Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными



 

 

ДУ 1-го порядка с разделенными переменными – это ДУ в диффе- ренциальной форме

f ( x )dx+ j ( y )dy= 0, (1.8)

 

где при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy — функция,


зависящая только от


y = y ( x ).


Общий интеграл ДУ (1.8) записывается в виде

 

ò f ( x )dx+ ò j( y )dy= C ,

 

где C – произвольная постоянная.

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными – уравнение вида


 

f1 ( x )j1( y )dx +


 

f2( x )j2( y )dy= 0. (1.9)


 

Если


 

j1( y ) f2( x ) ¹ 0, то, разделив обе части уравнения (1.9) на


j1( y ) f2( x ), получим уравнение с разделенными переменными

f1( x ) dx + j2( y ) dy = 0.


f2 ( x )


j1( y )


 

Следовательно, общий интеграл последнего уравнения, а значит и уравнения (1.9), записывается в виде

ò f1( x ) dx + ò j2( y ) dy = C . (1.10)


f2 ( x )


j1( y )


 

Если же


 

f2 ( x ) = 0


 

при некотором x = a


 

или j1( y ) = 0


 

при некотором


y = b, то уравнение (1.9), наряду с общим интегралом (1.10), имеет также


решения x = a


или y = b. Если эти решения не могут быть получены из


(1.10) при каком-то значении C , то они будут называться особыми реше- ниями; в противном случае они представляют собой частные решения при некоторых значениях C .

К уравнению с разделенными переменными сводится уравнение вида


 

y¢ =


f ( x )j( y ). (1.11)


 


Действительно, разделив(1.11) на j ( y )


(предполагаяj ( y ) ¹ 0 ) и ум-


ножив на dx , получим уравнение с разделёнными переменными

dy


=

j ( y )


f ( x )dx .


Интегрируя последнее уравнение, получим общий интеграл

dy


ò j ( y ) = ò f ( x )dx + C


уравнения (1.11).


 

Пример 3. Найти общий интеграл и частное решение ДУ, удовлетво-


ряющее начальному условию, если (1 + ex ) yy¢ = ex,

Решение


y (0) = 1.


 

Разделяя переменные в ДУ, получим


 

ydy =

 

y


ex

1 + ex

2


 

dx .

 

 

x


Проинтегрировав, найдем общий интеграл


2 = ln (1 + e


) + C


данно-


го уравнения на всей плоскости xOy . Так как 1 + ex¹ 0


" x , то особых


решений уравнение не имеет. Полагая в общем интеграле


x = 0,


y = 1, на-


 

ходим


 

C = 1 - ln 2 = ln


 

e . Подставляя найденное значение C в общий ин-


2 2

 

теграл, получим для ДУ частный интеграл


 

 

y = ln (1 + ex) + ln e


 

или ча-


 

стное решение y =


 

2 ln


 

 

e + ex


2 2

 

e ДУ, удовлетворяющее начальному ус-


 


 

ловию


y (0) = 1.


 

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения

(xy2 + y2)dx + (x2- x2y )dy = 0.


Решение

Преобразуем левую часть уравнения:


 

 

y2( x + 1)dx + x2(1- y )dy = 0.


 

Разделив уравнение на


 

x2y2¹ 0, имеем


x + 1 dx + 1 - y dy = 0.


x2 y2


 

Проинтегрировав, получим:


x + 1 dx+

ò 2
x


1 - y dy = C ,

ò 2
y


 

ln x


 

– 1 - 1 - ln y = C x y


 

– общий интеграл данного ДУ.


Разделяя переменные, мы делим на


x2y2¹ 0. Если же


x2y2= 0, то


имеем


x = 0,


y = 0.


Непосредственной проверкой убеждаемся, что


x = 0 и


y = 0


являются


решениями данного ДУ. Но они не получаются из общего интеграла ни


при каком значении C . Значит, уравнения.


x = 0 и


y = 0 ― особые решения данного


 

Пример 5. Найти общий интеграл ДУ и частное решение, удовлетво- ряющее начальному условию, если


 

Решение


xydx + (1 + y2)


 

1 + x2dy = 0,


y ( 8 ) = 1.


 

Делим обе части уравнения на y


1 + x2. Получим


 


 

Интегрируя, имеем


x

 

1 + x2


 

dx +


1 + y2

y


 

dy = 0.


 


x

ò 1 + x2


 

dx +


1 + y2

ò y


 

dy = C ,


 

1 + x2


y2

+ + ln y = C


 

– общий интеграл ДУ.


 

Решим вопрос об особых решениях. Для этого рассмотрим


y 1 + x2


= 0. Откуда


y = 0, 1 + x2


= 0. Проверкой убеждаемся, что


y = 0 –


решение данного уравнения, которое не получается из общего интеграла


ни при каком значении C . Следовательно,


y = 0


— особое решение данно-


 

го уравнения. Уравнение


 

1 + x2


 

= 0 действительных корней не имеет.


 

 


Полагая в общем интеграле x =


8, y = 1, находим C :


 


9 + 1 + ln1 = C,


 

C = 3, 5.


 

Подставляя значение

2


 

C = 3, 5


 

в общий интеграл, получаем частный


 

интеграл ДУ:


1 + x2+ y

2


 

+ ln y


 

= 3, 5.


 

Упражнения

 

 

Проинтегрировать уравнения

 

 


x

1 y (


1 + y2dx + y

3)= 0.


1 + x2dy = 0,


 

 

9 xy¢ - y = y3.


 

2 ydx + ctgxdy = 0,


y æ p ö = -1.


 

10 1 - y


ç 3 ÷


y¢ + = 0.


 

3 y¢ sin x - y cos x = 0,


è ø

y æ p ö = 1. 11


y¢ =


1 + x

1 + y2

.


xy
è ø
ç ÷ (1 + x2)


4 y2 + y¢ × x2 = 0,


y (-1) = 1. 12


y × y¢ + x = 1.


5 (1+ y2)(e2x dx - e y dy ) - (1+ y ) dy = 0. 13 (1+ x2)dy - 2x( y + 3)dx = 0.

6 sin x × sin ydx + cos x × cos ydy = 0. 14 (1 + 2 y ) xdx - (1 + x2)dy = 0.

x


7 ( y2+ xy2) y¢ + x2- yx2= 0. 15


3extgydx + 1 - e

cos2 y


dy = 0.


8 (1 - x2) y¢ + xy = 2x . 16 (1 + ex ) yy¢ = e y ,


y (0) = 0.


Однородные уравнения


Функция


f ( x, y )


называется однородной n-го измерения (nÎ R)


от-


носительно аргументов x и y , если для любого значения t , кроме, может


быть,


t = 0, имеет место тождество


f (tx, ty) = tnf ( x, y ).


Например,


f ( x, y ) = x3 + 3x2 y


– однородная функция 3-го измерения


относительно аргументов, т. к.

= t3 f ( x, y ).


f (tx, ty ) = (tx )3+ 3(tx )2ty = t3(x3+ 3x2y ) =


ДУP ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0


называется однородным относительно


 


 

переменных x и y , если функции


P ( x, y )


и Q ( x, y )


 

являются однород-


ными функциями одного и того же измерения.

Из этого определения непосредственно следует, что ДУ


 

 

y¢ =


 

 

f ( x, y )


является однородным относительно x и y , если функция


f ( x, y )


является


однородной функцией нулевого измерения относительно x и y .

Интегрирование однородного уравнения сводится к интегрированию ДУ с разделяющимися переменными.


 

Однородное ДУ


 

y¢ =


f ( x, y )


 

преобразуется к виду


y¢ = j (y x ). С по-


мощью подстановки y = u

x


 

(откуда


 

y = ux,


 

y¢ = u¢ x + u ) получим уравне-


ние


u¢ x+ u = j (u)


с разделяющимися переменными.


 

Пример 6. Найти общее решение ДУ ( x - y ) ydx + x2dy= 0.

Решение


Дано однородное уравнение, т. к.


P ( x, y ) = ( x - y ) y


и Q ( x, y ) = x2 –


однородные функции 2-го измерения. Приводим уравнение к виду


 

dy = j æ y ö :


 

dy = (x -y )y


 

 

или


 

dyy


 

æ y ö


x
ç ÷

dx è ø


 

dx x2


= - ç ÷ .

dx x è x ø


 


 

Полагаем y x


 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u . Следовательно,


 

u¢ x + u = u - u2. Тогда


 

u¢ x = -u2,


x du = -u2,


du = dx ,


du dx

-ò = ò + C


dx u2 x


u2 x


или


x = ln x + C y


— общий интеграл исходного ДУ.


Непосредственной проверкой убеждаемся, что


x = 0,


y = 0


также ре-


шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком


значении C из общего интеграла. Поэтому ми решениями данного уравнения.


x = 0 и


y = 0


являются особы-


Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов- летворяющее начальному условию, если (x2 - 3y2)dx + 2xydy = 0, y (2)= 1.

Решение


Это уравнение однородное. Приводим его к виду


y¢ = j (y x ):


dy 3y2 - x2


3 y 1 x


= или


y¢ = × - × .


dx 2xy


2 x 2 y


 


Применяем подстановку y

x


 

= u , тогда y = ux , y¢ = u¢ x + u .

 

 

du u2 -1


u¢ x + u = 3 u -


1, откуда x =.


2 2u


dx 2u


 

 

Разделяя переменные, имеем


 

2udu u2 -1


 

= dx . Интегрируем это равенство:

x


2udu

ò u2 - 1 =


dx + ln C ,

ò
x


C ¹ 0,


ln u2- 1 = ln x


+ ln C


 

, или


u2- 1 = Cx , или


y = Cx + 1, или

x2


y2= x2(Cx+ 1)


 

– общий интеграл ДУ.


 

При делении на 2xy


æ когда приводили к виду y¢ = j æ y ö ö


 

могли по-


x
ç ç ÷ ÷

è è ø ø


терять решение


x = 0,


y = 0. Проверкой убеждаемся, что


x = 0,


y = 0 –


решения данного уравнения. Из общего интеграла они не получаются ни


при каком значении C . Следовательно, данного уравнения.


x = 0,


y = 0


– особые решения


Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию


y (2) = 1. Подставив


x = 2,


y = 1


в общий интеграл, находим C :


 

1 = 4 (2C+ 1),


C 3. Тогда y =


 

ç ÷
x2æ 1 - 3 x ö


 

– частное решение ДУ, удов-


=-
8

летворяющее условию


 

y (2) = 1.


è 8 ø


 

Упражнения

 

 

Найти общие и частные (где это требуется) решения уравнений

1 (x2+ y2)dx = 2xydy. 8 ( y2- 2xy )dx + x2dy = 0.


 

2 xy¢ = y +


y2- x2. 9


yy¢ = 2 y - x .


3 y¢ = x + y . 10

x - y


y¢ = e x + y .

y
x


4 xy¢ = y ln xy


. 11


xy¢ cos


y = y cos y x x


x .


5 (4x - 3y ) dx + (2 y - 3x ) dy = 0. 12


4x2- xy + y2+ y¢ (x2- xy + 4 y2) = 0.


y2 y


y¢ =


y + x ,


y (1) = 1.


6 y¢ = -,


y (-1) = 1. 13


x2

æ

7 xdy + ç x

è


x

y
ö

- 1 - y ÷ dx = 0,

x ø


x y

 

y (1)= 1. 14 ( xy¢ - y )arctg


 

 

y = x ,

x


 

 

y (1) = 0.


 

15 2xy¢ (x2 + y2) = y ( y2+ 2x2). 16 ( x - 2 y - 1)dx + (3x - 6 y + 2)dy = 0.

 

 


 

Замечание – ДУ вида


 

y¢ =


f æ a1x + b1y + c1ö , где


 

ab - ab


 

¹ 0, приво-


ç ax + by + c ÷ 1 1

è ø

дится к однородному уравнению с помощью подстановки x = x¢ + a,


y = y¢ + b, где


x¢,


y¢ – новые переменные;


a, b – постоянные, удовлетво-


ряющие системе


ì a1a + b1b + c1 = 0,

î
í aa + bb + c = 0.


 

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 586; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.188 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь