1Х = 100 В; U_2Х = 200 В; I_1Х = 2, 5 А.

Запишем уравнения четырехполюсника А-формы для режима холостого хода ( ):

Действующие значения тока и напряжений на зажимах четырехполюсника в режиме холостого хода заданы, а их начальные фазы можно определить по векторной диаграмме. Тогда уравнения четырехполюсника запишутся, как

Отсюда коэффициенты А = 0, 5, С = –j0, 0125 1/Ом.

Для симметричного четырехполюсника D = A = 0, 5.

Из соотношения, связывающего коэффициенты А-формы AD – BC = 1 определим коэффициент В:

5.2.8 Для ослабления сигнала в нагрузке между нагрузкой и источником питания включен симметричный четырехполюсник. Вычислить параметры Т-схемы замещения, если он нагружен на согласованное сопротивление Z_H = Z_C = 200 Ом, а сигнал нужно ослабить на 0, 5 Нп без его задержки во времени.

Параметры Т-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:

тогда

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

е⁽^a+^jb) = =e^{0, 5}, так как сигнал передается без задержки во времени, то коэффициент фазы b = 0; A² – BC = 1.

Составим систему уравнений с тремя неизвестными коэффициентами:

Решаем систему уравнений и находим коэффициенты:

А = 1, 128; C = 0, 0026 1/Ом; B = 10, 2 Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной Т-схемы замещения:

Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована на активных сопротивлениях.

5.2.9 Определить параметры П-схемы замещения симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление Z_H = Z_C = 500 Ом, с помощью которого осуществляется задержка синусоидального сигнала на четверть периода без его ослабления.

Параметры П-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:

откуда

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

е⁽^a+^jb) = =e^j^90°, так как сигнал передается без ослабления, то коэффициент затухания a = 0; так как задержка во времени составляет четверть периода, то коэффициент фазы b=90°; A² – BC = 1.

Составим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений найдем значения коэффициентов А = 0; В = j500 Ом; С = j0, 002 1/Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной П-схемы замещения:

Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована полностью на чисто реактивных элементах. В последовательной ветви включена идеальная индуктивная катушка, а в продольных ветвях конденсаторы.

5.2.10 Определить параметры полосового фильтра, имеющего Т-образную схему (рис. 5.22), нагруженного на характеристическое сопротивление при резонансной частоте. Нижняя граница полосы пропускания f₁ = 750 Гц, верхняя граница полосы пропускания f₂ = 850 Гц.

Резонансная частота Гц.

Параметры Т-образной схемы:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒