Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1. Даны векторы и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1.1. (1; 2; 3), (-1; 3; 2), (7; -3; 5), (6; 10; 17).

1.2. (4; 7; 8), (9; 1; 3), (2; -4; 1), (1; -13; -13).

1.3. (8; 2; 3), (4; 6; 10), (3; -2; 1), (7; 4; 11).

1.4. (10; 3; 1), (1; 4; 2), (3; 9; 2), (19; 30; 7).

1.5. (2; 4; 1), (1; 3; 6), (5; 3; 1), (24; 20; 6).

1.6. (1; 7; 3), (3; 4; 2), (4; 8; 5), (7; 32; 14).

1.7. (1; -2; 3), (4; 7; 2), (6; 4; 2), (14; 18; 6).

1.8. (1; 4; 3), (6; 8; 5), (3; 1; 4), (21; 18; 33).

1.9. (2; 7; 3), (3; 1; 8), (2; -7; 4), (16; 14; 27).

1.10. (7; 2; 1), (4; 3; 5), (3; 4; -2), (2; -5; -13).

Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0, 001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

4.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

4.1. А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0).

4.2. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4).

4.3. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9).

4.4. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8).

4.5. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3).

4.6. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9).

4.7. А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3).

4.8. А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7).

4.9. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7).

4.10. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1).

Элементы линейной алгебры

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице

Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

5.1. 5.2. 5.3.

5.4. 5.5. 5.6.

5.7. 5.8. 5.9.

5.10.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

Введение в математический анализ

Задача 7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

Задача 8. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

8.1 1) ; при: а) = 2, б) в)

;

4) .

8.2. 1) при: а) = 0; б) ; в) ;

2) 3) ; 4) .

8.3. 1) при: а) = 3; б) -3; в) ;

2) 3) 4)

8.4. 1) ; при: а) = -3; б) в) ;

2) 3) ; 4)

8.5. 1) при: а) = 2; б) 4; в) ;

2) 3) 4) .

8.6.

при: а) = 2; б) 5; в) ;

3) 4)

8.7. 1) при: а) =1; б) -4; в) ;

2) 3) 4)

8.8. 1) при: а) =5; б) -5; в) ;

2) 3) 4)

8.9. 1) при: а) =-2; б) 1; в) ;

2) 3) 4)

8.10. 1) при: а) =-2; б) -1; в) ;

2) 3) 4)

Задача 9. Задана функция у=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют.

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

9.9. 9.10.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задача 10. Найти производные заданных функций.

10.1. ;

10.2. ;

10.3. ;

10.4. ;

10.5. ;

10.6. ;

10.7. ;

10.8. ;

10.9 ;

10.10. ;

Исследование функций с помощью производных

Задача 11. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

11.1. 11.2. у = 11.3. у =

11.4. у = 11.5. у = 11.6.

11.7. 11.8.

11.9. 11.10.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Задача 12. Дана функция и две точки и . Требуется: вычислить значение в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

12.1. 161.

12.2. 162.

12.3. 163.

12.4. 164.

12.5. 165.

12.6. 166.

12.7. 167.

12.8. 168.

12.9. 169.

12.10. 170.

Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f(x; y) в замкнутой области Д, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

13.1. .

13.2. .

13.3. .

13.4. .

13.5. .

13.6.

13.7.

13.8. .

13.9. .

13.10. .

Задача 14. Даны функция , точка и вектор .

Найти: 1) в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора .

14.1. .

14.2. .

14.3. .

14.4. .

14.5. .

14.6. .

14.7. .

14.8. .

14.9. .

14.10. .

Задача 15. Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

15.1. .

15.2. .

15.3. .

15.4. .

15.5. .

15.6. .

15.7. .

15.8. .

15.9. .

15.10. .

Задача 16. Найти полный дифференциал функции z =f (x; y).

16.1. .

16.2. .

16.3. .

16.4. .

16.5. .

16.6. .

16.7. .

16.8. .

16.9. .

16.10. .

Неопределенный и определенный интегралы

Задача 17. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.5.

17.6.

17.7.

17.8.

17.9.

17.10.

Задача 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

18.1. .

18.2. .

18.3. .

18.4. .

18.5. .

18.6. .

18.7. .

18.8. .

18.9. .

18.10. .

Задача 19

19.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

19.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

19.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

19.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

19.5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами .

19.6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.

19.7. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .

19.8. Вычислить длину полукубической параболы от точки

А(2; 0) до точки В(6; 8).

19.9. Вычислить длину кардиоиды .

19.10. Вычислить длину одной арки циклоиды .

Дифференциальные уравнения

Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

20.1. .

20.2. .

20.3. .

20.4. .

20.5. .

20.6. .

20.7. .

20.8. .

20.9. .

20.10. .

Задача 21. Найти общее решение дифференциального уравнения

21.1. . 21.2. .

21.3. . 21.4. .

21.5. . 21.6. .

21.7. . 21.8. .

21.9. . 21.10. .

Задача 22. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

22.1. .

22.2. .

22.3. .

22.4. .

22.5. .

22.6. .

22.7. .

22.8. .

22.9. .

22.10. .

Задача 23. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

23.1.

23.2.

23.3.

23.4.

23.5.

23.6.

23.7.

23.8.

23.9.

23.10.

Ряды

Задача 24. Исследовать сходимость числового ряда .

24.1. . 24.2. .

24.3. . 24.4. .

24.5. . 24.6. .

24.7. . 24.8. .

24.9. . 24.10. .

Задача 25. Найти интервал сходимости степенного ряда .

25.1. . 25.2. .

25.3. . 25.4. .

25.5. . 25.6. .

25.7. . 25.8. .

25.9. . 25.10. .

Задача 26. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , где ; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

26.1. 26.2. 26.3. 26.4. 26.5.

26.6. 26.7. 26.8. 26.9. 26.10.

Задача 27. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

27.1. . 27.2. .

27.3. . 27.4. .

27.5. . 27.6. .

27.7. . 27.8. .

27.9. . 27.10.

Задача 28. Выразить определенный интеграл в виде сходящего ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до .

28.1. 28.2. 28.3.

28.4. 28.5.

Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0, 001.

28.6. 28.7. 28.8.

28.9. 28.10.

12	Поделиться: