В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

 

 

Методические указания к практическим занятиям по теме «Дифференциальные уравнения»

для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения

 

 

 

Могилев 2010

УДК 517

ББК 22.1я73

В 93

 

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

 

 

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» февраля 2010 г., протокол № 5

 

 

Составители: Е. Г. Галуза; М. Н. Зубова;

Н. М. Карпович; В. В. Пугин Рецензент канд. техн. наук, доц. Д. М. Макаревич

В методических указаниях изложен материал по теме «Дифференци- альные уравнения», который могут использовать студенты всех специаль- ностей как дневной, так и заочной форм обучения при самостоятельной работе, а также преподаватели для проведения практических занятий.

 

Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

 

Ответственный за выпуск Л. В. Плетнёв Технический редактор А. Т. Червинская

Компьютерная верстка Н. П. Полевничая

 

Подписано в печать 15.10.2010. Формат 60× 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 2, 09. Уч.-изд. л. 2, 0. Тираж 165 экз. Заказ № 727.

 

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г.

212000, г. Могилев, пр. Мира, 43

 

 

© ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2010

 

Упражнения

 

 

Проинтегрировать уравнения

 

 

x

1 y (

1 + y2dx + y

3)= 0.

1 + x2dy = 0,

 

 

9 xy¢ - y = y3.

 

2 ydx + ctgxdy = 0,

y æ p ö = -1.

 

10 1 - y

ç 3 ÷

y¢ + = 0.

 

3 y¢ sin x - y cos x = 0,

è ø

y æ p ö = 1. 11

y¢ =

1 + x

1 + y2

.

xy

è ø

ç ÷ (1 + x2)

4 y2 + y¢ × x2 = 0,

y (-1) = 1. 12

y × y¢ + x = 1.

5 (1+ y2)(e2x dx - e y dy ) - (1+ y ) dy = 0. 13 (1+ x2)dy - 2x( y + 3)dx = 0.

6 sin x × sin ydx + cos x × cos ydy = 0. 14 (1 + 2 y ) xdx - (1 + x2)dy = 0.

x

7 ( y2+ xy2) y¢ + x2- yx2= 0. 15

3extgydx + 1 - e

cos2 y

dy = 0.

8 (1 - x2) y¢ + xy = 2x . 16 (1 + ex ) yy¢ = e y ,

y (0) = 0.

Однородные уравнения

Функция

f ( x, y )

называется однородной n-го измерения (nÎ R)

от-

носительно аргументов x и y , если для любого значения t , кроме, может

быть,

t = 0, имеет место тождество

f (tx, ty) = tnf ( x, y ).

Например,

f ( x, y ) = x3 + 3x2 y

– однородная функция 3-го измерения

относительно аргументов, т. к.

= t3 f ( x, y ).

f (tx, ty ) = (tx )3+ 3(tx )2ty = t3(x3+ 3x2y ) =

ДУP ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0

называется однородным относительно

 

 

переменных x и y , если функции

P ( x, y )

и Q ( x, y )

 

являются однород-

ными функциями одного и того же измерения.

Из этого определения непосредственно следует, что ДУ

 

 

y¢ =

 

 

f ( x, y )

является однородным относительно x и y , если функция

f ( x, y )

является

однородной функцией нулевого измерения относительно x и y .

Интегрирование однородного уравнения сводится к интегрированию ДУ с разделяющимися переменными.

 

Однородное ДУ

 

y¢ =

f ( x, y )

 

преобразуется к виду

y¢ = j (y x ). С по-

мощью подстановки y = u

x

 

(откуда

 

y = ux,

 

y¢ = u¢ x + u ) получим уравне-

ние

u¢ x+ u = j (u)

с разделяющимися переменными.

 

Пример 6. Найти общее решение ДУ ( x - y ) ydx + x2dy= 0.

Решение

Дано однородное уравнение, т. к.

P ( x, y ) = ( x - y ) y

и Q ( x, y ) = x2 –

однородные функции 2-го измерения. Приводим уравнение к виду

 

dy = j æ y ö :

 

dy = (x -y )y

 

 

или

 

dyy

 

æ y ö

x

ç ÷

dx è ø

 

dx x2

= - ç ÷ .

dx x è x ø

 

 

Полагаем y x

 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u . Следовательно,

 

u¢ x + u = u - u2. Тогда

 

u¢ x = -u2,

x du = -u2,

– du = dx ,

du dx

-ò = ò + C

dx u2 x

u2 x

или

x = ln x + C y

— общий интеграл исходного ДУ.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

x = 0,

y = 0

также ре-

шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком

значении C из общего интеграла. Поэтому ми решениями данного уравнения.

x = 0 и

y = 0

являются особы-

Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов- летворяющее начальному условию, если (x2 - 3y2)dx + 2xydy = 0, y (2)= 1.

Решение

Это уравнение однородное. Приводим его к виду

y¢ = j (y x ):

dy 3y2 - x2

3 y 1 x

= или

y¢ = × - × .

dx 2xy

2 x 2 y

 

Применяем подстановку y

x

 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u .

 

 

du u2 -1

u¢ x + u = 3 u -

1, откуда x =.

2 2u

dx 2u

 

 

Разделяя переменные, имеем

 

2udu u2 -1

 

= dx . Интегрируем это равенство:

x

2udu

ò u2 - 1 =

dx + ln C ,

ò

x

C ¹ 0,

ln u2- 1 = ln x

+ ln C

 

, или

u2- 1 = Cx , или

y = Cx + 1, или

x2

y2= x2(Cx+ 1)

 

– общий интеграл ДУ.

 

При делении на 2xy

æ когда приводили к виду y¢ = j æ y ö ö

 

могли по-

x

ç ç ÷ ÷

è è ø ø

терять решение

x = 0,

y = 0. Проверкой убеждаемся, что

x = 0,

y = 0 –

решения данного уравнения. Из общего интеграла они не получаются ни

при каком значении C . Следовательно, данного уравнения.

x = 0,

y = 0

– особые решения

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию

y (2) = 1. Подставив

x = 2,

y = 1

в общий интеграл, находим C :

 

1 = 4 (2C+ 1),

C 3. Тогда y =

 

ç ÷

x2æ 1 - 3 x ö

 

– частное решение ДУ, удов-

=-

8

летворяющее условию

 

y (2) = 1.

è 8 ø

 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные (где это требуется) решения уравнений

1 (x2+ y2)dx = 2xydy. 8 ( y2- 2xy )dx + x2dy = 0.

 

2 xy¢ = y +

y2- x2. 9

yy¢ = 2 y - x .

3 y¢ = x + y . 10

x - y

y¢ = e x + y .

y

x

4 xy¢ = y ln xy

. 11

xy¢ cos

y = y cos y x x

– x .

5 (4x - 3y ) dx + (2 y - 3x ) dy = 0. 12

4x2- xy + y2+ y¢ (x2- xy + 4 y2) = 0.

y2 y

y¢ =

y + x ,

y (1) = 1.

6 y¢ = -,

y (-1) = 1. 13

x2

æ

7 xdy + ç x

è

x

y

ö

- 1 - y ÷ dx = 0,

x ø

x y

 

y (1)= 1. 14 ( xy¢ - y )arctg

 

 

y = x ,

x

 

 

y (1) = 0.

 

15 2xy¢ (x2 + y2) = y ( y2+ 2x2). 16 ( x - 2 y - 1)dx + (3x - 6 y + 2)dy = 0.

 

 

 

Замечание – ДУ вида

 

y¢ =

f æ a1x + b1y + c1ö , где

 

ab - ab

 

¹ 0, приво-

ç ax + by + c ÷ 1 1

è ø

дится к однородному уравнению с помощью подстановки x = x¢ + a,

y = y¢ + b, где

x¢,

y¢ – новые переменные;

a, b – постоянные, удовлетво-

ряющие системе

ì a1a + b1b + c1 = 0,

î

í aa + bb + c = 0.

 

 

Упражнения

 

 

Проинтегрировать уравнения

 

1 y¢ - y = x . 9

x

2 xy¢ - y = x2cos x . 10

x2y2y¢ + xy3= 1.

x ( x - 1) y¢ + y = x2+ 2x- 1,

y (2) = 4.

3

=-

dy 2 y + x2.

11 (x2

+ 1)

y¢ + 4xy = 3.

dx x

4 y¢ +

y = x2. 12 (1- x )( y¢ + y ) = e-x .

x

5 x2+ xy¢ = y ,

y (1) = 0. 13

e-y dx + (1 - xe-y )dy = 0.

6

x¢ + x cos y = cos y ,

x (0)= 1. 14

2xy¢ - y = 3x2.

7 y¢ cosx + y = 1 - sinx . 15

y¢ - 2xy = 2xex .

8 y¢ x + y = - xy2. 16

y¢ - 1 + 2x

x + x2

y = 1 + 2x .

x + x2

 

Упражнения

 

 

Решить ДУ высших порядков, используя методы понижения порядка

 

1 y¢ ¢ = x ln x . 9

2 y¢ ¢ ¢ = cos 2x . 10

1 + ( y¢ )2= 2 yy¢.

yy¢ - ( y¢ )2= y3.

3 y¢ ¢ = 3x2,

y (0) = 2,

y¢ (0) = 1. 11

y¢ ¢ ¢ = xex ,

y (0) = y¢ (0) = y ¢ (0) = 0.

4 x ( y¢ ¢ + 1) + y¢ = 0. 12

xy¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - x -1 = 0.

5 x2 y¢ ¢ + xy¢ = 1. 13

x ( y¢ )2y ¢ - ( y¢ )3= x .

3

6 xy¢ = y¢ lny¢. 14

x

2 yy¢ ¢ - 3( y¢ )2 = 4 y2.

7 (1 + x2 ) y¢ ¢ + 2xy¢ = x3. 15

y¢ ¢ = y¢ + x .

8 yy¢ ¢ - ( y¢ )2 = y2 y¢. 16

x y¢

y¢ ¢ y3 = 1.

Упражнения

 

 

Найти общие решения уравнений и частные решения при заданных начальных условиях (где это требуется).

 

1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = 0. 9

2 y¢ ¢ ¢ - 10 y ¢ + 25 y¢ = 0. 10

y ¢ - 6 y¢ + 34 y = 0.

y ¢ - 2 y¢ + 2 y = 0,

y (0) = 0,

y¢ (0) = 1.

3 y¢ ¢ ¢ - 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = 0. 11

4 y(6)- 6 y(5)+ 13y(4)= 0. 12

5 y(8) - 6 y¢ ¢ = 0. 13

y¢ ¢ ¢ - 7 y¢ ¢ + 16 y¢ -12 y = 0.

y¢ ¢ ¢ + 3y¢ ¢ = 0.

y ¢ - 6 y¢ = 0.

6 y¢ ¢ - 4 y¢ + 3y = 0,

14 y ¢ + 8 y¢ + 16 y = 0.

y (0) = 6,

y¢ (0) = 10.

7 y¢ ¢ + 4 y = 0,

15 y ¢ - 4 y¢ + 4 y = 0,

y (0) = 0,

y¢ (0) = 2.

y (0) = 3,

y¢ (0) = -1.

8 y¢ ¢ ¢ - y¢ = 0. 16 4 y ¢ - 8 y¢ + 5 y = 0.

 

Упражнения

Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

1 y¢ ¢ + y = 1. 9

sin x

y¢ ¢ + 3y¢ + 2 y =

1.

3 + e-x

2 ò cos 2x

= 1 sin2x- 1 lntgæ x + p ö + C ;

Общее решение данного уравнения запишется в виде

общ.неодн.

y = C

è ø

2 y¢ ¢ + 4 y = 1. 10

cos 2x

ex

y¢ ¢ + 2 y¢ + y =.

x

e-2 x

3 y¢ ¢ - y¢ =

 

ex + 1 1

. 11

y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y =.

x3

4 y¢ ¢ - y =. 12

x

y¢ ¢ + y =.

cos3 x

5 x2 y¢ ¢ + xy¢ + y = x . 13

y¢ ¢ + y =

.

cos x

6 xy¢ ¢ + y¢ = x2. 14

7 x2 y¢ ¢ - xy¢ = 3x3. 15

8 y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x . 16

y¢ ¢ + y = tg 2 x .

y¢ ¢ + y¢ = e2 x cos ex .

xy¢ ¢ + (2x -1) y¢ = -4x2.

 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные решения (там, где заданы начальные условия) для следующих дифференциальных уравнений

 

1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = (12x - 7)e- x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.

9 y ¢ - 2 y¢ + 10 y = x cos 2x .

2 y¢ ¢ - y = x2 - x + 1. 10

3 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = ex . 11

4 y¢ ¢ + y = 7 sin x . 12

5 y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = e3 x ( x - 1). 13

6 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = sin x - 7 cos x . 14

y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = ex sin x .

y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ = (1 - 2x )ex .

4 y¢ ¢ - y = x3 - 24x .

y ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.

y¢ ¢ + 2 y¢ = 4ex (sin x + cos x ).

7 y¢ ¢ - 9 y = e3 x . 15 4 y ¢ + 8 y¢ = x sin x .

8 y¢ ¢ - 4 y¢ - 5 y = 2x2ex ,

16 y ¢ + y = 2 cos x ,

y (0) = 2,

y¢ (0) = 3.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 0.

 

3 Индивидуальные задания

 

 

Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого по- рядка.

 

1 а) (1 + y2)dx + xydy = 0,

5 а) (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0,

б) x2 y¢ + y = 0,

б) y¢ + y2= 1,

в) xy¢ = y ln x ,

y

 

в) y¢ =

y + sin y ,

x x

г) y¢ + 2 y = e-x ,

г) xy¢ - y = x2cos x ,

д) y¢ =

y + x2,

x

y (1) = 0.

д) y¢ + y cos x = 1 sin 2x ,

2

y (0) = 0.

2 а)

xdy - ydx = y2dx , 3x2

6 а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0,

б) (1 + ex) yy¢ = ex,

б) y¢ =

,

x3y + y y

в)( x + y )dx - ( x - y )dy = 0,

в) y¢ -

x

= x ,

г) xy¢ + y = ln x ,

д) xy¢ + 2 y = 3x ,

y (0) = 0.

г) y¢ =- x + y ,

x

д) y¢ - 2x - 5 y = 5,

x2

 

 

y (2) = 4.

3 а)

б)

4xdx - 3ydy = 3x2ydy - 2xy2dx ,

x2+ xy¢ = y ,

7 а)

 

б)

 

4 + y2dx - ydy = x2ydy ,

y¢ = 35 x+2 y ,

в) y¢ sin2x = y ln y ,

г) ( y - x )dx + ( x + y )dy = 0,

в)( x - y ) ydx + x2dy= 0,

г) y¢ + 2xy = xe-x ,

 

д) y¢ -

2xy

1 + x2

 

= 1 + x2,

y (1) = 3.

 

д) y¢ + 3 y =

 

,

2

 

y (1) = 1.

 

,

4 а) (x2-1)dy + 2xy2dx = 0, 1 + y2

 

8 а)

 

б)

x x

x ( y2-1)dx + y (x2- 1)dy = 0,

yy¢ = 2 y - x ,

б) y¢ =

y (1 + x2 )

 

в) y¢ +

y = x2,

 

в) y¢ =

 

x2+ xy - y2

,

x2- 2xy

 

 

г) x

2x

1 + y2

 

 

+ yy¢

 

 

1 + x2

 

 

= 0,

г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,

д) ( y2- 3x2 )dy + 2xydx = 0, y (0)= 1.

д) y¢ + y ctg x = 2x sin x , y æ p ö = 0.

ç ÷

è ø

 

9 а)

x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,

14 а)

 

2 2

dx + dy = 0,

б) y¢ - 2

y = ( x + 1)3,

1 + x

1 + y

x + 1

б) 4 - x2y¢ + xy2+ x = 0,

 

в) y¢ =

x + y ,

x - y

 

в) y¢ =

y + 1,

x

г) (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y + 4 y3)dy = 0,

г) y¢ - y cos x = cos x ,

 

д) y¢ +

 

xy = x , 2 (1 - x2 ) 2

y (0) = 2.

3

 

д) y¢ + 2xy = -2x3,

y (1) = 1.

e

 

10 а)

3(x2 y + y )dy +

 

2 + y2dx = 0,

15 а) (ex+ 8)dy - yexdx = 0,

б) y (1+ lny ) = -xy¢,

б) y¢ tg x - y = 1,

¢

2 - æ +

y ö =,

 

в) y¢ =

y + 4 y + 2,

x2 x

в) xy y ç 1 ln ÷ 0

è ø

x

г) xy¢ + (1 + x2 ) y = x2,

г) y¢ + 1 - 2xy = 1,

x2

д) y¢ + 1 - 2xy = 1,

y (1) = 1.

д) y ctg xdx = dy ,

y p = 1.

11 а)

б)

x2

6xdx - 6 ydy = 2x2ydy - 3xy2dx ,

xy¢ - y = y3,

 

16 а)

 

x (1 + y¢ )2

 

 

= 1,

( 2 )

 

в)( x - y ) dx+ xdy = 0,

б) x

+ 2xyy¢ = 1,

 

г) y¢ + 2xy = e- x ,

в) y¢ + 2xy = 2x ,

г) 4x - 3y+ y¢ (2y - 3x) = 0,

 

д) y¢ +

y = sin x ,

x

y (p ) = 1.

p

д) xy¢ + 3y = x2,

y (1) = 2.

12 а)

x sin xdx + cos2 ydy = 0,

y

17 а)

5 + y2dx + 4 (x2y + y )dy = 0,

 

б) y¢ -

y = e x ,

б) (1 + ex ) y¢ = ex y ,

x

в) 1 + x2y¢ + xy2+ x = 0,

 

в) xy¢ - 2 y = x + 1,

 

г) y¢ + y = exsin x ,

г) ( xy¢ - y )arctg y x

= x ,

 

д) y¢ =

y + sin y ,

x x

y (1) = p.

2

д) y¢ sin x - y cos x = 0,

y (p 2 ) = 1.

13 а)

2xdx - ydy = x2ydy - xy2dx ,

18 а) x

3 + y2 dx + y

2 + x2 dy = 0,

б) xy¢ + y - 3 = 0,

в) (x2- y2) y¢ = 2xy ,

г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,

б) x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,

в) y¢ + y = e-x ,

г) (x2+ y2)dx + xydy = 0,

д) y¢ = 2

 

y ln x ,

y (e) = 1.

д) y¢ + y

x

 

= 3x ,

y (1) = 1.

 

19 а) (1 + x2)dy - 2 ( y + 1)xdx = 0,

24 а)(2x + 2xy2)dx +

 

2 - x2dy = 0,

б) y¢ = ( y - 1)ctg x ,

 

1 - x2

б) yy¢ = -1,

в) xy¢ = y ln y ,

x

1 - y2

 

y

г) y¢ = -1 + 2x y + 1,

в) xy¢ + xe x

- y = 0,

x2 г)

xy¢ + y - x - 1 = 0,

 

д) y¢ =

y + sin y ,

y (1) = p.

 

д) y 12

x x 2

y¢ - =-,

x x3

y (1) = 4.

20 а)

xy (1 + x2) y¢ = 1 + y2,

25 а) (e2x + 5)dy + ye2x dx = 0,

б) xdx + ydy

= 0,

б) xdx - ydy

= 0,

1 + y

в) y¢ =

1 + x

y (1+ lnx - ln y ),

1 + y

в)

1 + x

y

x y¢ - e x

= y ,

x

г) y¢ - y 2x - 1 = 1,

г) y¢ cos x + y sin x = 1,

д) (y +

x2

x2+ y2)dx- xdy = 0, y (1) = 0.

д) y¢ - y = -

x

ln x ,

x

y (1) = 1.

21 а) (1 + y2)dx = xdy ,

26 а) 2 ydx = dy ,

б) y¢ sin x = y ln y ,

б) y¢ + x2 y = x2,

в) y¢ =

y - tg y ,

x x

в) x3y¢ = y (x2+ y2),

г) xy¢ + 3y = x2,

г) y¢ + y cos x = sin x cos x , x y

y2 y

д) y¢ = -,

y (-1) = 0.

д) y¢ = -,

y (-1) = 1. y x

x2 x

22 а) (1 - x2) y¢ - xy = xy2,

27 а)

dy + (xy - xy3)dx = 0,

б) x (1 + y¢ )2 = 1,

б) ( y¢ )2 = x ( y¢ )2 - y ,

в) y¢ sin x - y = 1 - cos x ,

в) 2xy¢ - 6 y + x2= 0,

г) ( x + y ) ydx - x2dy= 0,

г) xdy - ydx =

x2+ y2dx ,

д)

23 а)

e y ( y¢ + 1) = 1,

y¢ tg x - y = a ,

y (0) = 0.

д)

28 а)

y¢ - 2 y = -x2,

xy¢ + y = y2,

y (0) = 0, 25.

б) yy¢ = 1 - 2x ,

y

б) y

1 - x2dy +

3y

1 - y2dx = 0,

в) (

xy + x )dy + ydx = 0,

в) y¢ =

+ x ,

x

г) x ( x -1) y¢ - y = ( x -1)2,

г) ( x + 2 y )dx- (2x+ y )dy = 0,

д) y¢ ctg x + y = 2,

y (0) = 2.

д) y¢ =

y + 1,

x

y (1) = 0.

29 а)

y¢ - (2y + 1)ctg x = 0,

30 а) (1 + x2) y¢ - 2x = xy2,

б) 2x2ydy = (1 + x2)dx ,

в) y¢ cos x - y sin x = sin 2x ,

б) ydy - (x - xy2 )dx = 0,

в) xdy - ydx = ydy ,

г) (x2+ y2) y¢ = x x2- y2

+ xy + y2,

г) y¢ + ay = elnx ,

д) (1 + ex) yy¢ = ex,

y (0) = 1.

д) (x2- 3y2)dy + xydx = 0,

y (0) = 1.

Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

 

1 а)

б)

 

в)

г)

д)

 

 

y¢ ¢ ¢ = 7 cos 5x + 2x2,

2xy¢ = (1 + x2) y ¢ ,

y¢ ¢ + y = tg2 x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = xex ,

 

 

4 а)

 

б)

в)

г)

д)

 

 

y¢ ¢ ¢ = e- x + 2x ,

2 yy ¢ = 1 + ( y¢ )2,

y ¢ + y¢ = tg x ,

y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = 6e2 x ,

y ¢ + 4 y = 5sin 2x ,

y (0) = 1,

y¢ (0) = 2.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 1.

 

2 а)

y¢ ¢ ¢ = 10e-2 x + 3x ,

5 а)

y IV

= 10sin 2x - x ,

б) ( x - 3) y¢ ¢ + y¢ = 0,

б) xy ¢ + 2 y¢ = 0,

в) y¢ ¢ - y¢ = (1 + ex )-1,

в) y¢ ¢ - 2 y = 2 (x2 -1)

x

x3,

г) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 8ex ,

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = e

sin x ,

д) y¢ ¢ + y = 5sin 2x ,

д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 3y¢ - y = ( x - 5)ex ,

y (0) = 2,

y¢ (0) = -1.

y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 1.

 

3 а)

y IV

= cos 3x + 5x ,

6 а)

y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 5x + 1,

б) (1 + x2) y ¢ - 2xy¢ = 0,

б) xy ¢ + y¢ = x + 1,

 

в) y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x ,

г) y¢ ¢ + y = 5sin x ,

 

в) y¢ ¢ + 4 y =

 

IV

1,

sin 2x

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 4 y = ( x + 2)e3x ,

г) y

– 81y = 2 cos 3x ,

 

y (0) = -1,

 

y¢ (0) = 0.

д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ - y¢ + 3y = (4 - 8x )ex ,

y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 2.

 

7 а)

 

y IV

 

= 2 sin 3x - x ,

11 а)

y ¢ = x sin x ,

б) x4 y¢ ¢ + x3 y¢ = 4,

б) (1 + sin x ) y¢ ¢ ¢ = y ¢ cos x ,

в) y¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - 6 y¢ = (20x + 3)e2 x ,

ex

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,

 

в) y¢ ¢ + 4 y =

1,

cos 2x

x

x2 г)

y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5e ,

д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x2,

д) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2,

y (0) = 5,

y¢ (0) = 0.

y (0) = y¢ (0) = 3.

 

8 а)

б)

в)

 

г)

 

д)

y¢ ¢ ¢ = 5x2 - 6x + 2,

xy¢ ¢ - y¢ = x2,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = e-3x cos8x ,

e2 x

y¢ ¢ - 4 y¢ + 5 y =,

cos x

y¢ ¢ - 2 y¢ + 5 y = xe2 x ,

12 а)

б)

в)

 

г)

 

д)

y ¢ = x cos x ,

y¢ ¢ ¢ tg 5x = 5 y¢ ¢ ,

y¢ ¢ ¢ - 4 y¢ ¢ + 3y¢ = -4xex ,

y¢ ¢ + y = 1 ,

cos3 x

y ¢ + 5 y¢ + 6 y = 12 cos 2x ,

y (0) = y¢ (0) = 5.

y (0) = -1,

y¢ (0) = 10.

9 а)

xy¢ ¢ ¢ = 2,

13 а)

y IV

= -2x + cos 3x ,

б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex ,

б) yy¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,

 

в) y¢ ¢ + y =

1234Следующая ⇒

Поделиться: