![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К АСтр 1 из 4Следующая ⇒
В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А
Методические указания к практическим занятиям по теме «Дифференциальные уравнения» для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения
Могилев 2010
![]() ББК 22.1я73 В 93
Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»
Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» февраля 2010 г., протокол № 5
Составители: Е. Г. Галуза; М. Н. Зубова; Н. М. Карпович; В. В. Пугин Рецензент канд. техн. наук, доц. Д. М. Макаревич В методических указаниях изложен материал по теме «Дифференци- альные уравнения», который могут использовать студенты всех специаль- ностей как дневной, так и заочной форм обучения при самостоятельной работе, а также преподаватели для проведения практических занятий.
Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Ответственный за выпуск Л. В. Плетнёв Технический редактор А. Т. Червинская Компьютерная верстка Н. П. Полевничая
Подписано в печать 15.10.2010. Формат 60× 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 2, 09. Уч.-изд. л. 2, 0. Тираж 165 экз. Заказ № 727.
Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования «Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г. 212000, г. Могилев, пр. Мира, 43
© ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2010
Упражнения
1 y ( 1 + y2dx + y
1 + x2dy = 0,
9 xy¢ - y = y3.
2 ydx + ctgxdy = 0, y æ p ö = -1.
y¢ + = 0.
3 y¢ sin x - y cos x = 0, è ø y æ p ö = 1. 11 y¢ = 1 + x 1 + y2 .
4 y2 + y¢ × x2 = 0, y (-1) = 1. 12 y × y¢ + x = 1. 5 (1+ y2)(e2x dx - e y dy ) - (1+ y ) dy = 0. 13 (1+ x2)dy - 2x( y + 3)dx = 0. 6 sin x × sin ydx + cos x × cos ydy = 0. 14 (1 + 2 y ) xdx - (1 + x2)dy = 0. x 7 ( y2+ xy2) y¢ + x2- yx2= 0. 15 3extgydx + 1 - e
dy = 0. 8 (1 - x2) y¢ + xy = 2x . 16 (1 + ex ) yy¢ = e y , y (0) = 0. Однородные уравнения Функция f ( x, y ) называется однородной n-го измерения (nÎ R) от- носительно аргументов x и y , если для любого значения t , кроме, может быть, t = 0, имеет место тождество f (tx, ty) = tnf ( x, y ). Например, f ( x, y ) = x3 + 3x2 y – однородная функция 3-го измерения относительно аргументов, т. к. = t3 f ( x, y ). f (tx, ty ) = (tx )3+ 3(tx )2ty = t3(x3+ 3x2y ) = ДУP ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 называется однородным относительно
переменных x и y , если функции P ( x, y ) и Q ( x, y )
являются однород- ными функциями одного и того же измерения. Из этого определения непосредственно следует, что ДУ
y¢ =
f ( x, y ) является однородным относительно x и y , если функция f ( x, y ) является однородной функцией нулевого измерения относительно x и y .
Однородное ДУ
y¢ = f ( x, y )
преобразуется к виду y¢ = j (y x ). С по-
x
(откуда
y = ux,
y¢ = u¢ x + u ) получим уравне- ние u¢ x+ u = j (u) с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общее решение ДУ ( x - y ) ydx + x2dy= 0. Решение Дано однородное уравнение, т. к. P ( x, y ) = ( x - y ) y и Q ( x, y ) = x2 – однородные функции 2-го измерения. Приводим уравнение к виду
dy = j æ y ö :
dy = (x -y )y
или
dyy
dx è ø
dx x2 = - ç ÷ . dx x è x ø
= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u . Следовательно,
u¢ x + u = u - u2. Тогда
u¢ x = -u2, x du = -u2, du = dx , du dx
u2 x
x = ln x + C y — общий интеграл исходного ДУ. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0, y = 0 также ре- шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком значении C из общего интеграла. Поэтому ми решениями данного уравнения. x = 0 и y = 0 являются особы- Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов- летворяющее начальному условию, если (x2 - 3y2)dx + 2xydy = 0, y (2)= 1.
Это уравнение однородное. Приводим его к виду y¢ = j (y x ): dy 3y2 - x2 3 y 1 x
y¢ = × - × . dx 2xy 2 x 2 y
x
= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u .
du u2 -1
1, откуда x =.
dx 2u
Разделяя переменные, имеем
2udu
dx + ln C ,
C ¹ 0, ln u2- 1 = ln x + ln C
u2- 1 = Cx , или
x2 y2= x2(Cx+ 1)
– общий интеграл ДУ.
При делении на 2xy æ когда приводили к виду y¢ = j æ y ö ö
могли по-
è è ø ø терять решение x = 0, y = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0, y = 0 – решения данного уравнения. Из общего интеграла они не получаются ни при каком значении C . Следовательно, данного уравнения. x = 0, y = 0 – особые решения Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (2) = 1. Подставив x = 2, y = 1 в общий интеграл, находим C :
1 = 4 (2C+ 1), C 3. Тогда y =
– частное решение ДУ, удов-
летворяющее условию
è 8 ø
Упражнения
Найти общие и частные (где это требуется) решения уравнений
2 xy¢ = y + y2- x2. 9 yy¢ = 2 y - x .
x - y y¢ = e x + y .
4 xy¢ = y ln xy . 11 xy¢ cos y = y cos y x x – x .
4x2- xy + y2+ y¢ (x2- xy + 4 y2) = 0. y2 y y¢ = y + x , y (1) = 1.
y (-1) = 1. 13 x2 æ 7 xdy + ç x è x
- 1 - y ÷ dx = 0, x ø x y
y (1)= 1. 14 ( xy¢ - y )arctg
x
y (1) = 0.
15 2xy¢ (x2 + y2) = y ( y2+ 2x2). 16 ( x - 2 y - 1)dx + (3x - 6 y + 2)dy = 0.
Замечание – ДУ вида
y¢ = f æ a1x + b1y + c1ö , где
ab - ab
¹ 0, приво-
è ø дится к однородному уравнению с помощью подстановки x = x¢ + a, y = y¢ + b, где x¢, y¢ – новые переменные; a, b – постоянные, удовлетво- ряющие системе ì a1a + b1b + c1 = 0,
Упражнения
Проинтегрировать уравнения
x 2 xy¢ - y = x2cos x . 10 x2y2y¢ + xy3= 1. x ( x - 1) y¢ + y = x2+ 2x- 1, y (2) = 4. 3
11 (x2 + 1) y¢ + 4xy = 3. dx x 4 y¢ + y = x2. 12 (1- x )( y¢ + y ) = e-x .
5 x2+ xy¢ = y , y (1) = 0. 13 e-y dx + (1 - xe-y )dy = 0. 6
x (0)= 1. 14 2xy¢ - y = 3x2. 7 y¢ cosx + y = 1 - sinx . 15 y¢ - 2xy = 2xex . 8 y¢ x + y = - xy2. 16 y¢ - 1 + 2x
y = 1 + 2x .
Упражнения
Решить ДУ высших порядков, используя методы понижения порядка
1 y¢ ¢ = x ln x . 9 2 y¢ ¢ ¢ = cos 2x . 10 1 + ( y¢ )2= 2 yy¢. yy¢ - ( y¢ )2= y3. 3 y¢ ¢ = 3x2, y (0) = 2, y¢ (0) = 1. 11 y¢ ¢ ¢ = xex , y (0) = y¢ (0) = y ¢ (0) = 0. 4 x ( y¢ ¢ + 1) + y¢ = 0. 12 xy¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - x -1 = 0. 5 x2 y¢ ¢ + xy¢ = 1. 13 x ( y¢ )2y ¢ - ( y¢ )3= x .
2 yy¢ ¢ - 3( y¢ )2 = 4 y2. 7 (1 + x2 ) y¢ ¢ + 2xy¢ = x3. 15 y¢ ¢ = y¢ + x .
x y¢ y¢ ¢ y3 = 1. Упражнения
Найти общие решения уравнений и частные решения при заданных начальных условиях (где это требуется).
1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = 0. 9 2 y¢ ¢ ¢ - 10 y ¢ + 25 y¢ = 0. 10 y ¢ - 6 y¢ + 34 y = 0. y ¢ - 2 y¢ + 2 y = 0, y (0) = 0, y¢ (0) = 1. 3 y¢ ¢ ¢ - 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = 0. 11 4 y(6)- 6 y(5)+ 13y(4)= 0. 12 5 y(8) - 6 y¢ ¢ = 0. 13 y¢ ¢ ¢ - 7 y¢ ¢ + 16 y¢ -12 y = 0. y¢ ¢ ¢ + 3y¢ ¢ = 0. y ¢ - 6 y¢ = 0. 6 y¢ ¢ - 4 y¢ + 3y = 0, 14 y ¢ + 8 y¢ + 16 y = 0. y (0) = 6, y¢ (0) = 10. 7 y¢ ¢ + 4 y = 0, 15 y ¢ - 4 y¢ + 4 y = 0, y (0) = 0, y¢ (0) = 2. y (0) = 3, y¢ (0) = -1. 8 y¢ ¢ ¢ - y¢ = 0. 16 4 y ¢ - 8 y¢ + 5 y = 0.
Упражнения Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных. 1 y¢ ¢ + y = 1. 9 sin x y¢ ¢ + 3y¢ + 2 y = 1.
2 ò cos 2x
Общее решение данного уравнения запишется в виде
y = C
cos 2x ex
x e-2 x
ex + 1 1 . 11 y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y =.
x y¢ ¢ + y =.
5 x2 y¢ ¢ + xy¢ + y = x . 13 y¢ ¢ + y =
cos x 6 xy¢ ¢ + y¢ = x2. 14 7 x2 y¢ ¢ - xy¢ = 3x3. 15 8 y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x . 16 y¢ ¢ + y = tg 2 x . y¢ ¢ + y¢ = e2 x cos ex . xy¢ ¢ + (2x -1) y¢ = -4x2.
Упражнения
Найти общие и частные решения (там, где заданы начальные условия) для следующих дифференциальных уравнений
1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = (12x - 7)e- x , y (0) = y¢ (0) = 0. 9 y ¢ - 2 y¢ + 10 y = x cos 2x . 2 y¢ ¢ - y = x2 - x + 1. 10 3 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = ex . 11 4 y¢ ¢ + y = 7 sin x . 12 5 y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = e3 x ( x - 1). 13 6 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = sin x - 7 cos x . 14 y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = ex sin x . y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ = (1 - 2x )ex . 4 y¢ ¢ - y = x3 - 24x . y ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x , y (0) = y¢ (0) = 0. y¢ ¢ + 2 y¢ = 4ex (sin x + cos x ). 7 y¢ ¢ - 9 y = e3 x . 15 4 y ¢ + 8 y¢ = x sin x . 8 y¢ ¢ - 4 y¢ - 5 y = 2x2ex , 16 y ¢ + y = 2 cos x , y (0) = 2, y¢ (0) = 3. y (0) = 1, y¢ (0) = 0.
3 Индивидуальные задания
Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого по- рядка.
1 а) (1 + y2)dx + xydy = 0, 5 а) (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0, б) x2 y¢ + y = 0, б) y¢ + y2= 1,
y
в) y¢ = y + sin y ,
г) y¢ + 2 y = e-x , г) xy¢ - y = x2cos x , д) y¢ = y + x2,
y (1) = 0. д) y¢ + y cos x = 1 sin 2x ,
y (0) = 0. 2 а) xdy - ydx = y2dx , 3x2 6 а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0, б) (1 + ex) yy¢ = ex, б) y¢ = ,
в)( x + y )dx - ( x - y )dy = 0, в) y¢ -
= x , г) xy¢ + y = ln x , д) xy¢ + 2 y = 3x , y (0) = 0. г) y¢ =- x + y ,
x2
y (2) = 4. 3 а) б) 4xdx - 3ydy = 3x2ydy - 2xy2dx , x2+ xy¢ = y , 7 а)
б)
y¢ = 35 x+2 y , в) y¢ sin2x = y ln y , г) ( y - x )dx + ( x + y )dy = 0, в)( x - y ) ydx + x2dy= 0,
д) y¢ - 2xy
= 1 + x2, y (1) = 3.
д) y¢ + 3 y =
y (1) = 1.
8 а)
б) x x x ( y2-1)dx + y (x2- 1)dy = 0, yy¢ = 2 y - x , б) y¢ = y (1 + x2 )
y = x2,
в) y¢ =
x2+ xy - y2
x2- 2xy
г) x 2x 1 + y2
+ yy¢
= 0, г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2, д) ( y2- 3x2 )dy + 2xydx = 0, y (0)= 1. д) y¢ + y ctg x = 2x sin x , y æ p ö = 0.
9 а) x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0, 14 а)
y = ( x + 1)3, 1 + x 1 + y x + 1 б) 4 - x2y¢ + xy2+ x = 0,
в) y¢ = x + y ,
в) y¢ = y + 1,
г) (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y + 4 y3)dy = 0, г) y¢ - y cos x = cos x ,
д) y¢ +
y (0) = 2.
д) y¢ + 2xy = -2x3, y (1) = 1.
10 а) 3(x2 y + y )dy +
15 а) (ex+ 8)dy - yexdx = 0,
б) y¢ tg x - y = 1,
y ö =,
y + 4 y + 2, x2 x в) xy y ç 1 ln ÷ 0 è ø
г) y¢ + 1 - 2xy = 1,
y (1) = 1. д) y ctg xdx = dy , y p = 1. 11 а) б) x2 6xdx - 6 ydy = 2x2ydy - 3xy2dx , xy¢ - y = y3,
16 а)
= 1, ( 2 )
в)( x - y ) dx+ xdy = 0, б) x + 2xyy¢ = 1,
в) y¢ + 2xy = 2x , г) 4x - 3y+ y¢ (2y - 3x) = 0,
д) y¢ + y = sin x ,
y (p ) = 1. д) xy¢ + 3y = x2, y (1) = 2. 12 а) x sin xdx + cos2 ydy = 0,
17 а) 5 + y2dx + 4 (x2y + y )dy = 0,
б) y¢ - y = e x , б) (1 + ex ) y¢ = ex y ,
г) ( xy¢ - y )arctg y x = x ,
д) y¢ = y + sin y ,
y (1) = p.
д) y¢ sin x - y cos x = 0, y (p 2 ) = 1. 13 а) 2xdx - ydy = x2ydy - xy2dx , 18 а) x 3 + y2 dx + y 2 + x2 dy = 0,
в) (x2- y2) y¢ = 2xy , г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2, б) x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0, в) y¢ + y = e-x , г) (x2+ y2)dx + xydy = 0, д) y¢ = 2
y (e) = 1. д) y¢ + y
= 3x , y (1) = 1.
19 а) (1 + x2)dy - 2 ( y + 1)xdx = 0, 24 а)(2x + 2xy2)dx +
б) y¢ = ( y - 1)ctg x ,
1 - x2
x 1 - y2
в) xy¢ + xe x - y = 0, x2 г) xy¢ + y - x - 1 = 0,
д) y¢ = y + sin y , y (1) = p.
д) y 12
y¢ - =-,
y (1) = 4. 20 а) xy (1 + x2) y¢ = 1 + y2, 25 а) (e2x + 5)dy + ye2x dx = 0, б) xdx + ydy = 0, б) xdx - ydy = 0, 1 + y
1 + x y (1+ lnx - ln y ), 1 + y в) 1 + x
x y¢ - e x = y ,
г) y¢ cos x + y sin x = 1, д) (y + x2
д) y¢ - y = -
ln x ,
y (1) = 1. 21 а) (1 + y2)dx = xdy , 26 а) 2 ydx = dy ,
б) y¢ + x2 y = x2, в) y¢ = y - tg y ,
в) x3y¢ = y (x2+ y2), г) xy¢ + 3y = x2, г) y¢ + y cos x = sin x cos x , x y
д) y¢ = -, y (-1) = 0.
y (-1) = 1. y x x2 x 22 а) (1 - x2) y¢ - xy = xy2, 27 а) dy + (xy - xy3)dx = 0, б) x (1 + y¢ )2 = 1, б) ( y¢ )2 = x ( y¢ )2 - y , в) y¢ sin x - y = 1 - cos x , в) 2xy¢ - 6 y + x2= 0, г) ( x + y ) ydx - x2dy= 0, г) xdy - ydx = x2+ y2dx ,
23 а) e y ( y¢ + 1) = 1, y¢ tg x - y = a , y (0) = 0. д) 28 а) y¢ - 2 y = -x2,
y (0) = 0, 25.
y б) y 1 - x2dy +
1 - y2dx = 0,
xy + x )dy + ydx = 0, в) y¢ = + x ,
г) x ( x -1) y¢ - y = ( x -1)2, г) ( x + 2 y )dx- (2x+ y )dy = 0, д) y¢ ctg x + y = 2, y (0) = 2. д) y¢ = y + 1,
y (1) = 0. 29 а) y¢ - (2y + 1)ctg x = 0, 30 а) (1 + x2) y¢ - 2x = xy2, б) 2x2ydy = (1 + x2)dx , в) y¢ cos x - y sin x = sin 2x , б) ydy - (x - xy2 )dx = 0, в) xdy - ydx = ydy ,
+ xy + y2, г) y¢ + ay = elnx , д) (1 + ex) yy¢ = ex, y (0) = 1. д) (x2- 3y2)dy + xydx = 0, y (0) = 1. Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:
1 а) б)
в) г) д)
y¢ ¢ ¢ = 7 cos 5x + 2x2, 2xy¢ = (1 + x2) y ¢ , y¢ ¢ + y = tg2 x , y¢ ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x , y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = xex ,
4 а)
б) в) г) д)
y¢ ¢ ¢ = e- x + 2x , 2 yy ¢ = 1 + ( y¢ )2, y ¢ + y¢ = tg x , y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = 6e2 x , y ¢ + 4 y = 5sin 2x , y (0) = 1, y¢ (0) = 2. y (0) = 1, y¢ (0) = 1.
2 а) y¢ ¢ ¢ = 10e-2 x + 3x , 5 а) y IV = 10sin 2x - x , б) ( x - 3) y¢ ¢ + y¢ = 0, б) xy ¢ + 2 y¢ = 0, в) y¢ ¢ - y¢ = (1 + ex )-1, в) y¢ ¢ - 2 y = 2 (x2 -1)
x3, г) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 8ex , г) y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = e sin x , д) y¢ ¢ + y = 5sin 2x , д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 3y¢ - y = ( x - 5)ex , y (0) = 2, y¢ (0) = -1. y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 1.
3 а) y IV = cos 3x + 5x , 6 а) y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 5x + 1, б) (1 + x2) y ¢ - 2xy¢ = 0, б) xy ¢ + y¢ = x + 1,
в) y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x , г) y¢ ¢ + y = 5sin x ,
в) y¢ ¢ + 4 y =
IV 1,
д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 4 y = ( x + 2)e3x , г) y 81y = 2 cos 3x ,
y (0) = -1,
y¢ (0) = 0. д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ - y¢ + 3y = (4 - 8x )ex , y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 2.
7 а)
y IV
= 2 sin 3x - x , 11 а) y ¢ = x sin x , б) x4 y¢ ¢ + x3 y¢ = 4, б) (1 + sin x ) y¢ ¢ ¢ = y ¢ cos x , в) y¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - 6 y¢ = (20x + 3)e2 x , ex г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,
в) y¢ ¢ + 4 y = 1,
x
y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5e , д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x2, д) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2, y (0) = 5, y¢ (0) = 0. y (0) = y¢ (0) = 3.
8 а) б) в)
г)
д) y¢ ¢ ¢ = 5x2 - 6x + 2, xy¢ ¢ - y¢ = x2, y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = e-3x cos8x , e2 x
cos x y¢ ¢ - 2 y¢ + 5 y = xe2 x , 12 а) б) в)
г)
д) y ¢ = x cos x , y¢ ¢ ¢ tg 5x = 5 y¢ ¢ , y¢ ¢ ¢ - 4 y¢ ¢ + 3y¢ = -4xex , y¢ ¢ + y = 1 , cos3 x y ¢ + 5 y¢ + 6 y = 12 cos 2x , y (0) = y¢ (0) = 5. y (0) = -1, y¢ (0) = 10. 9 а) xy¢ ¢ ¢ = 2, 13 а) y IV = -2x + cos 3x , б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex , б) yy¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,
в) y¢ ¢ + y = |
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 551; Нарушение авторского права страницы