Блуждание точки по плоскости (двумерное броуновское движение одной точки)

Если случайным образом задать первоначальное положение частиц, направление их движения и скорость и определить, что далее частица будет двигаться равномерно и прямолинейно до столкновения с другой частицей, а в случае столкновения произойдет зеркальное упругое отражение, то получим модель движения частиц, называемую моделью бильярдного шара.

Эта модель описывает поведение идеального газа. С помощью этой модели можно посчитать, допустим, давление газа на стенки сосуда - ограничить частицы прямоугольником (количество частиц установить пропорциональным плотности газа), предусмотреть зеркальное отражение частиц от стенок и посчитать число ударов в стенки сосуда. Давление газа будет пропорционально числу ударов о стенки.

Имитационное моделирование в биологии.

Имитационное моделирование широко применяется в биологии. Мы рассмотрим одну из самых распространенных имитационных моделей, предложенную Джоном Конвеем - игру " Жизнь".

Название связано с тем, что возникающие в процессе игры ситуации аналогичны реальным процессам зарождения, развития и гибели колоний живых организмов. Основная идея игры заключается в том, чтобы, начав с произвольно заданного исходного положения, проследить за эволюцией исходной позиции под действием " генетических законов" Конвея, которые управляют рождением, гибелью и выживанием " организмов".

Игра проводится на бесконечной плоской решетке квадратных клеток и состоит из шагов, соответствующих дискретному времени (t = 1, 2, ... ). Один ход в игре - это переход из состояния t в состояние t +1. Каждая клетка может быть " живой" или " мертвой". Изменение состояния клетки в момент t+1 однозначно определяется состоянием ее соседей в предыдущий момент t. У каждой клетки восемь соседей, из которых четыре имеют с ней общие ребра, а четыре общие вершины.

Назовем " потенциалом" клетки - число живых соседей. Тогда генетические законы Конвея, определяющие поведение каждой клетки, сводятся к следующим правилам:

· если потенциал равен 2, то состояние клетки не меняется;

· если потенциал равен 3, то клетка в следующий период будет живой независимо от текущего состояния;

· при остальных значениях потенциала (0, 1, 4, 5, 6, 7) клетка в следующий период будет мертва.

Таким образом, если у клетки более трех живых соседей, то она погибает от перенаселенности. Клетка погибает от одиночества, если жива только одна соседняя клетка или все соседние клетки мертвы. Выживает и переходит в следующее поколение клетка, имеющая двух или трех живых соседей.

Начальное количество живых клеток и расположение их на поле определяется либо случайным образом, либо мы можем задать нужное нам количество живых клеток и определить их расположение определенным образом и смотреть, как они будут себя вести.

Есть устойчивые структуры - пропеллер - три клетки в ряд, есть стабильные структуры - квадрат с просветом внутри, есть структуры, которые повторяют себя через определенное количество циклов и т.д.

Если располагать клетки случайным образом, то с помощью игры жизнь можно построить модель внутривидовой конкуренции (трава - зайцы), межвидовой конкуренции (зайцы - волки), модель распространения инфекции и т.д.(темы проектов). Постановку задачи для имитационного моделирования динамики популяций хищников и жертв (зайцы - волки) можно посмотреть на странице 761 учебника «Информатика» авт. Могилев, Пак, Хеннер.

Задание 4. Реализация игры «Жизнь» в Excel

Клетки в исходной таблице Excel слишком велики для нашей задачи. Поэтому придадим им вид небольших квадратов. В качестве примера возьмем игровое поле 5x5.

1) Отведем для игры клетки В2: F6.

2) Если клетка жива, то в ячейку запишем 1, если мертва, то 0. Зададим произвольное начальное состояние

Далее нам понадобятся две вспомогательные таблицы. В ячейках Н2: L6 будет храниться " потенциал" клеток.

3) Для вычисления потенциала клетки В2 введем в ячейку Н2 следующую формулу:

= СУММ(A1: C3)-B2 (1)

В данном случае подсчитывается число живых клеток в окрестности клетки

4) Закончив ввод формулы (1) нажатием клавиши Enter, установим курсор на правый нижний угол клетки Н2 и размножим формулу сначала до ячейки L2, а затем вниз, заполнив всю таблицу Н2: L6.

Сложнее всего задать правило поведения клеточного автомата.

5) Запишем в ячейку В10 правило поведения автомата В2, используя логические функции:

=ЕСЛИ(ИЛИ(H2> 3; H2< 2); 0; ЕСЛИ(H2=3; 1; ЕСЛИ(H2=2; B2; -1))) (2)

Первое ЕСЛИ в функции (2) означает, что клетка будет мертва при потенциале Н2 = 0, 1, 4, 5, 6, 7; второе ЕСЛИ - что при потенциале 3 клетка будет живой, третье ЕСЛИ - что при потенциале 2 состояние автомата в клетке В2 не меняется. Наконец, выражение (-1) означает, что при невыполнении всех предыдущих условий в ячейку В10 будет записано значение (-1). (Заметим, что в данном случае этот вариант невозможен.)

6) Функция (2) записывается только в одну ячейку В10, далее она размножается вправо до ячейки F10, а затем вниз, заполняя всю таблицу B10: F14. Таким образом, если в таблице B2: F6 мы имеем состояние системы в момент t, то в таблице B10: F14 вычисляется состояние системы в следующий момент t + 1.

7) Теперь необходимо скопировать таблицу B10: F14 в таблицу B2: F6. Делается это следующим образом.

Шаг 1. Выделяем таблицу BIO: F14.

Шаг 2. В меню " Правка" выбираем команду " Копировать".

Шаг 3. Устанавливаем курсор в ячейку В2.

Шаг 4. В меню " Правка" выбираем команду " Специальная вставка". В раскрывшейся дополнительной вкладке следует из первого столбца " Вставить" выбрать строку " Значения" и нажать кнопку ОК.

В итоге в таблице B2: F6 появится картинка нового состояния системы.

Процедуру копирования можно существенно ускорить, если подготовить соответствующий макрос. Делается это очень просто.

1) В Excel 2000 в меню " Сервис" выбираем " Макрос", а затем команду " Начать запись".

2) В раскрывшейся вкладке можно дать имя макросу либо оставить предлагаемый вариант " Макрос 1".

3) Назначаем макросу клавишу быстрого вызова, например Ctrl + e.

4) Нажимаем ОК.

5) Появится таблица Excel, и на экране возникнет кнопка " Остановить макрос".

6) Выполним указанные выше операции (шаги 1-4) и нажмем кнопку " Остановить".

Запись макроса будет закончена.

Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия комбинации клавиш Ctrl + е и можно спокойно наблюдать за эволюцией системы.

Примеры структур для игры «Жизнь»:

1. Неизменяемые формы жизни (которые в следующие моменты времени остаются неизменными):

Block Boat

2. Осцилляторы (или переключатели):

Blincker Toad

3. Перемещающиеся (планеры, которые перемещаются по всей игровой площади):

Glider Lightweight spaceship

В каталоге «Практика» откройте файл Lifemodel.xls и посмотрите борьбу двух структур в игре «Жизнь»

Идеи для проектовможно найти в книге «Модели социальных процессов» (электронный вариант http: //bibl.tikva.ru)

Например, на странице 262 описана модель процесса расовой сегрегации. Клеточные автоматы (игра «Жизнь» относится к клеточным автоматам) используются как инструмент для изучения процессов социальной самоорганизации.