Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

 

ДУ называется линейным, если оно линейно (т. е. первой степени) от- носительно искомой функции y и её производной dy.

dx

Линейное неоднородное ДУ первого порядка записывается в виде

y¢ + P ( x ) y = Q ( x ). (1.12)

 

Еслиправаячастьуравнения (1.12) Q ( x ) º 0, то уравнение называется

линейным однородным и записывается в виде

y¢ + P ( x ) y = 0. (1.13)

 

Рассмотрим два способа решения линейного ДУ: способ Бернулли и способ Лагранжа.

 

Способ Бернулли (способ подстановки). Выполним в уравнении (1.12)

замену переменной, положив y = uv , где

y¢ = u¢ v + uv¢. Уравнение (1.12) примет вид:

u = u ( x ),

v = v ( x). Тогда

 

u¢ v+ uv¢ + P ( x )uv= Q ( x )

 

или

u¢ v + u (v¢ + P ( x ) × v ) = Q ( x ). (1.14)

 

 

Одну из функций

u ( x )

 

или

v ( x )

 

можно взять (предположить) произ-

вольной, другая определяется на основании уравнения (1.14) и сделанного

предположения. Например, в качестве функции

v ( x )

выбираем частное

 

решение уравнения

 

v¢ + P ( x )v = 0. Тогда

– P( x )dx

ò

v = e . Подставив выраже-

ние v в уравнение (1.14), найдём

u = u ( x, C).Затем находим общее реше-

ние данного уравнения

y = u ( x, C)v( x ).

 

Способ Лагранжа (способ вариации произвольной постоянной). Сна- чала находим общее решение соответствующего однородного линейного

 

уравнения (1.13), т. е. соотношение

 

y = Ce

 

- ò P( x )dx

 

. (1.15)

 

Затем, полагая в этом соотношении величину C функцией от x , ищем общее решение неоднородного уравнения (1.14) в виде

 

y = C ( x )e- ò P( x )dx . (1.16)

 

 

C ( x )

 

находим из уравнения (1.12), подставив в него

y = C ( x )e- ò P( x )dx

ç ÷

и y¢ = æ C ( x ) e-ò P(x )dx ö ¢ = C¢ ( x ) × e-ò P(x )dx - C ( x ) × e-ò P(x )dx × P ( x ).

è ø

 

Пример 8. Проинтегрировать уравнение

Решение

y¢ - (ctgx) y = sin x .

Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем y = uv , тогда

y¢ = u¢ v + uv¢

и данное уравнение в новых переменных примет вид:

 

u¢ v + uv¢ - (ctgx)uv = sin x ,

u¢ v+ u (v¢ - (ctgx)v) = sin x .

 

 

Возьмем в качестве

v ( x )

 

одно из решений уравнения

 

v¢ - (ctgx)v = 0. (1.17)

 

 

Тогда для отыскания

u ( x )

 

получим уравнение

 

u¢ v = sin x . (1.18)

 

 

Решаем уравнение (1.17):

dv= (ctgx)v , или dv = ctgxdx .

dx

ò = ò

dv ctgxdx , откуда ln v v

v

 

= ln sin x , или

 

 

v = sin x .

Находим

v = sin x :

u ( x )

как общий интеграл уравнения (1.18), подставив

(sin x)u¢ = sin x , du = dx , u = x + C .

 

Зная u и v , находим искомую функцию решение исходного ДУ.

 

y = uv = ( x + C )sinx

 

— общее

 

Пример 9. Проинтегрировать уравнение

y¢ - y = 2ex, найти частное

решение, удовлетворяющее начальному условию

y (0) = 1.

 

Решение

Применим метод вариации произвольной постоянной. Однородное ДУ y¢ - y = 0, соответствующее данному уравнению, имеет общее решение

y = Cex, где C – произвольная постоянная. Будем искать общее решение

исходного уравнения в виде

y = C ( x )ex, где

C ( x )

– неизвестная функция

от x . Так как

y¢ = C¢ ( x )ex+ C ( x )ex, то, подставляя выражения для y и y¢

в неоднородное уравнение, получим

C¢ ( x )ex+ C ( x )ex- C ( x )ex= 2ex,

 

 

откуда

C¢ ( x ) = 2,

C ( x ) = 2x+ C1,

 

x

C1– произвольная постоянная.

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = (2x+ C1)e.

Полагая

y = 1,

x = 0, из этого уравнения находим C1:

C1= 1.

Тогда частное решение исходного ДУ, удовлетворяющее начальному

условию, имеет вид:

y = (2x+ 1)ex .

Уравнение Бернулли

y¢ + P ( x ) y = Q ( x ) ya

(a ¹ 0,

a ¹ 1), где

a Î R ,

сводится к линейному при помощи подстановки

u = y1-a. Уравнение Бер-

нулли можно решать теми же способами, что и линейное уравнение, не производя замену u = y1-a.

Уравнение

P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0

(1.19)

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть

является полным дифференциалом некоторой функции

u ( x, y ), т. е.

P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = du ( x, y ). (1.20)

 

Общий интеграл уравнения (1.19) определяется формулой

 

u ( x, y ) = C . (1.21)

Поскольку

 

 

du = ¶udx + ¶udy , (1.22)

¶x ¶y

 

то из равенств (1.20) и (1.22) следуют уравнения

 

¶u= P ( x, y ),

¶x

 

¶u= Q ( x, y ). (1.23)

¶y

 

Необходимое и достаточное условие того, что уравнение (1.19) явля- ется уравнением в полных дифференциалах, выражается равенством

 

¶P= ¶Q. (1.24)

¶y ¶x

 

Если левая часть уравнения (1.19) не является полным дифференциа- лом, но становится таким при умножении на некоторую функцию

m = m ( x, y ), то

m = m ( x, y )

называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель зависит только от x , т. е.

m  = m ( x ), если

1 æ ¶P - ¶Q ö =

 

f ( x ), и зависит только от y , если

1 æ ¶P - ¶Q ö = j ( y ).

Q ç ¶y

¶x ÷

P ç ¶y

¶x ÷

è ø è ø

 

Пример 10. Из семейства интегральных кривых дифференциального

уравнения

2x cos2 ydx + (2 y - x2sin 2 y )dy = 0

выбрать ту, которая проходит

через начало координат.

Решение

Для данного в условии уравнения имеем:

 

P ( x, y ) = 2xcos2 y ,

 

¶P= 2x× 2 cos y × (-siny ) = -2xsin2 y ,

¶y

 

 

Q ( x, y ) = 2 y - x2sin2 y ,

 

¶Q= -2x × sin 2 y .

¶x

 

Так как выполняется условие (1.24), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, уравнения (1.23) принимают вид:

¶u= 2x cos2 y ,

¶x

¶u= 2 y - x2sin 2 y .

¶y

 

Интегрируем второе из этих уравнений ( x при этом считается посто- янной), найдём:

u ( x, y ) = ò (2 y - x2sin 2 y )dy +

f ( x );

u ( x, y ) = y2+ 1 x2cos2 y +

2

f ( x ),

 

где

f ( x ) ― функция, подлежащаяопределению.

Чтобы найти функцию

f ( x ), продифференцируем по x функцию

 

u = u ( x, y ):

¶u= 1 × 2x × cos 2 y +

 

f ¢ ( x )

 

и, принимая во внимание равенство

¶x 2

¶u= 2x cos2 y , получаем:

¶x

x cos 2 y +

f ¢ ( x ) = 2xcos2 y ,

x cos 2 y +

f ¢ ( x ) = x (1+ cos2 y ),

x2

x cos 2 y +

f ¢ ( x ) = x + x cos2 y ,

f ¢ ( x ) = x ,

f ( x ) = + C1.

2

 

 

Итак,

u ( x, y ) = y2+ 1 x2cos2 y + x

 

+ C .

2 2 1

В соответствии с формулой (1.16) получаем

 

y2+ 1 x2cos 2 y + x + C = C

 

или

y2+ 1 x2cos 2 y + x

 

= C ,

 

 

где

2 2 1 2 2 2

 

C = C2- C1.

Здесь C1, C2

– произвольные постоянные.

 

Итак,

y2+ 1 x2cos 2 y + x = C

2 2

 

– общий интеграл данного уравнения,

т. е., семейство интегральных кривых, определяемое данным уравнением.

Из этого семейства кривых выделим ту, которая проходит через нача- ло координат: подставим в уравнение семейства интегральных кривых на-

чальные данные

x = 0 и

y = 0. Получим C = 0.

 

Ответ:

y2+ 1 x2cos 2 y + x

2 2

 

= 0.

 

Упражнения

 

 

Проинтегрировать уравнения

 

1 y¢ - y = x . 9

x

2 xy¢ - y = x2cos x . 10

x2y2y¢ + xy3= 1.

x ( x - 1) y¢ + y = x2+ 2x- 1,

y (2) = 4.

3

=-

dy 2 y + x2.

11 (x2

+ 1)

y¢ + 4xy = 3.

dx x

4 y¢ +

y = x2. 12 (1- x )( y¢ + y ) = e-x .

x

5 x2+ xy¢ = y ,

y (1) = 0. 13

e-y dx + (1 - xe-y )dy = 0.

6

x¢ + x cos y = cos y ,

x (0)= 1. 14

2xy¢ - y = 3x2.

7 y¢ cosx + y = 1 - sinx . 15

y¢ - 2xy = 2xex .

8 y¢ x + y = - xy2. 16

y¢ - 1 + 2x

x + x2

y = 1 + 2x .

x + x2

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. S: У первого нижнего моляра форма коронки
2. Адсорбционное уравнение Гиббса
3. В неделю святых отцов первого Вселенского Собора (покорение ума иго веры – охрана Православия)
4. Векторы и линейные операции над ними
5. Вопрос. Идеальный газ. Уравнение идеального газа. Газовые законы.
6. Второй игрок первого правительства
7. ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА
8. Денежные агрегаты. Уравнение обмена Фишера.
9. Деньги и денежные агрегаты. Уравнение обмена. Спрос и предложение на рынке денег.
10. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
11. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.
12. Дифференциальным уравнением второго