Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью



 

 

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициен- тами, т. е. уравнение вида

(n) (n-1) (n-2) ( )


y + a1y


+ a2y


+... + any = f x


, (2.13)


 

где


 

a1, a2,..., an


 

– действительные числа,


 

f ( x ) ¹ 0.


Общее решение


yобщ.неодн.


линейного неоднородного уравнения (2.13)


равно сумме общего решения


yобщ.одн.


соответствующего однородного


уравнения и какого-либо частного решения


yчаст.неодн. уравнения (2.13):


 

yобщ.неодн. = yобщ.одн. + yчаст.неодн.. (2.14)

 


Частное решение


yчаст.неодн.


можно найти методом неопределенных ко-


эффициентов для некоторых специальных видов функции


f ( x )


(избегая


интегрирования функции, а пользуясь лишь операциями алгебры и диффе- ренцирования).

Если


f ( x ) = Pn


( x )ea x , (2.15)


 


 

где


Pn ( x )


 

– многочлен n -й степени, то


yчаст.неодн. = x Qn ( x )e


 

, где


r a x


Qn( x )


– полный многочлен n -й степени, но с неопределенными коэффи-


циентами


A0, A1,..., An ; r – кратность корня a соответствующего характе-


ристического уравнения.

Если


n1
f ( x ) = eax (P


( x )cos b x + Qn


( x )sinb x ), (2.16)


 


 

где


Pn ( x ),


Qn ( x )


 

– многочлены степеней n1


 

и n2, то


1 2


yчаст.неодн. = e


(Pm ( x )cos b x + Qm( x )sin b x ) x


, где


Pm ( x ),


Qm( x )


– полные


a x r

 

многочлены степени с неопределенными коэффициентами


m = max(n1, n2);


r – кратность корня


a ± b i


характеристического уравнения.


Частный случай: если


f ( x ) = eax ( Acosb x + B sinb x ), то


r
yчаст.неодн. = x


(Ccosb x + D sinb x )eax .


Если


f ( x )


есть сумма указанных в (2.15) и (2.16) функций, то


yчаст.


есть сумма соответствующих функций в первом и втором случаях.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочленов надо

a x


выражение


yчаст.неодн.


подставить в данное ДУ и после сокращения на e


приравнять коэффициенты при одинаковых степенях аргумента. Из полу-


 

ченной при этом системы уравнений определяются неопределенные коэф- фициенты.

 


Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение


y¢ ¢ + 4 y = ex .


Решим однородное уравнение


y ¢ + 4 y = 0:


 


k 2 + 4 = 0,


k = 2i ,


k = -2i , y


= С cos 2x + С


sin 2x .


1 2 общ.одн. 1 2


Функции ex


в правой части уравнения соответствуют


a = 1,


b = 0;


a = 1 не является корнем характеристического уравнения (кратность


r = 0,


коэффициент при ex


равен 1 (многочлен нулевой степени)). Следователь-


но, частное решение ищем в виде


yчаст.неодн.


= Ax0ex = Aex .


Находим коэффициент A , подставляя


yчаст.неодн.


в данное неоднород-


x x x x x x


ное уравнение:

A = 1.


¢ аст.неодн. = Ae ,


¢ ¢ аст.неодн. = Ae ,


Ae + 4 Ae


= e ,


e ¹ 0,


 

Итак,


 

yобщ.неодн. = С1cos 2x + С2 sin 2x +


1 ex . 5


 

Пример 9. Указать вид частного решения ДУ

y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = (3x + 2)ex .

Решение


Решим характеристическое уравнение


k 2 - 5k + 4 = 0,


k1= 1,


k2= 4.


Функции ex


соответствует


a = 1,


b = 0;


a = 1


является корнем характери-


стического уравнения кратности


r = 1; множитель при


exравен(3x+ 5) –


x
многочлен первой степени. Следовательно, получаем ответ: частное реше-


ние имеет вид:


yчаст.неодн. = x ( Ax+ B)e.


 


Пример 10. Найти общее решение уравнения

Решение


y ¢ - 2 y¢ - 8 y = 85cos x .


4 x
Решим однородное уравнение


y ¢ - 2 y¢ - 8 y = 0:


k 2 - 2k - 8 = 0,


k1= -2,


k2= 4,


yобщ.одн. = С1e


-2 x


+ С2e .


Функции cos x соответствует


a = 0, b


= 1. Число ±i


не является кор-


нем характеристического уравнения. Следовательно,


yчаст.неодн. = Acos x + B sin x , тогда


¢ аст.неодн. = - Asin x + B cos x ,


¢ ¢ аст.неодн. = - Acos x - B sin x . Подставляя y , y¢ , y ¢ в данное уравнение, по-

лучим следующее:


 

- Acos x - B sin x + 2 Asin x - 2B cos x - 8Acos x - 8B sin x = 85cos x , cosx (-A - 2B- 8A) + sinx (-B+ 2 A - 8B) = 85cosx ,


î
cos x - A - 2B - 8A = 85,


ì -9 A - 2B = 85,


 

sin x


 

-B + 2 A - 8B = 0.


í 2 A - 9B = 0.


 


Откуда


A = -9,


B = -2. Тогда


yчаст.неодн. = -9 cos x - 2 sin x .


 

Пример 11. Указать вид частного решения уравнения

 

y¢ ¢ + 2 y¢ + 2 y = e- x (cos x + x ).


Решение

Решим характеристическое уравнение


 

 

k 2 + 2k + 2 = 0:

x


 

 

k1= -1 + i ,


k2= 1 - i . Для первого слагаемого правой части уравнения e


cos x


имеем:


a = -1,


b = 1. Число


a ± b i = -1 ± i


является корнем характеристического


уравнения кратности


r = 1. Для второго слагаемого


xe- x


имеем:


a = -1,


b = 0. Число


a = -1


не является корнем характеристического уравнения.


Следовательно, получаем ответ:

x
yчаст.неодн. = x ( Acosx + B sinx )e


 

 

+ (Cx+ D)e-x .


 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные решения (там, где заданы начальные условия) для следующих дифференциальных уравнений

 


1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = (12x - 7)e- x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.


9 y ¢ - 2 y¢ + 10 y = x cos 2x .


2 y¢ ¢ - y = x2 - x + 1. 10

3 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = ex . 11

4 y¢ ¢ + y = 7 sin x . 12

5 y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = e3 x ( x - 1). 13

6 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = sin x - 7 cos x . 14


y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = ex sin x .

y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ = (1 - 2x )ex .

4 y¢ ¢ - y = x3 - 24x .

y ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.

y¢ ¢ + 2 y¢ = 4ex (sin x + cos x ).


7 y¢ ¢ - 9 y = e3 x . 15 4 y ¢ + 8 y¢ = x sin x .


8 y¢ ¢ - 4 y¢ - 5 y = 2x2ex ,


16 y ¢ + y = 2 cos x ,


y (0) = 2,


y¢ (0) = 3.


y (0) = 1,


y¢ (0) = 0.


 

3 Индивидуальные задания

 

 

Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого по- рядка.

 


1 а) (1 + y2)dx + xydy = 0,


5 а) (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0,


б) x2 y¢ + y = 0,


б) y¢ + y2= 1,


в) xy¢ = y ln x ,

y


 

в) y¢ =


y + sin y ,

x x


г) y¢ + 2 y = e-x ,


г) xy¢ - y = x2cos x ,


д) y¢ =


y + x2,

x


y (1) = 0.


д) y¢ + y cos x = 1 sin 2x ,

2


y (0) = 0.


2 а)


xdy - ydx = y2dx , 3x2


6 а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0,

б) (1 + ex) yy¢ = ex,


б) y¢ =


,

x3y + y y


в)( x + y )dx - ( x - y )dy = 0,


в) y¢ -

x


= x ,


г) xy¢ + y = ln x ,

д) xy¢ + 2 y = 3x ,


y (0) = 0.


г) y¢ =- x + y ,

x

д) y¢ - 2x - 5 y = 5,

x2


 

 

y (2) = 4.


3 а)

б)


4xdx - 3ydy = 3x2ydy - 2xy2dx ,

x2+ xy¢ = y ,


7 а)

 

б)


 

4 + y2dx - ydy = x2ydy ,

y¢ = 35 x+2 y ,


в) y¢ sin2x = y ln y ,

г) ( y - x )dx + ( x + y )dy = 0,


в)( x - y ) ydx + x2dy= 0,

г) y¢ + 2xy = xe-x ,


 

д) y¢ -


2xy

1 + x2


 

= 1 + x2,


y (1) = 3.


 

д) y¢ + 3 y =


 

,
2


 

y (1) = 1.


 

,
4 а) (x2-1)dy + 2xy2dx = 0, 1 + y2


 

8 а)

 

б)


x x

x ( y2-1)dx + y (x2- 1)dy = 0,

yy¢ = 2 y - x ,


б) y¢ =


y (1 + x2 )


 

в) y¢ +


y = x2,


 

в) y¢ =


 

x2+ xy - y2

,

x2- 2xy


 

 

г) x


2x

1 + y2


 

 

+ yy¢


 

 

1 + x2


 

 

= 0,


г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,

д) ( y2- 3x2 )dy + 2xydx = 0, y (0)= 1.


д) y¢ + y ctg x = 2x sin x , y æ p ö = 0.

ç ÷
è ø


 


9 а)


x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,


14 а)


 

2 2
dx + dy = 0,


б) y¢ - 2


y = ( x + 1)3,


1 + x


1 + y


x + 1


б) 4 - x2y¢ + xy2+ x = 0,


 

в) y¢ =


x + y ,

x - y


 

в) y¢ =


y + 1,

x


г) (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y + 4 y3)dy = 0,


г) y¢ - y cos x = cos x ,


 

д) y¢ +


 

xy = x , 2 (1 - x2 ) 2


y (0) = 2.

3


 

д) y¢ + 2xy = -2x3,


y (1) = 1.

e


 

10 а)


3(x2 y + y )dy +


 

2 + y2dx = 0,


15 а) (ex+ 8)dy - yexdx = 0,


б) y (1+ lny ) = -xy¢,


б) y¢ tg x - y = 1,


¢
2 - æ +


y ö =,


 

в) y¢ =


y + 4 y + 2,

x2 x


в) xy y ç 1 ln ÷ 0

è ø


x
г) xy¢ + (1 + x2 ) y = x2,


г) y¢ + 1 - 2xy = 1,

x2


д) y¢ + 1 - 2xy = 1,


y (1) = 1.


д) y ctg xdx = dy ,


y p = 1.


11 а)

б)


x2

6xdx - 6 ydy = 2x2ydy - 3xy2dx ,

xy¢ - y = y3,


 

16 а)


 

x (1 + y¢ )2


 

 

= 1,


( 2 )


 

в)( x - y ) dx+ xdy = 0,


б) x


+ 2xyy¢ = 1,


 

г) y¢ + 2xy = e- x ,


в) y¢ + 2xy = 2x ,

г) 4x - 3y+ y¢ (2y - 3x) = 0,


 

д) y¢ +


y = sin x ,

x


y (p ) = 1.

p


д) xy¢ + 3y = x2,


y (1) = 2.


12 а)


x sin xdx + cos2 ydy = 0,

y


17 а)


5 + y2dx + 4 (x2y + y )dy = 0,


 

б) y¢ -


y = e x ,


б) (1 + ex ) y¢ = ex y ,


x

в) 1 + x2y¢ + xy2+ x = 0,


 

в) xy¢ - 2 y = x + 1,


 

г) y¢ + y = exsin x ,


г) ( xy¢ - y )arctg y x


= x ,


 

д) y¢ =


y + sin y ,

x x


y (1) = p.

2


д) y¢ sin x - y cos x = 0,


y (p 2 ) = 1.


13 а)


2xdx - ydy = x2ydy - xy2dx ,


18 а) x


3 + y2 dx + y


2 + x2 dy = 0,


б) xy¢ + y - 3 = 0,

в) (x2- y2) y¢ = 2xy ,

г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,


б) x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,

в) y¢ + y = e-x ,

г) (x2+ y2)dx + xydy = 0,


д) y¢ = 2


 

y ln x ,


y (e) = 1.


д) y¢ + y

x


 

= 3x ,


y (1) = 1.


 


19 а) (1 + x2)dy - 2 ( y + 1)xdx = 0,


24 а)(2x + 2xy2)dx +


 

2 - x2dy = 0,


б) y¢ = ( y - 1)ctg x ,


 

1 - x2

б) yy¢ = -1,


в) xy¢ = y ln y ,

x


1 - y2

 

y


г) y¢ = -1 + 2x y + 1,


в) xy¢ + xe x


- y = 0,


x2 г)


xy¢ + y - x - 1 = 0,


 

д) y¢ =


y + sin y ,


y (1) = p.


 

д) y 12


x x 2


y¢ - =-,

x x3


y (1) = 4.


20 а)


xy (1 + x2) y¢ = 1 + y2,


25 а) (e2x + 5)dy + ye2x dx = 0,


б) xdx + ydy


= 0,


б) xdx - ydy


= 0,


1 + y

в) y¢ =


1 + x

y (1+ lnx - ln y ),


1 + y

в)


1 + x

y


x y¢ - e x


= y ,

x


г) y¢ - y 2x - 1 = 1,


г) y¢ cos x + y sin x = 1,


д) (y +


x2

x2+ y2)dx- xdy = 0, y (1) = 0.


д) y¢ - y = -

x


ln x ,

x


y (1) = 1.


21 а) (1 + y2)dx = xdy ,


26 а) 2 ydx = dy ,


б) y¢ sin x = y ln y ,


б) y¢ + x2 y = x2,


в) y¢ =


y - tg y ,

x x


в) x3y¢ = y (x2+ y2),

г) xy¢ + 3y = x2,


г) y¢ + y cos x = sin x cos x , x y


y2 y


д) y¢ = -,


y (-1) = 0.


д) y¢ = -,


y (-1) = 1. y x


x2 x


22 а) (1 - x2) y¢ - xy = xy2,


27 а)


dy + (xy - xy3)dx = 0,


б) x (1 + y¢ )2 = 1,


б) ( y¢ )2 = x ( y¢ )2 - y ,


в) y¢ sin x - y = 1 - cos x ,


в) 2xy¢ - 6 y + x2= 0,


г) ( x + y ) ydx - x2dy= 0,


г) xdy - ydx =


x2+ y2dx ,


д)

23 а)


e y ( y¢ + 1) = 1,

y¢ tg x - y = a ,


y (0) = 0.


д)

28 а)


y¢ - 2 y = -x2,

xy¢ + y = y2,


y (0) = 0, 25.


б) yy¢ = 1 - 2x ,

y


б) y


1 - x2dy +

3y


1 - y2dx = 0,


в) (


xy + x )dy + ydx = 0,


в) y¢ =


+ x ,

x


г) x ( x -1) y¢ - y = ( x -1)2,


г) ( x + 2 y )dx- (2x+ y )dy = 0,


д) y¢ ctg x + y = 2,


y (0) = 2.


д) y¢ =


y + 1,

x


y (1) = 0.


29 а)


y¢ - (2y + 1)ctg x = 0,


30 а) (1 + x2) y¢ - 2x = xy2,


б) 2x2ydy = (1 + x2)dx ,

в) y¢ cos x - y sin x = sin 2x ,


б) ydy - (x - xy2 )dx = 0,

в) xdy - ydx = ydy ,


г) (x2+ y2) y¢ = x x2- y2


+ xy + y2,


г) y¢ + ay = elnx ,


д) (1 + ex) yy¢ = ex,


y (0) = 1.


д) (x2- 3y2)dy + xydx = 0,

y (0) = 1.


Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:


 

 

1 а)

б)

 

в)

г)

д)


 

 

y¢ ¢ ¢ = 7 cos 5x + 2x2,

2xy¢ = (1 + x2) y ¢ ,

y¢ ¢ + y = tg2 x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = xex ,


 

 

4 а)

 

б)

в)

г)

д)


 

 

y¢ ¢ ¢ = e- x + 2x ,

2 yy ¢ = 1 + ( y¢ )2,

y ¢ + y¢ = tg x ,

y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = 6e2 x ,

y ¢ + 4 y = 5sin 2x ,


y (0) = 1,


y¢ (0) = 2.


y (0) = 1,


y¢ (0) = 1.


 


2 а)


y¢ ¢ ¢ = 10e-2 x + 3x ,


5 а)


y IV


= 10sin 2x - x ,


б) ( x - 3) y¢ ¢ + y¢ = 0,


б) xy ¢ + 2 y¢ = 0,


в) y¢ ¢ - y¢ = (1 + ex )-1,


в) y¢ ¢ - 2 y = 2 (x2 -1)

x


x3,


г) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 8ex ,


г) y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = e


sin x ,


д) y¢ ¢ + y = 5sin 2x ,


д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 3y¢ - y = ( x - 5)ex ,


y (0) = 2,


y¢ (0) = -1.


y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 1.


 


3 а)


y IV


= cos 3x + 5x ,


6 а)


y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 5x + 1,


б) (1 + x2) y ¢ - 2xy¢ = 0,


б) xy ¢ + y¢ = x + 1,


 

в) y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x ,

г) y¢ ¢ + y = 5sin x ,


 

в) y¢ ¢ + 4 y =

 

IV


1,

sin 2x


д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 4 y = ( x + 2)e3x ,


г) y


– 81y = 2 cos 3x ,


 

y (0) = -1,


 

y¢ (0) = 0.


д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ - y¢ + 3y = (4 - 8x )ex ,

y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 2.


 


7 а)


 

y IV


 

= 2 sin 3x - x ,


11 а)


y ¢ = x sin x ,


б) x4 y¢ ¢ + x3 y¢ = 4,


б) (1 + sin x ) y¢ ¢ ¢ = y ¢ cos x ,


в) y¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - 6 y¢ = (20x + 3)e2 x ,

ex

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,


 

в) y¢ ¢ + 4 y =


1,

cos 2x

x


x2 г)


y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5e ,


д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x2,


д) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2,


y (0) = 5,


y¢ (0) = 0.


y (0) = y¢ (0) = 3.


 


8 а)

б)

в)

 

г)

 

д)


y¢ ¢ ¢ = 5x2 - 6x + 2,

xy¢ ¢ - y¢ = x2,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = e-3x cos8x ,

e2 x

y¢ ¢ - 4 y¢ + 5 y =,

cos x

y¢ ¢ - 2 y¢ + 5 y = xe2 x ,


12 а)

б)

в)

 

г)

 

д)


y ¢ = x cos x ,

y¢ ¢ ¢ tg 5x = 5 y¢ ¢ ,

y¢ ¢ ¢ - 4 y¢ ¢ + 3y¢ = -4xex ,

y¢ ¢ + y = 1 ,

cos3 x

y ¢ + 5 y¢ + 6 y = 12 cos 2x ,


y (0) = y¢ (0) = 5.


y (0) = -1,


y¢ (0) = 10.


9 а)


xy¢ ¢ ¢ = 2,


13 а)


y IV


= -2x + cos 3x ,


б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex ,


б) yy¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,


 

в) y¢ ¢ + y =


1,

cos x


в) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = ( x -1) e3x ,


г) y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = x ,

д) y¢ ¢ + 9 y = 6e3x ,


 

г) y¢ ¢ + y =


1,

sin x


д) y ¢ + 4 y = 2 cos 2x ,


y (0) = y¢ (0) = 5.


y (0) = 1,


y¢ (0) = -1.


10 а)


y¢ ¢ ¢ = e2 x - 3x ,


14 а)


y IV


= cos 2x + sin x ,


б) (1 - x2 ) y ¢ - xy¢ = 2,


б) (1 + x2) y ¢ + 2xy¢ = 0,


в) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2,

г) y¢ ¢ + y = 1 ,


в) y ¢ + 4 y = 4 ctg 2x ,

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y = 16ex ,


cos x

д) y¢ ¢ + 9 y = 5sin 3x ,

y (0) = y¢ (0) = 4.


д) y ¢ + 9 y = 15sin 2x ,

y (0) = y¢ (0) = 1.


 


15 а)


y¢ ¢ ¢ = 6sin 6x ,


19 а)


 

y IV


 

= x2- 2x + 5,


б) y¢ ¢ sin x = (1+ y¢ )cos x ,

ex


б) ( x - 3) y ¢ + y¢ = 0,

e- x


в) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,

x

г) y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - 4 y¢ + 4 y = x2 + 3,

д) y¢ ¢ + y = 2 sin x ,


в) y¢ ¢ + 2 y¢ + y =,

x

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y = xex ,

д) y ¢ + 9 y = 5cos 3x ,


y (0) = 0,


y¢ (0) = 2.


y (0) = 0,


y¢ (0) = -1.


 


16 а)


y¢ ¢ ¢ = (3 - 2x )2,


20 а)


y IV


= e3x - x ,


б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex ,

в) y¢ ¢ - 4 y¢ + 13y = e2 x cos 3x ,


б) (1 + x2 ) y¢ ¢ + 2xy¢ = x3,

e2 x


 

г) y¢ ¢ + y = ctg x ,


в) y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y =,

x2


д) y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5ex ,

y (0) = y¢ (0) = y ¢ (0) = 1.


г) y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = 3e2 x ,

д) y ¢ + y = 10sin x ,


 

17 а)


 

y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 2x + 1,


y (0) = 0,

 

21 1


y¢ (0) = 7.


а) y¢ ¢ =,


б) 1 + x2 y¢ ¢ - 1 = 0,


sin x


в) y¢ ¢ + 4 y = 1,


б) x3 y¢ ¢ + x2 y¢ -1 = 0,

x


sin2 x

г) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ - y = ( x + 2)ex ,


 

в) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =


e ,

x2 + 1


д) y¢ ¢ -12 y¢ + 36 y = 5sin x ,


г) y ¢ - 7 y¢ + 6 y = sin x ,


y (0) = 1,


y¢ (0) = 1.


д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x


+ 3,


 

 

18 а)

 

б)


 

 

y¢ ¢ = arcsin x ,

xy¢ ¢ - y¢ - x sin y = 0,


 

 

22 а)


y (0) = 0,

y¢ ¢ = x -1 ,

x


y¢ (0) = -2.


x

в) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = 5x2 - 2x + 1,


б) y¢ ¢ + 2x ( y¢ )2 = 0,

в) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2ex cos x ,


 

г) y¢ ¢ + 4 y¢ =


1, 2

sin2 x 1


д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2 sin x ,


г) y¢ ¢ + y¢ =, 1 + ex


y (0) = 3,


y¢ (0) = 4.


д) y ¢ - 2 y¢ + 2 y = 2x ,


y (0) = -3,


y¢ (0) = -1.


 


23 а)

 

б)

 

в)


y¢ ¢ ¢ = x ,

ex

xy¢ ¢ - y¢ = x2e3x ,

y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = ln x ,


27 а)

б)

 

в)


y ¢ = x cos 2x ,

y ¢ - 2 yy¢ = 0,

 

y¢ ¢ - 2 y¢ + y =


 

 

ex

,

4 - x2


e2 x


г) 2 y ¢ + 5y¢ = 29 cos x ,


г) y¢ ¢ + 4 y¢ - 5 y = 1,


д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2x2 + 1,


д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 3e2 x ,


y (0) = 5,


y¢ (0) = 0.


 

 

24 а)


y (0) = 0,

y¢ ¢ = x ln x ,


y¢ (0) = 11.


 

 

28 а)


 

 

y ¢ = x cos x ,


б) x2 y¢ ¢ = ( y¢ )2,

 

в) y¢ ¢ + 3y¢ + 2 y =


 

1,

ex + 1


б) yy ¢ = ( y¢ )2,

в) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = ex


 

 

(3- 4x),


 

г) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = ex ,


ex

г) y¢ ¢ - 4 y¢ + 5 y =,

cos x


д) y¢ ¢ + 2 y¢ + 5 y = - 17 cos 2x ,


д) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = cos2 x ,


 

y (0) = 1,


y¢ (0) = 0.


y (0) = 1,


y¢ (0) = 0.


 

 


25 а)


y¢ ¢ ¢ = 5x + e-2 x ,


29 а)


y ¢ = ln x ,


б) 1 + ( y¢ )2 = 2 yy ¢ ,


б) y ¢ tg x = y¢ + 1,


 

 

e3x


в) y¢ ¢ - 4 y¢ + 4 y = 2 sin 2x ,

ex


в) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y =,

x x


г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =


,

4 - x2


г) y¢ ¢ + y¢ - 2 y = 6x2,


 

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 10 y = x2 + x -1,


д) y ¢ - 5 y¢ + 6 y = 13sin 3x ,


 

y (0) = 2,


 

y¢ (0) = 0.


y (0) = 1,


y¢ (0) = 1.


 


26 а)


y¢ ¢ ¢ = sin 2x ,


30 а)


y¢ ¢ = sin2 x ,


 

б) y¢ ¢ =


y¢ + x ,

x


б) (1 + x2 ) y¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,

2ex


 

в) y¢ ¢ + y =


1,

cos3 x


в) y¢ ¢ - y¢ =,

ex -1


г) 4 y¢ ¢ - y = x3 + 1,

 

д) 4 y¢ ¢ + 16 y¢ + 15 y =


 

 

4,

e3x


г) y¢ ¢ - y = 1,

e

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 10 y = 10x2 + 18x + 6,


 

y (0) = 0,


 

y¢ (0) = 5, 5.


y (0) = 1,


y¢ (0) = 3, 2.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 894; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.713 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь