по механической работе и энергии

Вариант
Номера задач	1	2	3	4	5	6	7
9	17	18	13	14	15	16

Динамика вращательного движения

Твердого тела

Основные формулы

1. Основное уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

где M_z – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно оси z; I_z – момент инерции тела; - модуль углового ускорения.

2. Момент инерции:

а) материальной точки: ;

б) твердого тела: , где - плотность в данной точке тела.

3. Теорема Штейнера

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси; I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; m – масса тела.

4. Соотношение между моментами инерции тела относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О, и моментом инерции того же тела относительно этой точки

где - момент инерции тела относительно точки; R – расстояние от dm до неподвижной точки О; I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О.

5. Закон сохранения момента импульса

6. Кинетическая энергия твердого тела:

а) вращающегося вокруг неподвижной оси: ;

б) при плоском движении: , где - скорость движения центра масс.

7. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:

а) в общем случае: ;

б) в случае постоянного момента силы: ,

где - угол поворота тела.

8. Аналогия между формулами динамики поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
m – масса - импульс - сила	- момент инерции - момент импульса - момент силы

Типы задач и методы их решения

Классификация

1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы.

Метод решения.

Непосредственно интегрирование выражения для момента инерции тела .

Предварительное вычисление момента инерции тела относительно точки по формуле с последующим использованием соотношения .

2.Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.

Метод решения.

Применение основного уравнения динамики для вращательного и поступательного движения.

Применение закона сохранения энергии.

3. Упругий и неупругий удар в твердое тело, закрепленное на оси.

Метод решения. Применение законов сохранения энергии и момента импульса взаимодействующих тел.

4. Определение работы при вращательном движении.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения , либо использование соотношения

Примеры

I тип задач

1. Найти момент инерции однородного круглого цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.

Решение

Рассмотрим тонкостенный цилиндр радиусом r, толщиной dr и высотой h (рис. 4.1). Его объем

Момент инерции тонкостенного цилиндра

где - плотность цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра определится интегралом

Ввиду однородности цилиндра

С учетом этого, получим окончательно

2. Найти момент инерции однородного шара радиусом R и массой m: 1) относительно оси, проходящей через центр шара; 2) относительно оси, касательной к поверхности шара.

Решение

1) Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами

где - объем сферического слоя.

Момент инерции сферического слоя относительно центра шара, очевидно, равен

а момент инерции всего шара

Согласно формулы

где ввиду симметрии и момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара, равен

С учетом того, что , получим окончательно

2) Согласно теореме Штейнера момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности,

где , .

После подстановки получим

II тип задач

1. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂. Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

Заданная система состоит из трех тел – грузов m₁ и m₂, движущихся поступательно, и блока, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.2). Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

Установим силы, действующие на тела данной системы, и напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Уравнения движения этих тел в проекции на ось у имеют вид

, (1)

. (2)

Вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока

. (3)

Мы учли, что по третьему закону Ньютона силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

, .

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, следовательно,

, (4)

где R – радиус блока; - его угловое ускорение.

Решение системы трех уравнений с учетом соотношения (4) дает искомый результат

2. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найти ускорение центра инерции шара.

Решение

Решим данную задачу двумя методами: как непосредственным использованием основного уравнения динамики, так и с помощью законов сохранения,

1-й метод

На шар действует сила тяжести , сила нормальной реакции и сила трения (рис. 4.3). Послед няя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Следовательно, шар совершает сложное плоское движение, представляющее сумму поступательного движения и вращения вокруг центра инерции, уравнения которых в скалярной форме имеют вид

, (1)

. (2)

Найдем связь между а_с и . Поскольку шар участвует в двух движениях, скорость любой его точки

где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра инерции.

Для точки М в проекции на ось х

При отсутствии скольжения и , а после дифференцирования

. (3)

Учитывая (3) и выражение для момента инерции шара , преобразуем (2) к виду

. (4)

Решая уравнения (3) и (4) совместно, получим

2-й метод

Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть его положение в данный момент определяется координатой х. Полная механическая энергия шара, при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О, будет равна

Дифференцируя данное выражение по времени, получим

После преобразования, с учетом того, что , , и , будем иметь

Откуда, заменяя момент инерции шара его значением , найдем .

III тип задач

1. Тонкий стержень массой m и длиной L подвешен за один конец и может вращаться без трения. К той же оси подвешен на нити длиной шарик такой же массой m. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар абсолютно упругий.

Решение

Рассмотрим систему соударяющихся тел (рис. 4.4). Внешними по отношению к этой системе являются силы тяжести, реакции оси и натяжения нити. Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси в момент удара равны нулю. Следовательно, момент импульса этой системы не изменяется в результате удара:

(1)

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса шарика

. (2)

Момент импульса системы после удара, с учетом того, что шарик останавливается, представляет собой только момент импульса стержня.

, (3)

где I – момент инерции стержня относительно оси вращения.

По теореме Штейнера

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим

. (4)

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы не изменяется, т.е.

после преобразования

. (5)

Решение системы уравнений (4) и (5) дает: .

IV тип задач.

1. Маховик в виде диска массой m и радиусом R был раскручен до частоты n. Под влиянием трения маховик остановился, сделав N оборотов. Найти момент сил трения, считая его постоянным.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей работу с изменением кинетической энергии

, (1)

где - момент инерции маховика; и - начальная и конечная угловые скорости.

Так как , то

. (2)

Работа постоянного момента сил трения, действующего на маховик, определяется формулой

, (3)

где - угол поворота тела до остановки.

Приравнивая выражения (2) и (3), получим

откуда

Знак “минус” показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

2. Горизонтально расположенный однородный диск массой М и радиусом R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которого может скользить без трения небольшое тело массой m. К телу привязана нить, пропущенная через полуось диска вниз.

Первоначально тело находилось на краю диска, и вся система вращалась с угловой скоростью . Затем к нижнему концу нити приложили силу F, с помощью которой тело подтянули к оси вращения. Найти: а) угловую скорость системы в конечном состоянии; б) работу, которую совершила сила F.

Решение

По закону сохранения момента импульса

, (1)

где - момент инерции диска; mR² – момент инерции тела, находящегося на краю диска; - угловая скорость системы в конечном состоянии.

Откуда, после преобразования, получим

. (2)

Работу, которую совершила сила F, найдем, используя изменение кинетической энергии вращения системы:

Подставляя в эту формулу выражение для момента инерции диска

С учетом (2), получим окончательно

4.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной и массой m: а) относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс стержня; б) относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через конец стержня. [а) ; б) ]

2. Прямолинейная однородная проволока длиной и массой m согнута так, что точка перегиба делит проволоку на две части, длины которых относятся как 1: 2. Чему равен момент инерции проволоки относительно оси вращения, проходящей через точку перегиба и перпендикулярной плоскости проволоки? [m ²/9]

3. Рассчитайте момент инерции однородного кольца массой m = 1 кг относительно оси вращения, совпадающей с его осью симметрии. Внутренний радиус кольца R₁ = 10 см, внешний радиус R₂ = 30 см. [5∙ 10^-2кг∙ м²]

4. Две частицы с массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стержнем длиной l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс. [ ]

5. Найти момент инерции гантели, состоящей из двух одинаковых шариков радиусами r, соединенных тонким однородным стержнем длиной и диаметром d, причем r, d < < . Плотность вещества, из которого изготовлена гантель, равна ρ . Ось вращения проходит через центр симметрии гантели перпендикулярно соединяющему стержню.

[ , при малыx r: ]

6. Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m с размерами относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости пластины. [ ]

7. Определить момент инерции однородного куба массой m с ребром относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной одной из его граней. [ ]

8. Плотность цилиндра длиной =0, 1м и радиусом R=0, 05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения = 500 кг/м³ до значения = 1500 кг/м³. Найти момент инерции I цилиндра относительно оси. Сравнить его с моментом инерции I₀ однородного цилиндра такой же массы и размеров. [I = 1, 3·10³ кг∙ м²; I = (39/35)/I₀]

9. Вычислить момент инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса m, а радиус его основания R.[ ]

10. На барабан, представляющий однородный цилиндр радиусом R = 0, 2 м и массой m₁ = 9 кг, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m₂ = 2 кг. Найти ускорение груза и кинетическую энергию системы, спустя время t =3 с. [а = 3 м/с², Т = 263, 3 Дж]

11. Определите момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, если в диске сделан вырез в виде круга радиусом r = 0, 3 м, центр которого находится на расстоянии = 0, 5 м от центра диска (рис.4.5). Масса диска m = 10 кг, радиус R =1м. [4, 75 кг∙ м²]

12. Цилиндр массой m₁ катится без скольжения под действием груза массой m₃(рис.4.6). Масса блока m₂. Найти ускорение центра инерции цилиндра.

[ ]

13. Однородный цилиндр массой m и радиусом R начинает опускаться под действием силы тяжести (рис. 4.7). Найти угловое ускорение цилиндра и натяжение каждой нити. [ ; ]

14. На стержень радиусом r наглухо насажен сплошной диск радиусом R и массой m. К стержню прикреплены нити, при помощи которых диск подвешивается к штативу (рис. 4.8). Найти ускорение, с которым опускается диск. Массой стержня пренебречь. [ ]

15. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением (рад). Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении до остановки, если его момент инерции I = 100 кг·м². [12, 8 кВт]

16. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром d = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен динамометр, к другому подвесили груз массой m = 1 кг. Найти мощность N мотора, если мотор вращается с частотой п = 24 с^-1 и показание динамометра F = 24 Н.

[ =211 Вт]

17. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1кДж. Под действием тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения.[2 Нм]

18. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h. [ ]

19. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки; стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой п₁ = 10 с^-1. Радиус колеса равен 20 см, его масса m = 3 кг. Определить частоту вращения n₂ скамьи, если человек повернет стержень на угол 180º? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м². [ ]

20. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая (рис. 4.9). Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи ₁= 50 см. Скамья вращается с частотой п₁ = 1 с^-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до ₂=20 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения I₀ = 2, 6 кг·м². [n₂ = 2, 3 с^-1, А = 190 Дж]

21. На краю вращающегося достаточно большого горизонтального диска, имеющего радиус R и момент инерции I₁, стоит человек массой m. Диск совершает п₁ об/мин. Как изменится скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Какую работу совершит человек при переходе? Размерами человека по сравнению с радиусом диска можно пренебречь.[ ; ]

22. Шарик массой m = 0, 1 г, привязанный к концу нити длиной ₁ =1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой п₁ = 1 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния ₂ = 0, 5 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

[ ; ]

23. Однородный тонкий стержень массой m₁ = 0, 2 кг и длиной L может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О (рис.4.10). В точку А на конце стержня попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально со скоростью υ = 10 м/с, и прилипает к стержню. Масса шарика m₂ = 10 г, расстояние между точками А и О равно L/3. Определите кинетическую энергию стержня после удара.[2, 38∙ 10^-2 Дж]

24. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0, 4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ =20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0, 8 м от вертикальной оси вращения скамьи. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно этой оси равен 6 кг/м². Найдите кинетическую энергию системы после того, как человек поймает мяч. [6, 55 Дж]

25. Платформа в виде однородного диска радиусом R =1 м вращается с частотой n = 6 об/мин. Масса платформы равна 240 кг. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 80 кг. Как изменится кинетическая энергия системы, если человек перейдет в центр платформы? [25, 5 Дж]

26. Два горизонтальных диска свободно вращаются в разных направлениях вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Массы дисков равны 10 кг и 40 кг, их радиусы 0, 2 м и 0, 1 м, угловые скорости 10 рад/с и 20 рад/с соответственно. После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найдите изменение суммарной кинетической энергии дисков. [95 Дж]

27. Покоящийся стержень длиной L = 1, 5 м и массой m₁ = 10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m₂ = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара? [ ≈ 13⁰]

28. Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может свободно вращаться вокруг вертикальной оси симметрии. На краю платформы стоит человек. Определите кинетическую энергию платформы после того, как человек спрыгнет с нее со скоростью υ = 4 м/с, направленной по касательной к краю платформы. Масса платформы равна 240 кг, масса человека 70 кг. [327 Дж]

29. Однородный диск массой m₁=2кг и радиусом R =20см вращается с частотой n = 1 об/с вокруг вертикальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. С высоты h = 44 см на край диска падает кусок пластилина массой m₂ = 100 г и прилипает к нему. Найдите потерю механической энергии системы. [0, 242 Дж]

Варианты контрольных заданий по динамике

Вращательного движения

Вариант
Номера задач	3	4	6	2	5	8	9
10	12	13	14	15	16	17
19	20	21	22	23	24	25

Библиографический список

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькенштейн. - С.-Пб: Спец.лит, 2002. - 327 с.

2. Чертов А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробьев – М.: Интеграл Пресс, 1997. – 544 с.

3. Трофимова Г.И. Сборник задач по физике с решениями / Г.И. Трофимова, З.Г. Павлова – М.: Высш.шк., – 2004. 591 с.

4. Новиков С.М. Сборник заданий по общей физике: учеб. пособие для студентов вузов / С.М. Новиков. – М.: ООО «Мир и Образование», 2006. - 512 с.

5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике / И.Е. Иродов. – М: Лаборатория базовых знаний,. 2001. – 432 с.

6. Гладской В.М. Сборник задач по физике с решениями: пособие для втузов / В.М. Гладской, П.И. Самойленко. – М.: Дрофа, 2004. – 288 с.

Содержание

1. Кинематика. 1

1.1. Основные формулы.. 1

1.2. Основные типы задач и методы их решения. 3

1.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий 10

1.4. Варианты контрольных заданий по кинематике. 14

2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 14

2.1. Основные формулы.. 14

2.2. Основные типы задач и методы их решения. 16

2.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий 21

2.4. Варианты контрольных заданий по динамике поступательного движения 26

3. Работа, мощность, энергия. Законы сохранения. 26

3.1. Основные формулы .. 26

3.2. Основные типы задач и методы их решения. 27

3.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий 30

3.4. Варианты контрольных заданий по механической работе и энергии 32

4. Динамика вращательного движения твердого тела. 33

4.1. Основные формулы.. 33

4.2. Типы задач и методы их решения. 35

4.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий 44

4.4. Варианты контрольных заданий по динамике

вращательного движения. 49

Библиографический список. 50

12	Поделиться: