Фундаментальная система решений.

Фундаментальная система решений представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁, e₂, ..., e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1, 2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ +... + c_n-r e_n-r,

где c₁, c₂, ..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Ранг матрицы. Лемма о базисном миноре.

Теорема о ранге матрицы (Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк).

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на, найдем, что

для всех j=1, 2, …, n, где. Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.

Вычисление ранга методом Гаусса.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;

прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли.