Гироскопы. Прецессия волчка.

Гироскопы.

Рассмотрим быстро вращающийся относительно оси симметрии массивный диск (рис.64). При очень быстром вращении диска, как было сказано выше, векторы момента импульса и угловой скорости направлены вдоль оси симметрии.

Если к концам оси вращения приложить пару сил, ее момент будет изменять момент импульса в соответствии с уравнением моментов:

Через промежуток времени момент импульса изменит свое направление и станет равным Соответственно изменится и положение оси симметрии. Как видно, силы пары приложены в горизонтальной плоскости, а ось вращается под действием момента - в вертикальной.

Уравнение моментов в скалярном виде в этом случае представляют следующим образом:

С учетом направлений векторов уравнение моментов для быстро вращающегося тела записывает в векторной форме так: (273)

Гироскопом называют массивное тело, очень быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Наиболее часто применяются гироскопы в кардановых подвесах. В таких подвесах при любом повороте оси вращения центр масс гироскопа остается неподвижным (рис.65). Нa рисунке представлен карданов подвес для гироскопа с двумя степенями свободы.

Для определения угловой скорости прецессии удобно пользоваться следующими соображениями. Масштаб измерения можно выбрать таким, что конец вектора совпадает с концом оси гироскопа (рис. 66).

При действии на конец оси (в т. А) силы ее момент вызовет прецессион­ное вращение. По уравнению моментов

Но можно рассматривать как радиус-вектор т. A относительно центра масс. Тогда, по определению: (274)

Прецессия волчка.

 

Быстро вращающийся симметричный волчок установлен на горизонтальную поверхность (рис. 67). Точка касания неподвижна. Прецессия волчка вызывается моментом силы тяжести так как линия действия реакции проходит через неподвижный центр .

при указанном направлении вращения момент силы тяжести вызывает пре­цессию в направлении, указанном на рисунке. Угловую скорость прецессии

можно определить, пользуясь (274):

т.е (275)

Следовательно, угловая скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость собственного вращения.

Давление покоящейся жидкости.

Выделим в объеме покоящейся жидкости небольшой объем (рис. 68), пусть на грань этого объема действует со стороны окружающих слоев сила давления F.

Из опыта известно, что трение покоя в жидкостях отсутствует, т.е. должны от­сутствовать касательные усилия к выделен­ной грани.

Средним давлением называют величину:

 

где dF сила давления, действующая на площадку площади dS.

Истинным давлением или давлением в точке называют величину:

(276)

В покоящейся жидкости давление в точке не зависит от ориентировки площадки, на ко­торую оно действует, действительно, в покоящейся: жидкости выделим небольшой объем, фор­ма которого показана на рис. 69. На каждую грань объема действует силы давления, поскольку объем покоится, в каждом из координатных направлений сумма сил равна нулю:

т. к.

т.е.

Аналогично можно показать, что:

Следовательно:

Уравнение гидростатики Эйлера.

В покоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в фор­ме прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).

Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в каждом из координат­ных направлений:

На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные (массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.

На заднюю грань действует сила давления

а на переднюю:

Кроме того, в этом направлении действует составляющая мас­совой силы dq, которую можно определить по второму закону Ньютона:

где: r - плотность среды, a_x- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к. объем покоится,

Поскольку :

Аналогично для других координатных направлений:

(277), (278), (279) и представляют собой систему уравне­ний гидростатики Эйлера.

 

Предыдущая12345678910Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Волновые оптические гироскопы.
2. Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.