Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

 

 

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициен- тами, т. е. уравнение вида

(n) (n-1) (n-2) ( )

y + a1y

+ a2y

+... + any = f x

, (2.13)

 

где

 

a1, a2,..., an

 

– действительные числа,

 

f ( x ) ¹ 0.

Общее решение

yобщ.неодн.

линейного неоднородного уравнения (2.13)

равно сумме общего решения

yобщ.одн.

соответствующего однородного

уравнения и какого-либо частного решения

yчаст.неодн. уравнения (2.13):

 

yобщ.неодн. = yобщ.одн. + yчаст.неодн.. (2.14)

 

Частное решение

yчаст.неодн.

можно найти методом неопределенных ко-

эффициентов для некоторых специальных видов функции

f ( x )

(избегая

интегрирования функции, а пользуясь лишь операциями алгебры и диффе- ренцирования).

Если

f ( x ) = Pn

( x )ea x , (2.15)

 

 

где

Pn ( x )

 

– многочлен n -й степени, то

yчаст.неодн. = x Qn ( x )e

 

, где

r a x

Qn( x )

– полный многочлен n -й степени, но с неопределенными коэффи-

циентами

A0, A1,..., An ; r – кратность корня a соответствующего характе-

ристического уравнения.

Если

n1

f ( x ) = eax (P

( x )cos b x + Qn

( x )sinb x ), (2.16)

 

 

где

Pn ( x ),

Qn ( x )

 

– многочлены степеней n1

 

и n2, то

1 2

yчаст.неодн. = e

(Pm ( x )cos b x + Qm( x )sin b x ) x

, где

Pm ( x ),

Qm( x )

– полные

a x r

 

многочлены степени с неопределенными коэффициентами

m = max(n1, n2);

r – кратность корня

a ± b i

характеристического уравнения.

Частный случай: если

f ( x ) = eax ( Acosb x + B sinb x ), то

r

yчаст.неодн. = x

(Ccosb x + D sinb x )eax .

Если

f ( x )

есть сумма указанных в (2.15) и (2.16) функций, то

yчаст.

есть сумма соответствующих функций в первом и втором случаях.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочленов надо

a x

выражение

yчаст.неодн.

подставить в данное ДУ и после сокращения на e

приравнять коэффициенты при одинаковых степенях аргумента. Из полу-

 

ченной при этом системы уравнений определяются неопределенные коэф- фициенты.

 

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение

y¢ ¢ + 4 y = ex .

Решим однородное уравнение

y ¢ + 4 y = 0:

 

k 2 + 4 = 0,

k = 2i ,

k = -2i , y

= С cos 2x + С

sin 2x .

1 2 общ.одн. 1 2

Функции ex

в правой части уравнения соответствуют

a = 1,

b = 0;

a = 1 не является корнем характеристического уравнения (кратность

r = 0,

коэффициент при ex

равен 1 (многочлен нулевой степени)). Следователь-

но, частное решение ищем в виде

yчаст.неодн.

= Ax0ex = Aex .

Находим коэффициент A , подставляя

yчаст.неодн.

в данное неоднород-

x x x x x x

ное уравнение:

A = 1.

yч¢ аст.неодн. = Ae ,

yч¢ ¢ аст.неодн. = Ae ,

Ae + 4 Ae

= e ,

e ¹ 0,

 

Итак,

 

yобщ.неодн. = С1cos 2x + С2 sin 2x +

1 ex . 5

 

Пример 9. Указать вид частного решения ДУ

y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = (3x + 2)ex .

Решение

Решим характеристическое уравнение

k 2 - 5k + 4 = 0,

k1= 1,

k2= 4.

Функции ex

соответствует

a = 1,

b = 0;

a = 1

является корнем характери-

стического уравнения кратности

r = 1; множитель при

exравен(3x+ 5) –

x

многочлен первой степени. Следовательно, получаем ответ: частное реше-

ние имеет вид:

yчаст.неодн. = x ( Ax+ B)e.

 

Пример 10. Найти общее решение уравнения

Решение

y ¢ - 2 y¢ - 8 y = 85cos x .

4 x

Решим однородное уравнение

y ¢ - 2 y¢ - 8 y = 0:

k 2 - 2k - 8 = 0,

k1= -2,

k2= 4,

yобщ.одн. = С1e

-2 x

+ С2e .

Функции cos x соответствует

a = 0, b

= 1. Число ±i

не является кор-

нем характеристического уравнения. Следовательно,

yчаст.неодн. = Acos x + B sin x , тогда

yч¢ аст.неодн. = - Asin x + B cos x ,

yч¢ ¢ аст.неодн. = - Acos x - B sin x . Подставляя y , y¢ , y ¢ в данное уравнение, по-

лучим следующее:

 

- Acos x - B sin x + 2 Asin x - 2B cos x - 8Acos x - 8B sin x = 85cos x , cosx (-A - 2B- 8A) + sinx (-B+ 2 A - 8B) = 85cosx ,

î

cos x - A - 2B - 8A = 85,

ì -9 A - 2B = 85,

 

sin x

 

-B + 2 A - 8B = 0.

í 2 A - 9B = 0.

 

Откуда

A = -9,

B = -2. Тогда

yчаст.неодн. = -9 cos x - 2 sin x .

 

Пример 11. Указать вид частного решения уравнения

 

y¢ ¢ + 2 y¢ + 2 y = e- x (cos x + x ).

Решение

Решим характеристическое уравнение

 

 

k 2 + 2k + 2 = 0:

– x

 

 

k1= -1 + i ,

k2= 1 - i . Для первого слагаемого правой части уравнения e

cos x

имеем:

a = -1,

b = 1. Число

a ± b i = -1 ± i

является корнем характеристического

уравнения кратности

r = 1. Для второго слагаемого

xe- x

имеем:

a = -1,

b = 0. Число

a = -1

не является корнем характеристического уравнения.

Следовательно, получаем ответ:

– x

yчаст.неодн. = x ( Acosx + B sinx )e

 

 

+ (Cx+ D)e-x .

 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные решения (там, где заданы начальные условия) для следующих дифференциальных уравнений

 

1 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = (12x - 7)e- x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.

9 y ¢ - 2 y¢ + 10 y = x cos 2x .

2 y¢ ¢ - y = x2 - x + 1. 10

3 y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = ex . 11

4 y¢ ¢ + y = 7 sin x . 12

5 y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = e3 x ( x - 1). 13

6 y¢ ¢ - 5 y¢ + 4 y = sin x - 7 cos x . 14

y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = ex sin x .

y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ = (1 - 2x )ex .

4 y¢ ¢ - y = x3 - 24x .

y ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y (0) = y¢ (0) = 0.

y¢ ¢ + 2 y¢ = 4ex (sin x + cos x ).

7 y¢ ¢ - 9 y = e3 x . 15 4 y ¢ + 8 y¢ = x sin x .

8 y¢ ¢ - 4 y¢ - 5 y = 2x2ex ,

16 y ¢ + y = 2 cos x ,

y (0) = 2,

y¢ (0) = 3.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 0.

 

3 Индивидуальные задания

 

 

Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого по- рядка.

 

1 а) (1 + y2)dx + xydy = 0,

5 а) (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0,

б) x2 y¢ + y = 0,

б) y¢ + y2= 1,

в) xy¢ = y ln x ,

y

 

в) y¢ =

y + sin y ,

x x

г) y¢ + 2 y = e-x ,

г) xy¢ - y = x2cos x ,

д) y¢ =

y + x2,

x

y (1) = 0.

д) y¢ + y cos x = 1 sin 2x ,

2

y (0) = 0.

2 а)

xdy - ydx = y2dx , 3x2

6 а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0,

б) (1 + ex) yy¢ = ex,

б) y¢ =

,

x3y + y y

в)( x + y )dx - ( x - y )dy = 0,

в) y¢ -

x

= x ,

г) xy¢ + y = ln x ,

д) xy¢ + 2 y = 3x ,

y (0) = 0.

г) y¢ =- x + y ,

x

д) y¢ - 2x - 5 y = 5,

x2

 

 

y (2) = 4.

3 а)

б)

4xdx - 3ydy = 3x2ydy - 2xy2dx ,

x2+ xy¢ = y ,

7 а)

 

б)

 

4 + y2dx - ydy = x2ydy ,

y¢ = 35 x+2 y ,

в) y¢ sin2x = y ln y ,

г) ( y - x )dx + ( x + y )dy = 0,

в)( x - y ) ydx + x2dy= 0,

г) y¢ + 2xy = xe-x ,

 

д) y¢ -

2xy

1 + x2

 

= 1 + x2,

y (1) = 3.

 

д) y¢ + 3 y =

 

,

2

 

y (1) = 1.

 

,

4 а) (x2-1)dy + 2xy2dx = 0, 1 + y2

 

8 а)

 

б)

x x

x ( y2-1)dx + y (x2- 1)dy = 0,

yy¢ = 2 y - x ,

б) y¢ =

y (1 + x2 )

 

в) y¢ +

y = x2,

 

в) y¢ =

 

x2+ xy - y2

,

x2- 2xy

 

 

г) x

2x

1 + y2

 

 

+ yy¢

 

 

1 + x2

 

 

= 0,

г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,

д) ( y2- 3x2 )dy + 2xydx = 0, y (0)= 1.

д) y¢ + y ctg x = 2x sin x , y æ p ö = 0.

ç ÷

è ø

 

9 а)

x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,

14 а)

 

2 2

dx + dy = 0,

б) y¢ - 2

y = ( x + 1)3,

1 + x

1 + y

x + 1

б) 4 - x2y¢ + xy2+ x = 0,

 

в) y¢ =

x + y ,

x - y

 

в) y¢ =

y + 1,

x

г) (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y + 4 y3)dy = 0,

г) y¢ - y cos x = cos x ,

 

д) y¢ +

 

xy = x , 2 (1 - x2 ) 2

y (0) = 2.

3

 

д) y¢ + 2xy = -2x3,

y (1) = 1.

e

 

10 а)

3(x2 y + y )dy +

 

2 + y2dx = 0,

15 а) (ex+ 8)dy - yexdx = 0,

б) y (1+ lny ) = -xy¢,

б) y¢ tg x - y = 1,

¢

2 - æ +

y ö =,

 

в) y¢ =

y + 4 y + 2,

x2 x

в) xy y ç 1 ln ÷ 0

è ø

x

г) xy¢ + (1 + x2 ) y = x2,

г) y¢ + 1 - 2xy = 1,

x2

д) y¢ + 1 - 2xy = 1,

y (1) = 1.

д) y ctg xdx = dy ,

y p = 1.

11 а)

б)

x2

6xdx - 6 ydy = 2x2ydy - 3xy2dx ,

xy¢ - y = y3,

 

16 а)

 

x (1 + y¢ )2

 

 

= 1,

( 2 )

 

в)( x - y ) dx+ xdy = 0,

б) x

+ 2xyy¢ = 1,

 

г) y¢ + 2xy = e- x ,

в) y¢ + 2xy = 2x ,

г) 4x - 3y+ y¢ (2y - 3x) = 0,

 

д) y¢ +

y = sin x ,

x

y (p ) = 1.

p

д) xy¢ + 3y = x2,

y (1) = 2.

12 а)

x sin xdx + cos2 ydy = 0,

y

17 а)

5 + y2dx + 4 (x2y + y )dy = 0,

 

б) y¢ -

y = e x ,

б) (1 + ex ) y¢ = ex y ,

x

в) 1 + x2y¢ + xy2+ x = 0,

 

в) xy¢ - 2 y = x + 1,

 

г) y¢ + y = exsin x ,

г) ( xy¢ - y )arctg y x

= x ,

 

д) y¢ =

y + sin y ,

x x

y (1) = p.

2

д) y¢ sin x - y cos x = 0,

y (p 2 ) = 1.

13 а)

2xdx - ydy = x2ydy - xy2dx ,

18 а) x

3 + y2 dx + y

2 + x2 dy = 0,

б) xy¢ + y - 3 = 0,

в) (x2- y2) y¢ = 2xy ,

г) (1 + x2) y¢ - 2xy = (1 + x2)2,

б) x + xy + yy¢ (1+ x ) = 0,

в) y¢ + y = e-x ,

г) (x2+ y2)dx + xydy = 0,

д) y¢ = 2

 

y ln x ,

y (e) = 1.

д) y¢ + y

x

 

= 3x ,

y (1) = 1.

 

19 а) (1 + x2)dy - 2 ( y + 1)xdx = 0,

24 а)(2x + 2xy2)dx +

 

2 - x2dy = 0,

б) y¢ = ( y - 1)ctg x ,

 

1 - x2

б) yy¢ = -1,

в) xy¢ = y ln y ,

x

1 - y2

 

y

г) y¢ = -1 + 2x y + 1,

в) xy¢ + xe x

- y = 0,

x2 г)

xy¢ + y - x - 1 = 0,

 

д) y¢ =

y + sin y ,

y (1) = p.

 

д) y 12

x x 2

y¢ - =-,

x x3

y (1) = 4.

20 а)

xy (1 + x2) y¢ = 1 + y2,

25 а) (e2x + 5)dy + ye2x dx = 0,

б) xdx + ydy

= 0,

б) xdx - ydy

= 0,

1 + y

в) y¢ =

1 + x

y (1+ lnx - ln y ),

1 + y

в)

1 + x

y

x y¢ - e x

= y ,

x

г) y¢ - y 2x - 1 = 1,

г) y¢ cos x + y sin x = 1,

д) (y +

x2

x2+ y2)dx- xdy = 0, y (1) = 0.

д) y¢ - y = -

x

ln x ,

x

y (1) = 1.

21 а) (1 + y2)dx = xdy ,

26 а) 2 ydx = dy ,

б) y¢ sin x = y ln y ,

б) y¢ + x2 y = x2,

в) y¢ =

y - tg y ,

x x

в) x3y¢ = y (x2+ y2),

г) xy¢ + 3y = x2,

г) y¢ + y cos x = sin x cos x , x y

y2 y

д) y¢ = -,

y (-1) = 0.

д) y¢ = -,

y (-1) = 1. y x

x2 x

22 а) (1 - x2) y¢ - xy = xy2,

27 а)

dy + (xy - xy3)dx = 0,

б) x (1 + y¢ )2 = 1,

б) ( y¢ )2 = x ( y¢ )2 - y ,

в) y¢ sin x - y = 1 - cos x ,

в) 2xy¢ - 6 y + x2= 0,

г) ( x + y ) ydx - x2dy= 0,

г) xdy - ydx =

x2+ y2dx ,

д)

23 а)

e y ( y¢ + 1) = 1,

y¢ tg x - y = a ,

y (0) = 0.

д)

28 а)

y¢ - 2 y = -x2,

xy¢ + y = y2,

y (0) = 0, 25.

б) yy¢ = 1 - 2x ,

y

б) y

1 - x2dy +

3y

1 - y2dx = 0,

в) (

xy + x )dy + ydx = 0,

в) y¢ =

+ x ,

x

г) x ( x -1) y¢ - y = ( x -1)2,

г) ( x + 2 y )dx- (2x+ y )dy = 0,

д) y¢ ctg x + y = 2,

y (0) = 2.

д) y¢ =

y + 1,

x

y (1) = 0.

29 а)

y¢ - (2y + 1)ctg x = 0,

30 а) (1 + x2) y¢ - 2x = xy2,

б) 2x2ydy = (1 + x2)dx ,

в) y¢ cos x - y sin x = sin 2x ,

б) ydy - (x - xy2 )dx = 0,

в) xdy - ydx = ydy ,

г) (x2+ y2) y¢ = x x2- y2

+ xy + y2,

г) y¢ + ay = elnx ,

д) (1 + ex) yy¢ = ex,

y (0) = 1.

д) (x2- 3y2)dy + xydx = 0,

y (0) = 1.

Задание 2 Найти общие решения уравнений высших порядков и там, где указано, выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

 

1 а)

б)

 

в)

г)

д)

 

 

y¢ ¢ ¢ = 7 cos 5x + 2x2,

2xy¢ = (1 + x2) y ¢ ,

y¢ ¢ + y = tg2 x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 9 y = 10sin x ,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = xex ,

 

 

4 а)

 

б)

в)

г)

д)

 

 

y¢ ¢ ¢ = e- x + 2x ,

2 yy ¢ = 1 + ( y¢ )2,

y ¢ + y¢ = tg x ,

y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = 6e2 x ,

y ¢ + 4 y = 5sin 2x ,

y (0) = 1,

y¢ (0) = 2.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 1.

 

2 а)

y¢ ¢ ¢ = 10e-2 x + 3x ,

5 а)

y IV

= 10sin 2x - x ,

б) ( x - 3) y¢ ¢ + y¢ = 0,

б) xy ¢ + 2 y¢ = 0,

в) y¢ ¢ - y¢ = (1 + ex )-1,

в) y¢ ¢ - 2 y = 2 (x2 -1)

x

x3,

г) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 8ex ,

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + 2 y = e

sin x ,

д) y¢ ¢ + y = 5sin 2x ,

д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 3y¢ - y = ( x - 5)ex ,

y (0) = 2,

y¢ (0) = -1.

y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 1.

 

3 а)

y IV

= cos 3x + 5x ,

6 а)

y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 5x + 1,

б) (1 + x2) y ¢ - 2xy¢ = 0,

б) xy ¢ + y¢ = x + 1,

 

в) y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x ,

г) y¢ ¢ + y = 5sin x ,

 

в) y¢ ¢ + 4 y =

 

IV

1,

sin 2x

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 4 y = ( x + 2)e3x ,

г) y

– 81y = 2 cos 3x ,

 

y (0) = -1,

 

y¢ (0) = 0.

д) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ - y¢ + 3y = (4 - 8x )ex ,

y (0) = y¢ (0) = y¢ ¢ (0) = 2.

 

7 а)

 

y IV

 

= 2 sin 3x - x ,

11 а)

y ¢ = x sin x ,

б) x4 y¢ ¢ + x3 y¢ = 4,

б) (1 + sin x ) y¢ ¢ ¢ = y ¢ cos x ,

в) y¢ ¢ ¢ + y¢ ¢ - 6 y¢ = (20x + 3)e2 x ,

ex

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,

 

в) y¢ ¢ + 4 y =

1,

cos 2x

x

x2 г)

y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5e ,

д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x2,

д) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2,

y (0) = 5,

y¢ (0) = 0.

y (0) = y¢ (0) = 3.

 

8 а)

б)

в)

 

г)

 

д)

y¢ ¢ ¢ = 5x2 - 6x + 2,

xy¢ ¢ - y¢ = x2,

y¢ ¢ + 6 y¢ + 13y = e-3x cos8x ,

e2 x

y¢ ¢ - 4 y¢ + 5 y =,

cos x

y¢ ¢ - 2 y¢ + 5 y = xe2 x ,

12 а)

б)

в)

 

г)

 

д)

y ¢ = x cos x ,

y¢ ¢ ¢ tg 5x = 5 y¢ ¢ ,

y¢ ¢ ¢ - 4 y¢ ¢ + 3y¢ = -4xex ,

y¢ ¢ + y = 1 ,

cos3 x

y ¢ + 5 y¢ + 6 y = 12 cos 2x ,

y (0) = y¢ (0) = 5.

y (0) = -1,

y¢ (0) = 10.

9 а)

xy¢ ¢ ¢ = 2,

13 а)

y IV

= -2x + cos 3x ,

б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex ,

б) yy¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,

 

в) y¢ ¢ + y =

1,

cos x

в) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = ( x -1) e3x ,

г) y¢ ¢ - 7 y¢ + 12 y = x ,

д) y¢ ¢ + 9 y = 6e3x ,

 

г) y¢ ¢ + y =

1,

sin x

д) y ¢ + 4 y = 2 cos 2x ,

y (0) = y¢ (0) = 5.

y (0) = 1,

y¢ (0) = -1.

10 а)

y¢ ¢ ¢ = e2 x - 3x ,

14 а)

y IV

= cos 2x + sin x ,

б) (1 - x2 ) y ¢ - xy¢ = 2,

б) (1 + x2) y ¢ + 2xy¢ = 0,

в) y¢ ¢ + 6 y¢ + 5 y = 25x2 - 2,

г) y¢ ¢ + y = 1 ,

в) y ¢ + 4 y = 4 ctg 2x ,

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y = 16ex ,

cos x

д) y¢ ¢ + 9 y = 5sin 3x ,

y (0) = y¢ (0) = 4.

д) y ¢ + 9 y = 15sin 2x ,

y (0) = y¢ (0) = 1.

 

15 а)

y¢ ¢ ¢ = 6sin 6x ,

19 а)

 

y IV

 

= x2- 2x + 5,

б) y¢ ¢ sin x = (1+ y¢ )cos x ,

ex

б) ( x - 3) y ¢ + y¢ = 0,

e- x

в) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =,

x

г) y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - 4 y¢ + 4 y = x2 + 3,

д) y¢ ¢ + y = 2 sin x ,

в) y¢ ¢ + 2 y¢ + y =,

x

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y = xex ,

д) y ¢ + 9 y = 5cos 3x ,

y (0) = 0,

y¢ (0) = 2.

y (0) = 0,

y¢ (0) = -1.

 

16 а)

y¢ ¢ ¢ = (3 - 2x )2,

20 а)

y IV

= e3x - x ,

б) xy¢ ¢ - y¢ = x2ex ,

в) y¢ ¢ - 4 y¢ + 13y = e2 x cos 3x ,

б) (1 + x2 ) y¢ ¢ + 2xy¢ = x3,

e2 x

 

г) y¢ ¢ + y = ctg x ,

в) y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y =,

x2

д) y¢ ¢ ¢ - y¢ ¢ - y¢ + y = 5ex ,

y (0) = y¢ (0) = y ¢ (0) = 1.

г) y¢ ¢ - 5 y¢ + 6 y = 3e2 x ,

д) y ¢ + y = 10sin x ,

 

17 а)

 

y¢ ¢ ¢ = 3x2 - 2x + 1,

y (0) = 0,

 

21 1

y¢ (0) = 7.

а) y¢ ¢ =,

б) 1 + x2 y¢ ¢ - 1 = 0,

sin x

в) y¢ ¢ + 4 y = 1,

б) x3 y¢ ¢ + x2 y¢ -1 = 0,

x

sin2 x

г) y¢ ¢ ¢ - 3y¢ ¢ + 2 y¢ - y = ( x + 2)ex ,

 

в) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =

e ,

x2 + 1

д) y¢ ¢ -12 y¢ + 36 y = 5sin x ,

г) y ¢ - 7 y¢ + 6 y = sin x ,

y (0) = 1,

y¢ (0) = 1.

д) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y = 2x

+ 3,

 

 

18 а)

 

б)

 

 

y¢ ¢ = arcsin x ,

xy¢ ¢ - y¢ - x sin y = 0,

 

 

22 а)

y (0) = 0,

y¢ ¢ = x -1 ,

x

y¢ (0) = -2.

x

в) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = 5x2 - 2x + 1,

б) y¢ ¢ + 2x ( y¢ )2 = 0,

в) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2ex cos x ,

 

г) y¢ ¢ + 4 y¢ =

1, 2

sin2 x 1

д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2 sin x ,

г) y¢ ¢ + y¢ =, 1 + ex

y (0) = 3,

y¢ (0) = 4.

д) y ¢ - 2 y¢ + 2 y = 2x ,

y (0) = -3,

y¢ (0) = -1.

 

23 а)

 

б)

 

в)

y¢ ¢ ¢ = x ,

ex

xy¢ ¢ - y¢ = x2e3x ,

y¢ ¢ + 4 y¢ + 4 y = ln x ,

27 а)

б)

 

в)

y ¢ = x cos 2x ,

y ¢ - 2 yy¢ = 0,

 

y¢ ¢ - 2 y¢ + y =

 

 

ex

,

4 - x2

e2 x

г) 2 y ¢ + 5y¢ = 29 cos x ,

г) y¢ ¢ + 4 y¢ - 5 y = 1,

д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 2x2 + 1,

д) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = 3e2 x ,

y (0) = 5,

y¢ (0) = 0.

 

 

24 а)

y (0) = 0,

y¢ ¢ = x ln x ,

y¢ (0) = 11.

 

 

28 а)

 

 

y ¢ = x cos x ,

б) x2 y¢ ¢ = ( y¢ )2,

 

в) y¢ ¢ + 3y¢ + 2 y =

 

1,

ex + 1

б) yy ¢ = ( y¢ )2,

в) y¢ ¢ - 3y¢ + 2 y = ex

 

 

(3- 4x),

 

г) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = ex ,

ex

г) y¢ ¢ - 4 y¢ + 5 y =,

cos x

д) y¢ ¢ + 2 y¢ + 5 y = - 17 cos 2x ,

д) 2 y¢ ¢ + 5 y¢ = cos2 x ,

 

y (0) = 1,

y¢ (0) = 0.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 0.

 

 

25 а)

y¢ ¢ ¢ = 5x + e-2 x ,

29 а)

y ¢ = ln x ,

б) 1 + ( y¢ )2 = 2 yy ¢ ,

б) y ¢ tg x = y¢ + 1,

 

 

e3x

в) y¢ ¢ - 4 y¢ + 4 y = 2 sin 2x ,

ex

в) y¢ ¢ - 6 y¢ + 9 y =,

x x

г) y¢ ¢ - 2 y¢ + y =

,

4 - x2

г) y¢ ¢ + y¢ - 2 y = 6x2,

 

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 10 y = x2 + x -1,

д) y ¢ - 5 y¢ + 6 y = 13sin 3x ,

 

y (0) = 2,

 

y¢ (0) = 0.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 1.

 

26 а)

y¢ ¢ ¢ = sin 2x ,

30 а)

y¢ ¢ = sin2 x ,

 

б) y¢ ¢ =

y¢ + x ,

x

б) (1 + x2 ) y¢ ¢ + ( y¢ )2 + 1 = 0,

2ex

 

в) y¢ ¢ + y =

1,

cos3 x

в) y¢ ¢ - y¢ =,

ex -1

г) 4 y¢ ¢ - y = x3 + 1,

 

д) 4 y¢ ¢ + 16 y¢ + 15 y =

 

 

4,

e3x

г) y¢ ¢ - y = 1,

e

д) y¢ ¢ - 2 y¢ + 10 y = 10x2 + 18x + 6,

 

y (0) = 0,

 

y¢ (0) = 5, 5.

y (0) = 1,

y¢ (0) = 3, 2.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться:

Популярное:

1. II. Дифференциальные уравнения
2. II. Нахождение частного решения НЛДУ по виду правой части.
3. II. ПРОЦЕСС ВЫРАБОТКИ: ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСШИХ ФОРМ ПОВЕДЕНИЯ БЕЗ ПРИНУЖДЕНИЯ И БОЛИ
4. Алгоритм построения ФСР для ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
5. Б. Площадка специальной обработки
6. Векторы и линейные операции над ними
7. Возникновение самосоотносительных познавательных способностей у высших обезьян
8. Вопрос № 1.1. Оригинальный порядковый номер: 5
9. Вопрос № 1.2. Оригинальный порядковый номер: 30
10. Вопрос № 5.1. Оригинальный порядковый номер: 0
11. Вопрос № 6.2. Оригинальный порядковый номер: 6
12. Воспитание высших форм поведения