Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Бесконечно малая величина

Функция называется бесконечно малой при если

Свойства бесконечно малой величины

1. Если функции являются бесконечно малыми, то также есть бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Бесконечно большая величина

Функция f(x) называется бесконечно большой при если

Свойства бесконечно больших величин

1. Если функция f(x) бесконечно большая, то бесконечно малая.

2. Если функция бесконечно малая и не обращается в нуль, то

Основные теоремы о пределах

Теорема 1 . Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 2. Если функции f(x) u g(x)имеют пределы при то при имеют пределы также их сумма f(x) + g(x), произведение и при условии, что

частное

причём

Следствие 1 . Если функция f(x) имеет предел при то

где n – натуральное число.

Следствие 2 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Задание для самостоятельной работы

Докажите теорему о пределе суммы двух функций.

Рекомендуемая литература: 2.2, 2.3, 2.4.

Самостоятельная работа №6

Тема: «Производная и дифференциал функции»

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов функции

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Пусть функция y=f(x)определена в промежутке (a; b). Возьмём какое-нибудь значение х из (a; b). Затем возьмём новое значение аргумента из этого промежутка, придав первоначальному значению х приращение (положительное или отрицательное).

Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции

где

Теперь составим отношение

Оно является функцией от

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента когда стремится к нулю, то этот предел называется производной от функции y=f(x) в данной точке х и обозначается через y’ или f’(x) (читается «игрек штрих» или «эф штрих от икс»):

Для обозначения производной принят также и следующий символ (читается «дэ игрек по дэ икс»). Эту запись надо рассматривать пока как целый символ, а не как частное.

Действие нахождение производной называется д ифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Задание для самостоятельной работы

Написать сообщение на тему «Физические приложения производной и дифференциала функции».

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1, 2.4.

Самостоятельная работа №7

Тема: «Несобственные интегралы»

Цель: Формирование умения вычислять несобственные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [ a, b ]); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [ a, b ].

Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f ( x ) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ a, b ], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f ( x ) от a до и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Пример 1.

;

этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пример 2 ; следовательно, интеграл сходится и равен .

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f ( x ) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.