Абсолютные и относительные статистические величины

Задача № 9.

Выплавка чугуна металлургическим заводом характеризуется следующими данными:

Вид чугуна	Объем выплавки, тыс. т.	Коэффициент пересчета в передельный чугун
по плану	фактически
Передельный			1.00
Литейный			1.15
Зеркальный			1.50

Определите выполнение плана по выплавке чугуна в натуральном и условно-натуральном измерении. Сделайте выводы.

Задача № 10.

На основании приведенных в таблице данных вычислите относительные величины: планового задания, выполнения плана, динамики по каждому магазину и в целом по группе магазинов:

№ магазина	Розничный товарооборот, тыс. руб.
базисный период	отчетный период
по плану	фактически

Покажите взаимосвязь полученных показателей в целом по группе магазинов.

Задача № 11.

По нижеприведенным данным определите число родившихся на 1000 человек населения, число умерших на 1000 человек населения, сопоставьте эти показатели по Татарстану и России в целом между собой и в динамике. К каким видам относительных величин относятся все рассчитанные показатели?

Показатели	Россия	Татарстан
2002 г.	2006 г.	2002 г.	2006 г.
Средняя численность населения, тыс. чел.
Родившихся, тыс. чел.	1423, 9	1476, 2	38, 2	37, 3
Умерших, тыс. чел.	2368, 4	2165, 7	51, 7	49, 2

Задача № 12.

На основании следующих условных данных дайте характеристику структуры посевных площадей в динамике, рассчитав относительные величины структуры и динамики и проиллюстрировав их на графике.

Посевные площади сельскохозяйственных культур, тыс. гектаров.

Показатели	Базисный год	Отчетный год
Вся посевная площадь, в том числе:	2991, 4	2984, 9
зерновые культуры	1543, 6	1635, 7
технические культуры	110, 7	83, 6
картофель и овоще–бахчевые культуры	116, 7	122, 4
кормовые культуры	1220, 4	1143, 2

Задача № 13.

Территория и численность населения некоторых стран мира в 1995 и в 2006 годах характеризуется следующими данными:

Страны	Территория, тыс. кв. км.	Численность населения, млн. чел.
1995 год	2006 год	1995 год	2006 год
А
Россия	17075, 4	17075, 4	145, 2	142, 8
А
США	9666, 9	9625, 1	263, 4	298, 4
Канада	9970, 6	9976, 1	28, 5	33, 0
Китай	9571, 3	9597, 0	1190, 4	1313, 9
Индия	3165, 6	3287, 6	931, 0	1095, 0
Япония	377, 7	377, 8	125, 9	127, 5
Великобритания	244, 1	244, 1	58, 1	60, 6

Определите относительные величины интенсивности, характеризующие плотность населения в странах и относительные показатели динамики исходных и расчетных показателей (территории, численности и плотности населения).

Задача № 14.

Имеются следующие данные по здравоохранению Республики Татарстан на конец года.

Показатели	1995 год	2004 год
Численность населения, тыс. чел.	3764, 5	3772, 9
Численность врачей всех специальностей, тыс. чел	15, 7	17, 1

Определите: Сколько врачей приходится на 10000 чел. населения в каждом году. К какому виду относительных величин относятся исчисленные показатели? Сопоставьте исчисленные показатели в динамике и сделайте выводы.

Задача № 15.

Имеются следующие данные по Республике Татарстан на начало года, тыс. чел.

Показатели	2006 год	2007 год
Все население, том числе:	3761, 5	3760, 5
городское	2803, 9	2806, 2
сельское	957, 6	954, 3

Определите:

1. Удельный вес городского и сельского населения в населении Республики.

2. Сколько человек городского населения приходится на 100 человек сельского населения?

3. К какому виду относительных величин относятся исчисленные показатели?

Задача № 16.

Имеются данные о населении и Валовом внутреннем продукте некоторых стран мира за 2006 год:

Страны	Население, млн. чел.	ВВП, млрд. долл.
Россия	142, 8
США	298, 4
Канада	33, 0
Китай	1313, 9
Индия	1095, 0
Япония	127, 5
Великобритания.	60, 6

Определите относительные величины уровня экономического развития стран и относительные величины сравнения (к уровню России). Сделайте выводы.

Задача № 17.

Имеются следующие данные о потреблении некоторых видов продуктов населением РФ:

Показатели
Потребление в тыс. тонн: Мясо и мясопродукты
Сахар-песок
Хлеб и х/б изделия
Среднегодовая численность населения, млн. чел.	144, 6	143, 9	143, 1	142, 5

Определите потребление продукции на душу населения в РФ по годам. К какому виду относительных величин относятся исчисленные показатели? По результатам расчетов сделайте выводы.

Задача № 18.

По нижеприведенным показателям определите недостающие данные:

Вид продукции	План, тыс. руб.	Фактически. тыс.руб.	% выполнения плана
Пальто женские зимние			?
Пальто женские демисезонные	?
Плащи женские		?
Итого	?	?	?

Задача № 19.

План 2007 года по производству продукции на предприятии был выполнен на 107, 3%. Фактический рост выпуска продукции в 2007 году составил 109, 8%. Каково было плановое задание по производству продукции на предприятии?

Задача № 20.

Средняя урожайность зерновых в Российской Федерации составила 24 ц/га, а в Республике Татарстан - 26 ц/га. Сравните урожайность зерновых в Российской Федерации с урожайностью в Республике Татарстан.

Задача № 21.

Среднегодовая численность населения области составляла 2540, 7 тыс. чел. Из них было занято в экономике 926, 2 тыс. чел. Безработные составили 25, 4 тыс. чел. Среди безработных лица с высшим образованием 3, 0 тыс. чел, молодежь в возрасте 16-29 лет 7, 8 тыс. чел., женщины- 18, 4 тыс. чел. Определите удельный вес занятых и удельный вес безработных в численности всего населения, долю женщин, долю молодежи и долю людей с высшим образованием в числе безработных.

Задача № 22.

По данным управления социальной защиты населения администрации области на учете в органах социальной защиты населения состояло 663, 3 тыс. пенсионеров, из них 528, 1 тыс. чел. – пенсионеры по старости. Средний размер назначенной месячной пенсии с учетом компенсационных выплат составил 923 руб., в том числе по старости 937 руб.

Для характеристики пенсионного обеспечения в области рассчитайте удельный вес пенсионеров по старости в числе всех пенсионеров, во сколько раз пенсия по старости больше среднего размера назначенной пенсии. Какие виды относительных величин Вы рассчитали?

Задача № 23.

В трех партиях продукции, представленных на контроль качества, было обнаружено:

а) первая партия – 1000 изделий, из них – 920 качественных, 80 бракованных;

б) вторая партия – 800 изделий, из них – 730 качественных и 70 бракованных;

в) третья партия – 900 изделий, из них – 840 качественных и 60 бракованных.

Для характеристики качества продукции рассчитайте удельный вес качественной и бракованной продукции в каждой партии, сколько бракованных изделий приходится на 1000 качественных в каждой партии и в целом в трех партиях. Сравните исчисленные показатели и сделайте выводы.

Решение типовых задач.

Задача № 1.

Имеются данные о производстве мыла за отчетный и базисный периоды:

	Количество, тонн	% содержания жирных кислот
базисный период	отчетный период
Мыло
Мыло
Мыло

Определите динамику производства мыла в натуральном измерении, в условно-натуральном измерении (40%-го мыла).

Решение:

Динамика производства мыла в натуральном выражении = =1.077 или 107.7%.

Для определения объема продукции в условно-натуральном измерении находим коэффициента пересчета мыла в 40%-е

мыло 40%- коэффициент = 1.0

мыло 60%- коэффициент = 60/40=1.2

мыло 80%- коэффициент = 80/40=2.0

Тогда динамика производства мыла в условно-натуральном измерении равна или 109.0%.

Задача № 2.

По плану на 2004 год рост производства продукции по предприятию должен был составить 104, 3%. Фактический рост выпуска продукции в 2004 году составил 104, 8%. Как был выполнен план производства продукции на предприятии?

Решение:

Исходя из взаимосвязи относительных величин планового задания, выполнения плана и динамики, искомая относительная величина выполнения плана будет равна частному от деления относительной величины динамики на относительную величину планового задания

1.048: 1.043=1.004 или 100.4%

Задача № 3.

Определите относительные величины структуры по данным о количестве проданных квартир в стране.

Показатели	Количество квартир, тысяч	В %% к итогу (относит. величины структуры)
Всего продано квартир, в том числе:	211.0	100.0
государственного	184.3
общественного	26.7

Задача № 4.

На начало 2002-2003 учебного года численность студентов высших учебных заведений Республики Татарстан составляла 170, 8 тыс. чел., а численность всего населения 3777, 7 тыс. чел. Определите относительную величину интенсивности (количество студентов на 1000 человек населения, ‰).

Решение:

170, 8 тыс. чел. студентов: 3777, 7 тыс. чел. населения х 1000=45, 2‰

(45 человек на 1000 человек населения).

Задача № 5.

Имеются следующие условные данные о пассажирообороте отдельных видов транспорта общего пользования за год, пассажиро - километров.

Вид транспорта	Пассажирооборот
Автобусный	6650.9
Троллейбусный	416.1
Трамвайный	1061.2
Железнодорожный	3200.0
Воздушный	739.1
Внутренний водный	69.1

Определите, сколько пассажиро–километров каждого вида транспорта приходится на 1000 пассажиро –километров железнодорожного транспорта. К какому виду относительных величин относится исчисленные показатели?

Решение:

Вид транспорта	Пассажирооборот (пассажиро - километры на 1000 пассажиро - километров железнодорожного транспорта), ‰.
Автобусный	6650, 9: 3200∙ 1000=2078, 4
Троллейбусный	416, 1: 3200∙ 1000=130, 0
Трамвайный	1061, 2: 3200∙ 1000=331, 6
Воздушный	739, 1: 3200∙ 1000=231, 0
Внутренний водный	69, 1: 3200∙ 1000=21, 6

Рассчитанные показатели в промилле (‰) являются относительными величинами координации, т. к. характеризуют соотношение частей целого между собой.

Задача № 6.

Средняя урожайность картофеля в Российской Федерации 106 ц/га, а в Республике Татарстан-122 ц/га. Сравните урожайность картофеля в Российской Федерации с урожайностью в Республике Татарстан.

Решение:

Относительная величина сравнения

Средние величины

Задача № 24.

Квалификация одной из бригад предприятия характеризуется следующими данными:

Порядковый номер рабочих 1 2 3 4 5 6 7

Разряд тарифной сетки 5 4 2 6 3 5 4

Определите средний тарифный разряд рабочих бригады.

Задача № 25.

Рассчитайте среднюю купюрность денег, выпущенных в обращение:

Достоинство

купюр, руб. 1 2 5 10 50 100 500 1000 5000

Выпущено в

обращение, 540 500 710 620 600 500 300 100 5

млн. штук

Задача № 26.

В районе в результате проверки двух партий бананов перед отправкой их потребителям установлено, что в первой партии весом 6248 кг. высшего сорта было 46, 2 %, во второй партии из 7647 кг. – 68, 3% высшего сорта.

Определите процент бананов высшего сорта в среднем по двум партиям вместе по району.

Задача № 27.

Имеются следующие данные о распределении фермерских хозяйств по размеру земельных угодий:

Земельные угодия, га.	Число хозяйств, ед.
До 3
4-5
6-10
11-20
21-50
51-70
71-100
Свыше100

Определите средний размер земельных угодий.

Задача № 28.

Определите среднюю дневную выработку одного рабочего на основании следующих сгруппированных данных:

Дневная выработка (м)	Количество рабочих, чел
50-60
60-80
80 и более
Итого:

Задача № 29.

На основании следующих данных определите средний процент бракованной продукции в трех партиях продукции в целом:

Номер партии продукции	Процент бракованной продукции	Удельный вес партии во всей продукции, %
Первая	8, 0	37, 0
Вторая	9, 6	29, 6
Третья	6, 7	33, 4

Задача № 30.

Имеются следующие данные по населению города:

Группы населения по возрасту, лет	Численность населения, тыс. чел.	Возрастная структура, %
Всего населения	мужчин	женщин
до 15	66, 07	17, 9	18, 8	17, 0
15 - 45	162, 77	44, 1	45, 9	42, 3
45 - 65	84, 98	23, 0	23, 2	22, 8
свыше 65	55, 52	15, 0	12, 1	17, 9
Итого	369, 34	100, 0	100, 0	100, 0

Определите средний возраст населения города, а также средний возраст мужчин и женщин.

Задача № 31.

По нижеследующим данным за два периода по группе сельскохозяйственных предприятий определите среднюю урожайность свеклы в каждом периоде

сельхоз. предприятия	базисный период	отчетный период
урожайность, ц/га	посевная площадь, га	урожайность, ц/га	валовый сбор, тонн

Задача № 32.

Имеются следующие данные по четырем заводам, выпускающим одноименную продукцию за отчетный период:

№ завода п/п	Выработано одноименной продукции, тыс. тонн	Себестоимость 1 тонны, руб.	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя месячная заработная плата, руб.

Определите в целом по всем заводам: а) среднюю себестоимость 1 тонны продукции; б) среднюю заработную плату работающих.

Задача № 33.

Выпуск продукции двумя цехами завода за базисный и отчетный периоды характеризуется следующими данными:

Номер цеха	Базисный период	Отчетный период
удельный вес продукции 1 сорта, %	стоимость продукции 1 сорта, тыс. руб.	удельный вес продукции 1 сорта, %	стоимость всей произведенной продукции, тыс. руб.

Определите средний удельный вес продукции 1 сорта по двум цехам вместе в базисном и отчетном периодах.

Задача № 34.

По двум промышленным предприятиям одного объединения имеются следующие данные: первое предприятие выпустило продукции на сумму 8000 тыс. руб. и выполнило план на 95%. Второе предприятие произвело продукции на 9000 тыс. руб. и выполнило план на 102%. Определите средний процент выполнения плана по двум предприятиям объединения вместе.

Задача № 35.

По нижеприведенной группировке магазинов по размеру товарооборота определите моду и медиану.

Товарооборот,

тыс. руб. до 50 50-100 100-150 150-200 200-250 Всего

Число магазинов 10 13 11 9 7 50

Задача № 36.

Известно следующее распределение вкладчиков отделения Сбербанка по размеру вкладов:

Вклады, тыс. руб.	Число вкладчиков, тыс. чел.
До 50	168, 0
50-100	29, 0
100-500	13, 0
500-1000	3, 0
1000-5000	1, 0
5000 и более	0, 1
Итого	214, 1

Определите средний, модальный и медианный размер вклада.

Решение типовых задач

Задача № 1.

В двух бригадах выработка одноименной продукции за смену характеризуется следующими данными:

Бригада 1	Бригада 2
Выработка продукции на 1 раб., шт.	Число рабочих, чел	Выработка продукции на 1 раб., шт.	Число рабочих, чел

Определите в какой бригаде и на сколько выше средняя выработка продукции на одного рабочего. Какой вид средней использован для расчета выработки в каждом случае?

Решение:

Для определения средней выработки по первой бригаде используется формула средней арифметической простой , где x-выработка в каждой группе рабочих, а n-число групп (шт.), т.к. каждый вариант выработки встречается равное (по 25) число раз.

Для определения средней выработки по второй бригаде используется формула средней арифметической взвешенной , где x-выработка в каждой группе рабочих, а f-число рабочих в каждой группе.

(шт.), т.к. каждый вариант выработками встречается разное число раз.

Следовательно, средняя выработка в бригадах одинаковая.

Задача № 2.

Требуется вычислить среднюю цену продукта «А» в отчетном и базисном периодах на основании данных по двум рынкам города:

Рынки	Базисный период	Отчетный период
цена за 1 кг, руб.	Продано, кг	цена за 1 кг, руб.	выручка, тыс. руб.
(x)	(f)	(x)	(M)
А				35.56
Б				14.88
Итого	X		X	50.44

Решение:

В базисном периоде среднюю цену продукта определяем по средней арифметической взвешенной, т.к. средняя цена: , где знаменатель дроби известен (вес проданного продукта), а числитель (выручку) определяем путем умножения цены 1 кг продукта на количество в кг.

Среднюю цену в отчетном периоде следует вычислять по средней гармонической взвешенной, т.к. числитель дроби известен (выручка), а знаменатель дроби (продано, кг) можно определить путем деления суммы выручки по каждому рынку на цену 1 кг.

Задача № 3.

Имеются данные о выполнении плана на двух предприятиях за два периода:

№ предприятия	Базисный период	Отчетный период
выполнение плана, %	фактический выпуск продукции тыс. руб.	выполнение плана, %	плановый объем продукции тыс. руб.


Итого	x		x

Необходимо определить средний процент выполнения плана на двух предприятиях в базисном и отчетном периодах.

Решение:

Т.к. процент выполнения плана - это отношение:

В базисном периоде средний процент выполнения плана определяем по средней гармонической взвешенной, т.к. числитель дроби известен (фактический выпуск), а знаменатель дроби (плановый объем) находим как частное от деления фактического выпуска на коэффициент выполнения плана.

В отчетном периоде средний процент выполнения плана определяем по средней арифметической взвешенной, т.к. знаменатель дроби известен (плановый объем), а числитель дроби можно определить как произведение коэффициента выполнения плана по каждому заводу на плановый объем продукции.

Задача № 4.

Рабочие завода распределены по возрасту следующим образом:

Группы рабочих по возрасту, лет (x)	Число рабочих (f)	Сумма накопленных частот (s)
до 20
20-30
30-50
50 и более

Определите моду и медиану:

Решение:

Модальным будет интервал 20 – 30, так как встречается чаще (255 рабочих). Отсюда

Медианным будет интервал 20 – 30, так как половина рабочих находится в этой группе

Задача № 5.

На основании нижеследующих данных определите:

а) средний размер основных фондов на один завод (упрощенным способом):

Группы заводов по размеру основных фондов, млн. руб. Число заводов (f) Середина интервала (x) x-А А=9 i=2

4-6 -4 -2 -4

6-8 -2 -1 -3

8-10

10-12

12-14

Итого Х Х Х

Решение:

Т.к. интервал группировки равный, для расчета используем упрощеный метод моментов: , где m₁момент первой степени , тогда средний размер основных фондов

(млн. руб.)

Показатели вариации

Задача № 37.

Население области за отчетный год по размеру среднедушевого дохода распределилось следующим образом:

Среднедушевой доход в месяц, тыс. руб.	Население, тыс. чел.
до 1, 0	130, 3
1, 0 - 2, 5	1160, 0
2, 5 - 4, 5	985, 4
4, 5 - 7, 0	354, 2
7, 0 - 10, 0	91, 8
10, 0 и более	26, 8
Всего	2748, 5

Рассчитайте среднедушевой доход населения области за месяц и его вариацию. Оцените уровень колеблемости среднедушевого дохода населения с помощью размаха вариации, среднего линейного отклонения и коэффициента вариации по среднему линейному отклонению. Сделайте выводы.

Задача № 38.

Имеются данные о распределении рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы:

№ группы	Месячная заработная плата рабочих, руб.	Число рабочих, %

	До 6000
	6000-7000
	7000-8000
	8000-9000
	9000-10000

	10000-11000
	11000 и более
	Итого

Определите: а) средний размер месячной заработной платы всех рабочих предприятия; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

Задача № 39.

По результатам обследования 40 сельхоз. предприятий области получены следующие данные:

Группы сельхоз. предприятий по среднему годовому надою молока от одной коровы, кг.	Число сельхоз. предприятий
до 2000
2000-2200
2200-2400
2400-2600
2600-2800
2800-3000
3000 и более
Итого

Определите: а) средний годовой надой молока от одной коровы по всем сельхоз. предприятиям области; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

Задача № 40.

Имеются данные о распределении 100 магазинов по величине товарооборота:

Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
до 100
100-200
200-350
350-600
Итого

Определите: а) среднюю величину товарооборота на один магазин по всем предприятиям; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации. Сделайте выводы.

Задача № 41.

Имеются данные о распределении предприятий по численности работников:

Группы предприятий по численности работников, чел.	Количество предприятий
до 500
500-700
700-1000
1000 и более

Определите: а) среднюю численность работников на одном предприятии; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации; д) модальную и медианную численность работников.

Задача № 42.

Распределение рабочих двух заводов одного объединения по тарифным разрядам характеризуется следующими данными:

Тарифный разряд	Численность рабочих на заводах
№ 1	№2	Итого

Определите: а) средний тарифный разряд по каждому заводу и по объединению; б) дисперсию по каждому заводу и общую по объединению;

в) среднюю из групповых дисперсий; г) межгрупповую дисперсию. Результаты проверьте правилом сложения дисперсий.

Задача № 43.

Ниже приводится группировка рабочих - сдельщиков предприятия по проценту выполнения норм выработки.

Процент выполнения норм выработки	Число рабочих по цехам предприятия
№1	№2	Итого
до 80
80-100
100-120
120-140
140 и более
Итого

Определите: а) средний процент выполнения норм выработки в каждой группе рабочих и по всей совокупности рабочих; б) дисперсии групповые и общую; в) среднюю из групповых дисперсий; г) межгрупповую дисперсию. Результаты проверьте правилом сложения дисперсий.

Задача № 44.

Имеются выборочные данные об урожайности пшеницы:

Урожайность, ц/га	Площадь, занятая под пшеницей, га
Яровой	Озимой	Итого
до 20
20-24
24-28
28 и более
Итого

Определите: а) среднюю урожайность яровой пшеницы, озимой пшеницы и всей пшеницы в целом; б) дисперсию признака по каждому виду пшеницы и всей пшенице; в) среднюю из групповых дисперсий; г) межгрупповую дисперсию; д) результаты проверьте правилом сложения дисперсий; е) модальную величину урожайности яровой и озимой пшеницы; ж) медианную величину урожайности яровой и озимой пшеницы.

Решение типовых задач

Задача № 1.

По данным об урожайности винограда на различных участках определите: а) размах вариации; б) среднюю урожайность винограда; в) среднее линейное отклонение; г) дисперсию; д) среднее квадратическое отклонение; е) коэффициент вариации по среднему линейному отклонению.

№ участка	Урожайность винограда с одного куста, кг.(x)	Число кустов (f)
			3, 9	19, 5	76, 05
			2, 9	20, 3	58, 87
			1, 9	15, 2	28, 88
			0, 9	9, 9	8, 91
			0, 1	1, 5	0, 15
			1, 1	17, 6	19, 36
			2, 1	21, 0	44, 10
			3, 1	24, 8	76, 88
Итого	Х		Х	129, 8	313, 20

Решение:

а) размах вариации

б) средняя урожайность (кг).

в) среднее линейное отклонение

(кг).

г) дисперсия .

д) среднее квадратическое отклонение (кг)

е) по среднему линейному отклонению: коэффициент вариации .

Задача № 2.

На основании нижеследующих данных определите: а) средний размер основных промышленно-производственных фондов на один завод (упрощенным способом); б) дисперсию (упрощенным способом); в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

Группы заводов по стоимости основных фондов, млн. руб.	Число заводов (f)	Середина интервала (x)	x-А А=9

4-6			-4	-2	-4
6-8			-2	-1	-3
8-10			-	-	-	-
10-12

12-14
Итого		Х	Х	Х

Решение:

Так как интервал группировки равный, для расчета можно использовать упрощенный метод моментов (и для средней, и для дисперсии).

а) средний размер основных фондов

где m₁момент первой степени

, тогда (млн. руб.).

б) дисперсия , где m₂ момент второй степени.

, тогда

в) среднее квадратическое отклонение (млн. руб.).

г) коэффициент вариации

Задача № 3.

По нижеследующим данным определите: а) среднюю урожайность озимой пшеницы; б) дисперсию (упрощенным способом); в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га. (f)	Середина интервала (x)	Сокращенные веса в 50 раз (f)	xf	x²f
20-22		21, 0		63, 0	1323, 00
22-25		23, 5		23, 5	552, 25
25-30		27, 5		55, 0	1512, 50
30-40		35, 0		140, 0	4900, 00
Итого				281, 5	8287, 75

12 3 4 Следующая ⇒