Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)•M(Y).
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. Математическое ожидание М(х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению этих испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(x) = np.

Пусть Х - случайная величина и М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х - М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Отклонение имеет следующий закон распределения:

X-M(x)	X₁-M(x)	X₂-M(x)	...	X_n-M(x)
P	p₁	p₂	...	p_n

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X-M(x)=0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(x)=M[X-M(x)]² (2)

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X
P	0.3	0.5	0.2

Решение: Найдем математическое ожидание:
[X₁-M(x)]²=(1-2.3)²=1.69
[X₂-M(x)]²=(2-2.3)²=0.09
[X₃-M(x)]²=(5-2.3)²=7.29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[X-M(x)]²	1.69	0.09	7.29
P	0.3	0.5	0.2

По определению, D(x) = 1.69•0.3+0.09•0.5+7.29•0.2=2.01

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(x)=M(x²)-[M(x)]² (3)

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Найдем математическое ожидание М(х): M(x)=2•0.1+3•0.6+5•0.3=3.5

Напишем закон распределения случайной величины X²

X²
P	0.1	0.6	0.3

Найдем математическое ожидание M(x²): M(x²) = 4•0.1+9•0.6+25•0.3=13.5

Искомая дисперсия D(x)=M(x²)-[M(x)]²=13.3-(3.5)²=1.05

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(Cx)=C²D(x)
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X₁+X₂+...+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+...+D(X_n)
4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X)=npq

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

σ (X) = √ D(X) (4)

Пример. Случайная величина Х задана законом распределения

X
P	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение σ (x)

Решение: Найдем математическое ожидание Х: M(x)=2•0.1+3•0.4+10•0.5=6.4
Найдем математическое ожидание X²: M(x²)=2²•0.1+3²•0.4+10²•0.5=54
Найдем дисперсию: D(x)=M(x²)=M(x²)-[M(x)]²=54-6.4²=13.04
Искомое среднее квадратичное отклонение σ (X)=√ D(X)=√ 13.04≈ 3.61

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:

(5)

Пример. На полке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по физике. Выбирают наудачу три книги. Найти закон распределения числа книг по математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Введем дискретную случайную величину X = (Количество книг по математике среди 3 отобранных). X может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Найдем соответствующие вероятности (по формуле гипергеометрической вероятности).
X=0, если все три книги – не по математике. Вероятность .
X=1, если одна книга по математике и две – не по математике. Вероятность .
X=2, если две книги по математике и одна нет. Вероятность .
X=3, если все три книги – по математике. Вероятность .
Получаем закон распределения случайной величины X:
x_i 0 1 2 3
p_i 1/20 9/20 9/20 1/20
Математическое ожидание равно

М(Х²) = 0²*1/20 + 1²*9/20 + 2²*9/20 + 3²*1/20 = 2, 7

D(X)= М(Х²)- М(Х)²= 2, 7 – 1, 5² = 0, 45

1 2 3 45