Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли

 

При решении задач теории вероятности часто возникают ситуации, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно, причем исход каждого испытания независим от исходов других и наступает с одинаковой вероятностью. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Пусть некоторое событие А наступает в каждом испытании с вероятностью (вероятность успеха). Обозначим за вероятность того, что событие А не наступит в испытании (вероятность противоположного события, неудачи). Произведем n независимых испытаний. Тогда вероятность того, что событие А в них наступило в точности k раз, можно найти по формуле Бернулли:

Вообще говоря, данную вероятность можно было вычислить непосредственно, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Но при достаточно большом количестве испытаний это трудоемкий путь. Формула Бернулли обобщает способ вычисления таких вероятностей и дает простой и удобный инструмент вычисления (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик).

Распределение числа успехов (появлений события А) носит название биномиального распределения.

Схема Бернулли позволяет установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наивероятнейшего числа появлений события А имеет вид: . При этом число может принимать либо одно значение (когда является целым числом), или два значения (когда целым является ).

 

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель.

Решение. Подставляем в формулу Бернулли данные задачи и получаем:

Пример. На склад из производственного цеха поступает в среднем 5% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей 2 будут нестандартными.

Решение. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , число деталей . По формуле Бернулли находим для :

 

Дискретные случайные величины

 

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. руб. и десять выигрышей по 1тыс. руб. Найти закон распределения случайных величин Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0, 01, Р₂=10/100=0, 1, Р₃=89/100=0, 89. Напишем искомый закон распределения:

X
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁, х₂, х₃,..., х_n вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, p₃,..., p_n. Тогда математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:

M(x)=х₁p₁+х₂p₂+...+х_np_n

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

X
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: М(х)=3.

12345

Поделиться:

Популярное:

1. Биномиальный закон (распределение Бернулли)
2. Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.
3. Глава XIII ПОВТОРНЫЕ АТАКИ И ЗАЩИТЫ ОТ НИХ
4. Зависимые и независимые выборки
5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства
6. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
7. О некоторых приложениях уравнения Бернулли
8. Обобщение уравнения Бернулли на целый поток реальной жидкости. Диаграмма уравнения Бернулли. Гидравлический и пьезометрический уклоны.
9. Первая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.
10. Повторные атаки после атаки шпагой
11. Повторные независимые испытания с двумя исходами