Механические и электромагнитные колебания

ЛЕКЦИЯ 18

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ

Механические и электромагнитные колебания

Гармонические колебания и их

Характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колеба-тельные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маят-ника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напря-жение и ток в цепи. Физическая природа коле-баний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Однако различные колебательные процес-сы описываются одинаковы­ми характеристи-ками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У. Рэлеем (1842—1919), А.Г. Столетовым, русским инжене­ром-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л.И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­дейст-вий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим ти-пом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

1) колебания, встречающиеся природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные про-межутки времени) можнопредставить как наложение гармонических колебаний. Гармо-нические колебания величины s описываются уравнением типа

, (18.1)

где А - максимальное значение колеблю-щейся величины, называемое амплитудой колебаний, w₀ - круговая (циклическая) частота, j - начальная фаза колебания в мо-мент времени t=0, (w₀t+j) - фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до –А.

Промежуток времени Т через который повторяются определенные состояния систе-мы, совершающей гармонические колебания называется периодом колебания. За период колебаний фаза колебания получает приращение 2p, т.е.

w₀ (t+Т)=(w₀t+j)+2p,

откуда

Т=2p/w₀. (18.2)

Величина, обратная периоду колебаний,

n=1/Т, (18.3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой коле-баний. Сравнивая (18.2) и (18.3), получим выражение для круговой (угловой) частоты

w₀=2pn.

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

; (18.4)

, (18.5)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (18.4) и (18.5) соответственно равны Аw₀ и Аw₀². Фаза величины (18.4) отличается от фазы величины (18.1) на p/2, а фаза величины (18.5) отличается от фазы величины (18.1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда s=0, ds/dt приобрета­ет наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значе­ния, то d²s/dt² приобретает наибольшее положительное значение (рис.18.1).

Из выражения (18.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

, (18.6)

(где s=Acos(w₀t+j)). Решением этого уравнения является выражение (18.1).

Изображение гармонических колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды.

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаг-рамм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладываетсявектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис.18.2).

Если этот вектор привести во вращение с угловой скорос-тью w₀, равной циклической (угловой) частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x b принимать значения от -А до +А, а колеблю-щаяся величина будет изменяться со временем по закону s=Acos(w₀t+j). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбран-ную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w₀t вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода враща­ющегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представля-ют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

, (18.7)

где - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (18.1) можно записать в комплексной форме:

(18.8)

Вещественная часть выражения (18.8)

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (18.8) будем записывать в виде

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Маятники

Гармоническим осциллятором называет-ся система, совершающая колебания, описы-ваемые уравнением вида (18.6):

. (18.16)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармоническо-го осциллятора являются пружинный, физии-ческий и математический маятники, колеба-тельный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными.

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упру-гой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (18.16) и (18.1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес-кие колебания по закон с циклической частотой

(18.17)

и периодом

.(18.18)

Формула (18.18) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (18.13) и (18.17), равна

.

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тя-жести колебания вокруг неподвижной гори-зонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис.18.3).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравне-нием динамики вращательно-го движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде

, (18.19)

где J - момент инерции маятника относи-тельно оси, проходящей через точку подвеса О, l - расстояние между ней и центром масс маятника, F_t=mgsina»-mga - возвра-щающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina»a соответствует малым колебаниям маятника т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (18.19) можно записать в виде

Принимая , (18.20)

получим уравнение

идентичное с (18.16), решение которого (18.1) известно:

. (18.21)

Из выражения (18.21) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с цикли-ческой частотой w₀и периодом

, (18.22)

где L=J/(ml) - приведенная длина физичес-кого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис.18.3). Применяя теорему Штейнера (6.1), получим

,

т. e. OO' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблящаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятникаявляется небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маят-ника

, (18.23)

где l - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (18.23) в формулу (18.22), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

. (18.24)

Сравнивая формулы (18.22) и (18.24), видим, что если приведенная длина L физичес­кого маятника равна длине l матема-тического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.

В колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические вели-чины (заряды, токи) периодически изменя­ю-тся и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнит­ного полей.

Для возбуждения и поддержания электро-магнитных колебаний использует­ся колеба-тельный контур - цепь, состоящая из вклю-ченных последовательно катушки индуктив-нос-тью L, конденсатора емкостью С и резис-тора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализирован­ном контуре, сопротивление которого пренебре-жимо мало (R»0) (рис.18.4). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис.18.4, а)между обкладками конденсатора возникнет электри-ческое поле, энергия которого (энергия плоского заряженного конденсатора). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктив-ности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна ¹/₂ LQ²) — воз­растать.

Так как R»0, то, согласно закону сохране-ния энергии, полная энергия

,

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t = ¹/₄T, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электричес-кого поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис.18.4, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцирует-ся ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис.18.4, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлениии система к моменту времени t = Т придет в перво-начальное состояние (рис.18.4, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис.18.4, внизу), сопровождающимися взаимными превраще-ниями потенциальной и кинетической энер-гий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q²/(2C))аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ²/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома, для контура, содер-жащего катушку индуктивностью L конден-сатор емкостью С и резистор сопротивлением R, '

,

где IR — напряжение на резисторе, U_С=Q/C — напряжение на конденсаторе, - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока ( Е_s — единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,

. (18.25)

Разделив (18.25) на L и подставив и , получим дифференциальное уравне-ние колебаний заряда Q в контуре:

. (18.26)

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гарманическими. Тогда из (18.26) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:

.

Из выражений (18.16) и (18.1) вытекает, что заряд Q совершает гармонические колеба-ния по закону

, (18.27)

где Q_m - амплитуда колебаний заряда конден-сатора с циклической (угловой) частотой w₀, называемой собственной частотой контура

, (18.28)

и периодом

. (18.29)

формула (18.29) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.

Сила тока в колебательном контуре

, (18.30)

где I_m=w₀Q_m - амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

, (18.31)

где U_m= Q_m/C — амплитуда напряжения.

Из выражений (18.27) и (18.30) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (18.31)) обращается в нуль, и наоборот.

Векторные диаграммы

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. При этом необходимо найти результирующее ко-лебание, т.е., колебания необходимо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис.18.5). Так как векторы А₁, и А₂ вращаются
с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной. Оче-видно, что уравнение рез-ультирующего колебания будет

. (18.32)

В выражении (18.32) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями

(18.33)

ВЫВОД: тело, участвуя в двух гармони-ческих колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складывае-мые колебания.

Проанализируем выражение (18.33) в зависимости от разности фаз (j₂-j₁):

1) j₂-j₁=±2mp (m=0, 1, 2, …), тогда A=A₁+A₂т.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна сумме амплитуд складывае-мых колебаний;

2) j₂-j₁=±(2m+1)p (m=0, 1, 2, …), тогда A=ê A₁-A₂ê т.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний;

Для практики особый интерес представля-ет случай, когда два складываемых гар­мони-ческих колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются коле-бания с периодически изменяющей­ся ампли-тудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими часто-тами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колеба-ний равны А, а частоты равны w и (w+Dw), причем Dw< < w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2< < w, найдем

. (18.34)

Результирующее колебание (18.34) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А_б которого изменяется по следующему периодическому закону:

. (18.35)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебания:

w_б =Dw.

Период биений

Т=2p/Dw.

Характер зависимости (18.34) показан на рис.18.6, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (18.34), а огибающие их - график медленно меняющей-ся по уравнению (18.35) амплитуды.

 

 

Определение частоты тона (звука опреде-ленной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкаль-ных инструментов, анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические колебания s=f(t)можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармоничес-ких колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

. (18.36)

Представление периодической функции в виде (18.36) связывают с понятием гар­мони-ческого анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (Ж.Фурье (1768—1830)- французский ученый).

Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀,
3w₀, …, называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложно­го периодического колебания.

Вынужденные колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

.

Если рассматривать механические колеба-ния, то роль X(t)играет внешняя вынуж­дающая сила

(18.45)

Учетом (18.45) закон движения для пружинного маятника можно записать в виде дифференциального уравнения

. (18.46)

Если рассматривать электрический колеба-тельный контур, то роль X(t)играет подводи-мая к контуру внешняя периодически изменя-ющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

. (18.47)

Тогда дифференциальное уравнение про-цессов, происходящих в колебательном кон-туре с учетом (18.47) можно записать в виде

,

Или после преобразования

. (18.48)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с, называются соответственно вынужден-ными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (18.46) и (18.48) можно свести к линейному неоднородному дифференци­альному уравнению

, (18.49)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физии-чес­кой природы (х₀в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромаг-нит­ных — U_m/L).

Решение уравнения (18.49) равно сумме общего решения (18.42)

(18.50)

однородного урав­нения (18.41)

и частного решения

(18.51)

неоднородного уравнения (18.49), где ампли-туда и фаза вынужденных колебаний соответственно равны

, (18.52)

. (18.53)

Слагаемое (18.50) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не дости-гнет значения, определяемого равенством (18.52). Графически вынужденные колебания представлены на рис.18.11. Следовательно, в установившемся режи-ме вынужденные коле-бания происходят с частотой w и являют­ся гармоническими; амп-литуда и фаза коле-баний, опрделяемые выражениями (18.52) и (18.53), также зависят от w.

 

Колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равнове-сия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (18.52) следует, что ампли-туда А смещения (заряда) имеет максимум при некоторой частоте w_рез., называемой резонан-сной. Таким образом, чтобы определить резонансную частоту w_рез. нужно найти максимум функции (18.52), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выраже-ние по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w_рез.:

.

Это равенство выполняется при w=0, , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

. (18.54)

Резонансом (соответственно механичес-ким или электрическим ) называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуж-дающей силы (частоты вынуждающего пере-менного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, При d²< < w₀² значение w_рез. практи-чески совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы. Подставляя (18.54) в формулу (18.52), получим

. (18.55)

На рис.18.12 приведе-ны зависимости ампли-туды вынужденных ко-лебаний от частоты при различных значениях d. Из (18.54) и (18.55) вы-текает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (18.52)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения х₀/w₀², которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний х₀/w₀²=F₀/(mw₀²), а в случае электромагнитных — U_m/(Lw₀²)Если w®¥, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (18.55) вытекает, что при малом затухании (d²< < w₀²) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где q - добротность колебательной системы (см. (18.44)), х₀/w₀²— рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_рез..

Из выражения tgj=2dw/(w₀²-w²) (см. (18.53)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (прило­женное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j¹ 0.

Зависимость j от w при разных коэффи-циентах d графически представлена на рис.18.13, из которого следует, что при изме-нении w изменяется и сдвиг фаз j. Из фор-мулы (18.53) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w₀ независимо от значения коэффициента затухания j=p/2, т.е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрас-тает и при w> > w₀ j®p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кри-вых, изображенных на рис.18.13, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

18.10. Переменный ток

Переменный ток – это установившиеся вынужденные электромагнитные колебания протекающие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Переменный ток можно считать квазистацио-нарным, если изменения мгновенных значе-ний силы тока во всех сечениях цепи прак-тически одинаковы и происходят достаточно медленно в сравнении с электромагнит­ными возмущения, распространяющимися по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных то-ков выполняются закон Ома и вытека­ющие из него правила Кирхгофа, которые будут испо-льзованы применительно к пере­менным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содер­жащем резистор, катушку индуктивности и конденса-тор, к концам которого приложено перемен-ное напряжение

. (18.56)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L®0, С®0) (рис.18.14, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор опреде­ляется законом Ома:

, '

где амплитуда силы тока .

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже-ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис.18.14, б дана векторная
диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз
между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R®0, С®0)ис.18.15, а). Если в цепи приложено перемен-ное напряжение (18.56), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции

.

Тогда закон Ома для рас-сматриваемого участка цепи имеет вид

откуда

. (18.57)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

(18.58)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (18.57) следует, что

;

после интегрирования, учитывая, что постоян-ная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

, (18.59)

где . Величина

(18.60)

называется реактивным индуктивным соп-ротивлением (или индуктивным сопротив-лением ).

Из выражения (18.60) вытекает, что для постоянного тока (w=0) катушка индуктив-ности не имеет сопротивления. Подстановка значения U_m=wLI_mв выражение (18.57) с учетом (18.58) приводит к следующему значению падения напряжения на катушки индуктивности:

. (18.61)

Сравнение выражений (18.59) и (18.61) приводит к выводу, что падение напряжения
U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на
векторной диаграмме (рис.18.15, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L®0). (рис.18.16, а). Если переменное напряжение (18.56) приложено к конденсато-ру, то он все время перезаряжае-тся, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конден-сатору, а сопротивлением подво-дящих проводов можно пренебречь, то

.

Сила тока

, (18.62)

где

.

Величина

называется реактивным емкостным сопро-тивлением (или емкостным сопротивле-нием ).

Для постоянного тока (w=0) R_C=¥, т.е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

. (18.63)

Сравнение выражений (18.62) и (18.63) приводит к выводу, что падение напряжения U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис.18/16, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, ка­тушку индуктивности и конденсатор. На рис.18.17, а представлен участок цепи, содер­жащий резистор сопро-тивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ем­костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (18.56). В цепи возникнет пере-менный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответству-ющие падения напряжения U_R, U_L и U_c. На рис.18.17, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R)» катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис.18.17, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что

_. (18.64)

Из прямоугольного треугольника получаем , откуда амплитуда силы тока имеет значение

. (18.65)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U=U_mcoswt, то в цепи течет ток

, (18.66)

где j и I_m определяются соответственно формулами (18.64) и (18.65). Величина

(18.67)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

- реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_Rи U_L в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис.18.18, из которого следует, что

. (18.68)

Выражения (18.64) и (18.65) совпадают с (18.68), если в них 1/(wС)=0, т.е. С=¥. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=¥, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстоя­ние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности).

Резонанс напряжений

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. 22. Механические способы борьбы с сорняками.
2. II. Основные электромеханические процессы
3. Биомеханические основы движений боксера
4. Биомеханические свойства мышц
5. Вопрос 2.9.Затухающие колебания.
6. Вопрос 7. Электромагнитные волны в веществе. Распространение света в веществе. Дисперсия света. Поглощение света. Прозрачные среды. Поляризация волн при отражении.
7. Вопрос. Свободные и вынужденные механические колебания. Смещение, амплитуда, период, частота, фаза.
8. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре
9. Вынужденные колебания. Резонанс
10. Гармонические колебания и их
11. Гармонические колебания. Скорость и ускорение гармонических колебаний. Энергия гармонических колебаний
12. Если маятник любого типа находится в вязкой среде, то колебания такого маятника будут затухающими (или вообще могут не возникнуть).