Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

 

 

ДУ 1-го порядка с разделенными переменными – это ДУ в диффе- ренциальной форме

f ( x )dx+ j ( y )dy= 0, (1.8)

 

где при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy — функция,

зависящая только от

y = y ( x ).

Общий интеграл ДУ (1.8) записывается в виде

 

ò f ( x )dx+ ò j( y )dy= C ,

 

где C – произвольная постоянная.

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными – уравнение вида

 

f1 ( x )j1( y )dx +

 

f2( x )j2( y )dy= 0. (1.9)

 

Если

 

j1( y ) f2( x ) ¹ 0, то, разделив обе части уравнения (1.9) на

j1( y ) f2( x ), получим уравнение с разделенными переменными

f1( x ) dx + j2( y ) dy = 0.

f2 ( x )

j1( y )

 

Следовательно, общий интеграл последнего уравнения, а значит и уравнения (1.9), записывается в виде

ò f1( x ) dx + ò j2( y ) dy = C . (1.10)

f2 ( x )

j1( y )

 

Если же

 

f2 ( x ) = 0

 

при некотором x = a

 

или j1( y ) = 0

 

при некотором

y = b, то уравнение (1.9), наряду с общим интегралом (1.10), имеет также

решения x = a

или y = b. Если эти решения не могут быть получены из

(1.10) при каком-то значении C , то они будут называться особыми реше- ниями; в противном случае они представляют собой частные решения при некоторых значениях C .

К уравнению с разделенными переменными сводится уравнение вида

 

y¢ =

f ( x )j( y ). (1.11)

 

Действительно, разделив(1.11) на j ( y )

(предполагаяj ( y ) ¹ 0 ) и ум-

ножив на dx , получим уравнение с разделёнными переменными

dy

=

j ( y )

f ( x )dx .

Интегрируя последнее уравнение, получим общий интеграл

dy

ò j ( y ) = ò f ( x )dx + C

уравнения (1.11).

 

Пример 3. Найти общий интеграл и частное решение ДУ, удовлетво-

ряющее начальному условию, если (1 + ex ) yy¢ = ex,

Решение

y (0) = 1.

 

Разделяя переменные в ДУ, получим

 

ydy =

 

y

ex

1 + ex

2

 

dx .

 

 

x

Проинтегрировав, найдем общий интеграл

2 = ln (1 + e

) + C

данно-

го уравнения на всей плоскости xOy . Так как 1 + ex¹ 0

" x , то особых

решений уравнение не имеет. Полагая в общем интеграле

x = 0,

y = 1, на-

 

ходим

 

C = 1 - ln 2 = ln

 

e . Подставляя найденное значение C в общий ин-

2 2

 

теграл, получим для ДУ частный интеграл

 

 

y = ln (1 + ex) + ln e

 

или ча-

 

стное решение y =

 

2 ln

 

 

e + ex

2 2

 

e ДУ, удовлетворяющее начальному ус-

 

 

ловию

y (0) = 1.

 

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения

(xy2 + y2)dx + (x2- x2y )dy = 0.

Решение

Преобразуем левую часть уравнения:

 

 

y2( x + 1)dx + x2(1- y )dy = 0.

 

Разделив уравнение на

 

x2y2¹ 0, имеем

x + 1 dx + 1 - y dy = 0.

x2 y2

 

Проинтегрировав, получим:

x + 1 dx+

ò 2

x

1 - y dy = C ,

ò 2

y

 

ln x

 

– 1 - 1 - ln y = C x y

 

– общий интеграл данного ДУ.

Разделяя переменные, мы делим на

x2y2¹ 0. Если же

x2y2= 0, то

имеем

x = 0,

y = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

x = 0 и

y = 0

являются

решениями данного ДУ. Но они не получаются из общего интеграла ни

при каком значении C . Значит, уравнения.

x = 0 и

y = 0 ― особые решения данного

 

Пример 5. Найти общий интеграл ДУ и частное решение, удовлетво- ряющее начальному условию, если

 

Решение

xydx + (1 + y2)

 

1 + x2dy = 0,

y ( 8 ) = 1.

 

Делим обе части уравнения на y

1 + x2. Получим

 

 

Интегрируя, имеем

x

 

1 + x2

 

dx +

1 + y2

y

 

dy = 0.

 

x

ò 1 + x2

 

dx +

1 + y2

ò y

 

dy = C ,

 

1 + x2

y2

+ + ln y = C

 

– общий интеграл ДУ.

 

Решим вопрос об особых решениях. Для этого рассмотрим

y 1 + x2

= 0. Откуда

y = 0, 1 + x2

= 0. Проверкой убеждаемся, что

y = 0 –

решение данного уравнения, которое не получается из общего интеграла

ни при каком значении C . Следовательно,

y = 0

— особое решение данно-

 

го уравнения. Уравнение

 

1 + x2

 

= 0 действительных корней не имеет.

 

 

Полагая в общем интеграле x =

8, y = 1, находим C :

 

9 + 1 + ln1 = C,

 

C = 3, 5.

 

Подставляя значение

2

 

C = 3, 5

 

в общий интеграл, получаем частный

 

интеграл ДУ:

1 + x2+ y

2

 

+ ln y

 

= 3, 5.

 

Упражнения

 

 

Проинтегрировать уравнения

 

 

x

1 y (

1 + y2dx + y

3)= 0.

1 + x2dy = 0,

 

 

9 xy¢ - y = y3.

 

2 ydx + ctgxdy = 0,

y æ p ö = -1.

 

10 1 - y

ç 3 ÷

y¢ + = 0.

 

3 y¢ sin x - y cos x = 0,

è ø

y æ p ö = 1. 11

y¢ =

1 + x

1 + y2

.

xy

è ø

ç ÷ (1 + x2)

4 y2 + y¢ × x2 = 0,

y (-1) = 1. 12

y × y¢ + x = 1.

5 (1+ y2)(e2x dx - e y dy ) - (1+ y ) dy = 0. 13 (1+ x2)dy - 2x( y + 3)dx = 0.

6 sin x × sin ydx + cos x × cos ydy = 0. 14 (1 + 2 y ) xdx - (1 + x2)dy = 0.

x

7 ( y2+ xy2) y¢ + x2- yx2= 0. 15

3extgydx + 1 - e

cos2 y

dy = 0.

8 (1 - x2) y¢ + xy = 2x . 16 (1 + ex ) yy¢ = e y ,

y (0) = 0.

Однородные уравнения

Функция

f ( x, y )

называется однородной n-го измерения (nÎ R)

от-

носительно аргументов x и y , если для любого значения t , кроме, может

быть,

t = 0, имеет место тождество

f (tx, ty) = tnf ( x, y ).

Например,

f ( x, y ) = x3 + 3x2 y

– однородная функция 3-го измерения

относительно аргументов, т. к.

= t3 f ( x, y ).

f (tx, ty ) = (tx )3+ 3(tx )2ty = t3(x3+ 3x2y ) =

ДУP ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0

называется однородным относительно

 

 

переменных x и y , если функции

P ( x, y )

и Q ( x, y )

 

являются однород-

ными функциями одного и того же измерения.

Из этого определения непосредственно следует, что ДУ

 

 

y¢ =

 

 

f ( x, y )

является однородным относительно x и y , если функция

f ( x, y )

является

однородной функцией нулевого измерения относительно x и y .

Интегрирование однородного уравнения сводится к интегрированию ДУ с разделяющимися переменными.

 

Однородное ДУ

 

y¢ =

f ( x, y )

 

преобразуется к виду

y¢ = j (y x ). С по-

мощью подстановки y = u

x

 

(откуда

 

y = ux,

 

y¢ = u¢ x + u ) получим уравне-

ние

u¢ x+ u = j (u)

с разделяющимися переменными.

 

Пример 6. Найти общее решение ДУ ( x - y ) ydx + x2dy= 0.

Решение

Дано однородное уравнение, т. к.

P ( x, y ) = ( x - y ) y

и Q ( x, y ) = x2 –

однородные функции 2-го измерения. Приводим уравнение к виду

 

dy = j æ y ö :

 

dy = (x -y )y

 

 

или

 

dyy

 

æ y ö

x

ç ÷

dx è ø

 

dx x2

= - ç ÷ .

dx x è x ø

 

 

Полагаем y x

 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u . Следовательно,

 

u¢ x + u = u - u2. Тогда

 

u¢ x = -u2,

x du = -u2,

– du = dx ,

du dx

-ò = ò + C

dx u2 x

u2 x

или

x = ln x + C y

— общий интеграл исходного ДУ.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

x = 0,

y = 0

также ре-

шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком

значении C из общего интеграла. Поэтому ми решениями данного уравнения.

x = 0 и

y = 0

являются особы-

Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов- летворяющее начальному условию, если (x2 - 3y2)dx + 2xydy = 0, y (2)= 1.

Решение

Это уравнение однородное. Приводим его к виду

y¢ = j (y x ):

dy 3y2 - x2

3 y 1 x

= или

y¢ = × - × .

dx 2xy

2 x 2 y

 

Применяем подстановку y

x

 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u .

 

 

du u2 -1

u¢ x + u = 3 u -

1, откуда x =.

2 2u

dx 2u

 

 

Разделяя переменные, имеем

 

2udu u2 -1

 

= dx . Интегрируем это равенство:

x

2udu

ò u2 - 1 =

dx + ln C ,

ò

x

C ¹ 0,

ln u2- 1 = ln x

+ ln C

 

, или

u2- 1 = Cx , или

y = Cx + 1, или

x2

y2= x2(Cx+ 1)

 

– общий интеграл ДУ.

 

При делении на 2xy

æ когда приводили к виду y¢ = j æ y ö ö

 

могли по-

x

ç ç ÷ ÷

è è ø ø

терять решение

x = 0,

y = 0. Проверкой убеждаемся, что

x = 0,

y = 0 –

решения данного уравнения. Из общего интеграла они не получаются ни

при каком значении C . Следовательно, данного уравнения.

x = 0,

y = 0

– особые решения

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию

y (2) = 1. Подставив

x = 2,

y = 1

в общий интеграл, находим C :

 

1 = 4 (2C+ 1),

C 3. Тогда y =

 

ç ÷

x2æ 1 - 3 x ö

 

– частное решение ДУ, удов-

=-

8

летворяющее условию

 

y (2) = 1.

è 8 ø

 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные (где это требуется) решения уравнений

1 (x2+ y2)dx = 2xydy. 8 ( y2- 2xy )dx + x2dy = 0.

 

2 xy¢ = y +

y2- x2. 9

yy¢ = 2 y - x .

3 y¢ = x + y . 10

x - y

y¢ = e x + y .

y

x

4 xy¢ = y ln xy

. 11

xy¢ cos

y = y cos y x x

– x .

5 (4x - 3y ) dx + (2 y - 3x ) dy = 0. 12

4x2- xy + y2+ y¢ (x2- xy + 4 y2) = 0.

y2 y

y¢ =

y + x ,

y (1) = 1.

6 y¢ = -,

y (-1) = 1. 13

x2

æ

7 xdy + ç x

è

x

y

ö

- 1 - y ÷ dx = 0,

x ø

x y

 

y (1)= 1. 14 ( xy¢ - y )arctg

 

 

y = x ,

x

 

 

y (1) = 0.

 

15 2xy¢ (x2 + y2) = y ( y2+ 2x2). 16 ( x - 2 y - 1)dx + (3x - 6 y + 2)dy = 0.

 

 

 

Замечание – ДУ вида

 

y¢ =

f æ a1x + b1y + c1ö , где

 

ab - ab

 

¹ 0, приво-

ç ax + by + c ÷ 1 1

è ø

дится к однородному уравнению с помощью подстановки x = x¢ + a,

y = y¢ + b, где

x¢,

y¢ – новые переменные;

a, b – постоянные, удовлетво-

ряющие системе

ì a1a + b1b + c1 = 0,

î

í aa + bb + c = 0.

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Дифференциальные уравнения
2. Воздействие переменными токами
3. Д5. Применение уравнения Лагранжа
4. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
5. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
7. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
8. Дифференциальные уравнения и их решение
9. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.
10. Дифференциальные уравнения электромеханической системы.
11. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
12. ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА