Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Основные формулы

1. Основное уравнение динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела

или ,

где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу; m – масса; - ускорение; - импульс.

2. Силы в механике:

· Сила упругости: ,

где k – коэффициент упругости; х – абсолютная деформация.

· Сила гравитационного взаимодействия: ,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояния между ними.

· Сила сопротивления: ,

где k – коэффициент сопротивления среды, - скорость тела.

· Сила трения скольжения: ,

где - коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

3. Радиус-вектор центра масс системы материальных точек

где m_i, – масса и радиус-вектор i-й материальной точки.

4. Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)

где - скорость отделяемого (присоединяемого) вещества относительно рассматриваемого тела; - действующая сила; - реактивная сила.

5. II закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу; - ускорение в неинерциальной системе отсчета; - сила инерции.

В неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением : .

При движении тела относительно вращающейся системы отсчета сила инерции равна векторной сумме центробежной силы инерции и силы Кориолиса:

где - угловая скорость вращения системы отсчета; - радиус-вектор движущегося тела относительно оси вращения; - скорость его относительно подвижной системы.

Основные типы задач и методы их решения

Классификация

1. Поступательное движение тел и простейших систем. Нахождение ускорений, сил.

Метод решения. Установить и представить на рисунке все силы, действующие на каждое тело системы. Написать уравнения движения для каждого из тел в отдельности в векторном виде. Перейти от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранное направление и решить систему получившихся скалярных уравнений.

2. Нахождение закона движения тел или , если известны действующие силы и начальные условия.

Метод решения. Анализ действующих на тело сил, составление уравнения движения в виде с последующим его интегрированием.

3. Движение тел переменной массы.

Метод решения. Использование уравнения Мещерского.

4. Движение тел в неинерциальных системах отчета.

Метод решения. Анализ всех реально действующих на тело сил и сил инерции. Использование второго закона Ньютона для неинерциальных систем отсчета.

Примеры решения задач

I тип задач. На горизонтальной плоскости лежит брусок 1 с массой m₁, на который помещен груз 2 с массой m₂(рис. 2.1). Сила F приложена к грузу под углом к горизонту, коэффициент трения между плоскостью и бруском , между бруском и грузом . Найти ускорение обоих тел.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело в отдельности. На груз 2 действуют: сила , сила трения , сила тяжести груза и реакция опоры (бруска) . На брусок 1 действуют сила трения (увлекает брусок вслед за грузом), сила тормозящего трения между бруском и плоскостью ., сила тяжести бруска и вес груза , сила реакции опоры Согласно II закону динамики для груза и бруска имеем:

, (1)

. (2)

Выбрав оси координат, как показано на рис. 2.1 и проектируя векторные выражения (1) и (2) на оси х и у, получим:

Учитывая также, что , , находим

; ; ;

, (5)

(6)

II тип задач. При падении тела с большой высоты его скорость при установившемся движении достигает значения м/с. Определить время , в течение которого, начиная от момента падения, скорость становится равной . Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости.

Решение

На падающее тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и свойств окружающей среды. Уравнение движения тела в векторной форме будет иметь вид:

. (1)

Спроектировав данное уравнение на вертикально направленную ось, имеем

. (2)

После разделения переменных получим

Интегрируя правую часть уравнения от нуля до , а правую соответственно от нуля до :

После подстановки пределов интегрирования найдем

. (3)

Входящий в данные выражения коэффициент пропорциональности определим из условия равновесия сил для установившегося движения ( )

откуда .

Подставив найденное значение k в формулу (3), получим окончательно:

III тип задач. Ракета, масса которой в начальный момент кг, запущена вертикально вверх. Определить ускорение, с которым движется ракета через t = 5 с после запуска, если скорость расхода горючего кг/с, а относительная скорость выхода продуктов сгорания м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Запишем уравнение Мещерского в проекции на вертикальную ось для момента времени t

. (1)

Масса ракеты изменяется со временем

. (2)

После подстановки и преобразования получаем

=32 м/с².

IV тип задач.

1. На наклонной плоскости с углом при основании , движущейся влево с ускорением м/с², находится брусок (рис. 2.2). Найти ускорение бруска относительно плоскости, если коэффициент трения .

Решение

Выберем неподвижные оси координат, как показано на рис. 2.2., а подвижные оси x’ и y’ свяжем с движущимся бруском. В данном случае подвижная система отсчета будет являться неинерциальной, т.к. движется с ускорением относительно неподвижной системы отсчета ху. Поскольку это движение поступательное, уравнение II закона Ньютона в системе для тела массой m запишется в виде

, (1)

где - сила трения; ; - реакция опоры; - сила тяжести, а - сила инерции.

В проекциях на координатные оси и

, (2)

. (3)

Совместное решение уравнений (2) и (3) дает

=2, 4 м/с².

2. Электровоз массой m = 189·10³ кг движется вдоль меридиана со скоростью = 20 м/с на широте . Определить горизонтальную составляющую F силы, с которой электровоз давит на рельсы.

Решение

Пусть электровоз движется в направлении на север. Тогда на него будет действовать сила Кориолиса, направленная на восток (рис. 2.3). Она и будет обеспечивать боковое давление на рельсы колес электровоза.

Сила Кориолиса

Модуль ее .

Угловую скорость подвижной системы отсчета (Земли) вычислим по формуле , где Т –период вращения Земли.

Окончательно = .

2.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Тело массой m движется в плоскости ХУ по закону x=Acosω t, y=Bsinω t, где А, В и ω – некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело. [ ]

2. Под каким углом α к горизонту нужно тянуть тяжелый ящик массы m для того, чтобы передвигать его волоком по горизонтальной поверхности с наименьшим усилием, если коэффициент трения равен μ? Найти значение этой минимальной силы. [F_min=mgsinα, α =arctgμ ]

3. На каждое колесо автомобиля приходится 25% его веса. Пусть коэффициент трения между колесом и дорогой равен 0, 8. Тормоза действуют на все четыре колеса. Чему равно минимальное время полного торможения при исходной скорости 60 км/ч? [t_торм.=2, 13 с]

4. На наклонной плоскости (рис.2.4) лежит брусок массой m. К нему приложена сила , направленная вдоль наклонной плоскости в сторону ее вершины. Коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью . При каком угле наклона ускорение бруска будет минимальным и чему равно это ускорение? [ , а=8, 5 м/с²]

5. Чему должен быть равен коэффициент трения между шинами и поверхностью наклонной дороги с уклоном =30⁰, чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением a=0, 6м/с²? [0, 65]

6. За какое время тело соскользнет с наклонной плоскости высотой h=9, 8 м и с углом наклона =60⁰ , если по наклонной плоскости с углом наклона =30⁰оно движется вниз равномерно? [2 с]

7. На автомобиль массой m=1т во время движения действует сила трения, равная 10% от его силы тяжести. Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением a=1м/с² в гору с уклоном 1м на каждые 25м пути. [2, 4 кН]

8. На горизонтальной плоской поверхности расположены два соприкасающихся бруска с массами m₁=2кг и m₂=3кг (рис.2.5). Второй брусок толкают с силой F₀=10Н. Найдите силу, с которой бруски давят друг на друга, если коэффициент трения между первым бруском и плоскостью , а между вторым бруском и плоскостью [ 2, 8 Н].

9. На горизонтальной поверхности стола лежат два одинаковых бруска массой 1кг каждый (рис. 2.6). Бруски связаны нерастяжимой нитью, такая же нить связывает один из брусков с грузом массой m=0, 5кг. Коэффициент трения первого бруска о стол , второго бруска . Найдите силу натяжения нити между брусками. (Массой блока пренебречь). [2, 7 Н].

10. На наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска. Массы брусков равны и , коэффициенты трения соответственно и , причем . Найти: а) ускорение, с которым движутся бруски; б) силу, с которой бруски давят друг на друга.

[ , ]

11. Найти ускорение грузов в системе, если известны массы грузов m₁ и m₂(m₂> m₁) и угол α, образуемый наклонной плоскостью с горизонтом (рис.2.7). Рассмотреть задачу при наличии трения.

[ ]

12. Через невесомый блок, укрепленный на краю горизонтального стола, перекинута нерастяжимая легкая нить, связывающая грузы с массами =1кг и =2кг (рис.2.8). Стол движется вверх с ускорением =1 м/с². Найти ускорение груза относительно стола ( ) и относительно земли (а). Трением пренебречь.

[ м/с²; м/с²]

13. Тело массой m брошено под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) импульс силы , действующей на тело за время его полета; б) приращение импульса тела за время полета. [ ]

14. Шар массой m, двигаясь со скоростью , упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом к нормали. Определить импульс Р, получаемый стенкой. [ ]

15. Шарик массой m помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и пущен без толчка. При движении шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения . Найти зависимость скорости шарика от времени. [ ]

16. Катер массой m = 2 т с двигателем мощностью N = 50 кВт развивает максимальную скорость = 25 м/с. Определить время, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости. [ ]

17. Если тело движется со скоростью ν, которая не слишком велика, то сила сопротивления воздуха Fс, действующая на тело, приблизительно пропорциональна скорости: Fc=kν. Найти зависимость ν (t) для тела, начинающего падение из состояния покоя. [ ]

18. При падении тела с большой высоты его максимальная скорость 80 м/с. Через какое время от начала падения скорость тела станет 20м/с? Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости движения тела. [2, 3 с]

19. Мотор речного катера обеспечивает постоянную силу тяги, равную F = 800Н. Масса катера m = 400кг. Определите мощность силы тяги через время t=5 с после начала движения, если сила сопротивления воды зависит от скорости по закону , где =80кг/с. [5 кВт]

20. Диск радиусом R = 0, 4 м вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения =0, 4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскальзывает с диска. Решить задачу двумя способами: в неподвижной системе отсчета и в системе отсчета, связанной с диском. [п = 0, 5 с^-1]

21. Горизонтальный диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется тело массой m с постоянной относительно диска скоростью . Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии R от оси вращения.

[ ]

22. Небольшое тело падает без начальной скорости на Землю на экваторе, h =10 м. В какую сторону и на какое расстояние х отклонится тело от вертикали за время падения? Сопротивлением воздуха пренебречь. [ ]

23. Ракета массой m = 3 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением . Скорость и струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1, 2 км/с. Найти расход горючего. [ ]

24. Найти ускорение и скорость тележки, движущейся под действием горизонтальной силы F, если на тележке лежит песок, который высыпается через отверстие в платформе тележки со скоростью кг/с. В начальный момент тележка имела скорость и массу m₀.