Методичка к контрольным работам.

Методичка к контрольным работам.

Комбинаторика.

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества Y из kэлементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества Y из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по kнаходится по формуле ( размещения с повторениями ).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством

Пример. Пусть даны цифры: 7; 8; 9; 4; 5; 6. Определить сколько двузначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество двузначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то .

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пример. На библиотечной полке стоят 30 книг, причем 27 - книги разных авторов и еще 3 книги автора. Сколькими способами можно расставить эти книги так, чтобы книги одного автора стояли рядом друг с другом?

Решение. Временно объединим три книги одного автора в один объект, всего получим 28 объектов - 27 книг и 1 объект из трех книг. Для них число перестановок будет . Теперь три книги переставим между собой способами. По правилу произведения получаем, что число способов расставить книги нужным образом равно:

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество Y (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по kназываются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается (от начальной буквы французского слова " combinasion", что значит " сочетание" ) и равно
.

Справедливы равенства:

Пример. Учитель хочет назначить 3 человек для уборки класса из 27 учеников. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок учеников не важен, используем формулу для числа сочетаний (выбор любых 3 элементов из 27):

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Основные формулы теории вероятностей

Операции над событиями.

Суммой двух событий А и В называется событие АÈ В (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АÇ В (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

События А₁, А₂,..., А_к образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них, т.е. .

События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇ В=Æ. Если события несовместны, то

Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Условная вероятность и теорема умножения.

Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:

Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)

Формула умножения для трех событий:

Независимость событий.

Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А).Аналогично определяется независимость события B от A.Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:

два события A и B независимы, если справедливо равенство

Р(АВ) = Р(А) × Р(В).

Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости при практической проверке независимости двух событий.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий H_i, i = 1,..., n. Предположим, что события H_i несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны. Такие события H_i называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

Для решения задач такое типа удобно использовать так называемое " дерево" вероятностей. Из формулы полной вероятности следует, что для вычисления вероятности события А необходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результирующему событию А; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности Р(Н_i) того, что движение будет происходить по данному пути, и вероятности Р(А/ Н_i) того, что на данном пути будет достигнуто конечное событие А. Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для различных путей, складываются.

Каждое из условий может в свою очередь делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому в решении задач удобнее пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности, которую называют " деревом" вероятностей.

Формулы Байеса.

Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Н_k, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Н_k. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.

Пример. В магазин привозят товары от трех поставщиков: первый привозит 20%, второй - 30% и третий - 50% всего поступающего товара. Известно, что 10% товара первого поставщика высшего сорта, для второго и третьего поставщика эти значения равны 5% и 20%. Найти вероятность того, что случайно выбранный товар окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через A событие, заключающееся в том, что будет выбран товар высшего сорта. Введем гипотезы , заключающиеся в выборе товара, поступившего соответственно от первого, второго и третьего поставщика. По условию известно, что

Применяем формулу полной вероятности:

Пример. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что товар был привезен первым поставщиком, если он оказался высшего сорта.

Решение. Сохраним обозначения предыдущей задачи (см. выше). Тогда нужно вычислить апостериорную вероятность . Используем формулу Байеса:

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель.

Решение. Подставляем в формулу Бернулли данные задачи и получаем:

Пример. На склад из производственного цеха поступает в среднем 5% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей 2 будут нестандартными.

Решение. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , число деталей . По формуле Бернулли находим для :

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. руб. и десять выигрышей по 1тыс. руб. Найти закон распределения случайных величин Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0, 01, Р₂=10/100=0, 1, Р₃=89/100=0, 89. Напишем искомый закон распределения:

X
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1.

Пример. Случайная величина Х задана законом распределения

X
P	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение σ (x)

Решение: Найдем математическое ожидание Х: M(x)=2•0.1+3•0.4+10•0.5=6.4
Найдем математическое ожидание X²: M(x²)=2²•0.1+3²•0.4+10²•0.5=54
Найдем дисперсию: D(x)=M(x²)=M(x²)-[M(x)]²=54-6.4²=13.04
Искомое среднее квадратичное отклонение σ (X)=√ D(X)=√ 13.04≈ 3.61

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:

(5)

Пример. На полке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по физике. Выбирают наудачу три книги. Найти закон распределения числа книг по математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Введем дискретную случайную величину X = (Количество книг по математике среди 3 отобранных). X может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Найдем соответствующие вероятности (по формуле гипергеометрической вероятности).
X=0, если все три книги – не по математике. Вероятность .
X=1, если одна книга по математике и две – не по математике. Вероятность .
X=2, если две книги по математике и одна нет. Вероятность .
X=3, если все три книги – по математике. Вероятность .
Получаем закон распределения случайной величины X:
x_i 0 1 2 3
p_i 1/20 9/20 9/20 1/20
Математическое ожидание равно

М(Х²) = 0²*1/20 + 1²*9/20 + 2²*9/20 + 3²*1/20 = 2, 7

D(X)= М(Х²)- М(Х)²= 2, 7 – 1, 5² = 0, 45

Пример 1

Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом:

Рисунок

Найти величину a.

Решение

Если φ (x) – плотность распределения вероятности, то

В нашем случае

Следовательно,

Отсюда

Обратите внимание, что интеграл от функции равен площади под графиком функции. Следовательно, площадь под графиком функции плотности вероятности φ (x) равна единице. Ответ.

Математическое ожидание величины x для непрерывного распределения, задаваемого плотностью φ (x), определяется формулой

а дисперсия – формулой

Среднеквадратичное отклонение по-прежнему задается формулой

Вообще, в том случае, если плотность распределения случайной величины x равна φ (x), математическое ожидание какой-либо функции f (x) этой случайной величины задаётся формулой

1. Постоянное распределение

Распределение, частный случай которого приведён в примере 1, называется постоянным распределением. Его плотность принимает одно и то же значение на некотором отрезке x [a; b] и равна нулю вне этого отрезка. Учитывая свойство нормировки плотности распределения становится ясно, что значение φ (x) полностью задаётся шириной отрезка [a; b].

Рисунок 4.3.7.4. Плотность вероятности постоянного распределения при a = 1, b = 5

Пример 2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x, а также среднее значение величины для постоянного распределения

Решение

Математическое ожидание для непрерывного распределения можно вычислить по формуле

В нашем случае

Этого и следовало ожидать: математическое ожидание величины x должно лежать в точности посередине отрезка [a; b]. Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение Наконец, среднее значение величины равно

Ответ.

Пример 3

Вероятность того, что лампочка перегорит ровно через t дней, подчиняется закону p₀ (t) = 0, 02 e^{–0, 02t}. Найти вероятность того, что 100 дней лампочка будет работать безотказно.

Решение

Найдём сначала вероятность перегорания за 100 дней: