Амплитуда и фаза вынужденных

Колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равнове-сия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (18.52) следует, что ампли-туда А смещения (заряда) имеет максимум при некоторой частоте w_рез., называемой резонан-сной. Таким образом, чтобы определить резонансную частоту w_рез. нужно найти максимум функции (18.52), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выраже-ние по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w_рез.:

Это равенство выполняется при w=0, , у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

. (18.54)

Резонансом (соответственно механичес-кимили электрическим) называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуж-дающей силы (частоты вынуждающего пере-менного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, При d²< < w₀² значение w_рез. практи-чески совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы. Подставляя (18.54) в формулу (18.52), получим

. (18.55)

На рис.18.12 приведе-ны зависимости ампли-туды вынужденных ко-лебаний от частоты при различных значениях d. Из (18.54) и (18.55) вы-текает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (18.52)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения х₀/w₀², которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний х₀/w₀²=F₀/(mw₀²), а в случае электромагнитных — U_m/(Lw₀²)Если w®¥, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (18.55) вытекает, что при малом затухании (d²< < w₀²) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где q - добротность колебательной системы (см. (18.44)), х₀/w₀²— рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_рез..

Из выражения tgj=2dw/(w₀²-w²) (см. (18.53)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j¹ 0.

Зависимость j от w при разных коэффи-циентах d графически представлена на рис.18.13, из которого следует, что при изме-нении w изменяется и сдвиг фаз j. Из фор-мулы (18.53) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w₀ независимо от значения коэффициента затухания j=p/2, т.е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрас-тает и при w> > w₀ j®p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кри-вых, изображенных на рис.18.13, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

18.10. Переменный ток

Переменный ток – это установившиеся вынужденные электромагнитные колебания протекающие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Переменный ток можно считать квазистацио-нарным, если изменения мгновенных значе-ний силы тока во всех сечениях цепи прак-тически одинаковы и происходят достаточно медленно в сравнении с электромагнитными возмущения, распространяющимися по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных то-ков выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут испо-льзованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденса-тор, к концам которого приложено перемен-ное напряжение

. (18.56)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L®0, С®0) (рис.18.14, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

, '

где амплитуда силы тока .

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже-ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис.18.14, б дана векторная
диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз
между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R®0, С®0)ис.18.15, а). Если в цепи приложено перемен-ное напряжение (18.56), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции

Тогда закон Ома для рас-сматриваемого участка цепи имеет вид

откуда

. (18.57)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

(18.58)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (18.57) следует, что

;

после интегрирования, учитывая, что постоян-ная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

, (18.59)

где . Величина

(18.60)

называется реактивным индуктивным соп-ротивлением (или индуктивным сопротив-лением).

Из выражения (18.60) вытекает, что для постоянного тока (w=0) катушка индуктив-ности не имеет сопротивления. Подстановка значения U_m=wLI_mв выражение (18.57) с учетом (18.58) приводит к следующему значению падения напряжения на катушки индуктивности:

. (18.61)

Сравнение выражений (18.59) и (18.61) приводит к выводу, что падение напряжения
U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на
векторной диаграмме (рис.18.15, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L®0). (рис.18.16, а). Если переменное напряжение (18.56) приложено к конденсато-ру, то он все время перезаряжае-тся, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конден-сатору, а сопротивлением подво-дящих проводов можно пренебречь, то

Сила тока

, (18.62)

где

Величина

называется реактивным емкостным сопро-тивлением (или емкостным сопротивле-нием).

Для постоянного тока (w=0) R_C=¥, т.е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

. (18.63)

Сравнение выражений (18.62) и (18.63) приводит к выводу, что падение напряжения U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис.18/16, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис.18.17, а представлен участок цепи, содержащий резистор сопро-тивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, к концам которого приложено переменное напряжение (18.56). В цепи возникнет пере-менный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответству-ющие падения напряжения U_R, U_L и U_c. На рис.18.17, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R)» катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис.18.17, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что

_.(18.64)

Из прямоугольного треугольника получаем , откуда амплитуда силы тока имеет значение

. (18.65)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U=U_mcoswt, то в цепи течет ток

, (18.66)

где j и I_m определяются соответственно формулами (18.64) и (18.65). Величина

(18.67)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

- реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_Rи U_L в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис.18.18, из которого следует, что

. (18.68)

Выражения (18.64) и (18.65) совпадают с (18.68), если в них 1/(wС)=0, т.е. С=¥. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=¥, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности).

Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис.18.17),

, (18.69)

то угол сдвига фаз между током и напряже-нием (18.64) обращается в нуль (j=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (18.69) удовлетворяет частота

.(18.70)

В данном случае полное сопротивление цепи Z (18.67) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_R=U), а падения напряжений на конденсаторе (U_C)и катушке индуктивности (U_L)одинаковы по амплитуде и противо-положны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последователь-ным резонансом), а частота (18.70) - резона-нсной частотой. Векторная диаграмма для резонанса напряжений приведена на рис.18.19, а зависимость амплитуды силы тока от w уже была дана на рис.18.12.

В случае резонанса напряжений

;

Подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушки индуктивности и конденсаторе, получим

где q — добротность контура, определяемая выражением . Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушки индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления коле-бания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QU_m (Q в данном случае - добротность контура, которая может быть значительно больше U_m).Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной часто-ты, т.е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

Резонанс токов

Рассмотрим цепь переменного тока, содер-жащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис.18.20).

Для простоты допус-тим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренеб-речь. Если приложен-ное напряжение изменяется по закону U=U_mcoswt, то, согласно формуле (18.66), в ветви 1С2течет ток

амплитуда которого определяется из выраже-ния (18.65) при условии R=0 и L=0:

Начальная фаза j₁этого тока по формуле (18.64) определяется равенством

(18.71)

Аналогично, сила тока в ветви 1L2

амплитуда которого определяется из (18.65) при условии R=0 и С=¥:

Начальная фаза j₂этого тока (см. (18.64))

(18.72)

Из сравнения выражений (18.71) и (18.72) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна j₁-j₂=p, т.е. токи в ветвях протии-воположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если , то I_m₁=I_m₂ и I_m=0.

Резонансом токов (параллельным резонансом) называетсяявление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты w приложенного напря-жения к резонансной частоте w_рез..

В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

Амплитуда силы тока I_m оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротив-ление R, то разность фаз j₁-j₂не будет равна p, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I_m будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I₁и I₂компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минима-льного значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁и I₂могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами. В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

Мощность, выделяемая в цепи

Переменного тока

Мгновенное значение мощности перемен-ного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t)=U_mcoswt, I(t)=I_mcos(wt-j). Раскрыв cos(wt-j), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что , , получим

. (18.73)

Из векторной диаграммы (см. рис.18.17) следует, что U_mcosj=RI_m. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток .

Величины

называются соответственно действующими(или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока инапряжения, выражениесредней мощности (152.1) можнозаписать в виде

, (18.74)

где множитель cosj называется коэффициен-том мощности.

Контрольные вопросы 1. Назовите характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений. 2. Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффициентом мощности?

Формула (18.74) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj=l и Р=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличе-ния сечения проводов, что повышает стои-мость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0, 85.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56