В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИ3А

План

1. Образовательные, воспитательные и развивающие цели изучения тригонометрических функций в Х классе.

2. Содержание учебного материала, связанного с изучением тригонометрических функций в курсе алгебры и начал анализа.

3. Выполнение практических заданий, связанных с разработкой отдельных методических вопросов изучения тригонометрических функций в Х классе.

При разработке методики. изучения этой темы необходимо поставить следующие цели:

1. Разработать один из вариантов введения понятия тригонометрических функций числового аргумента. 2. Проанализировать набор задач, направленных на формирование понятия о периодичности тригонометрических функций.

Задания, предваряющие занятия по указанной теме

1. Выделить ключевые вопросы развертывания функциональной линии в школьном курсе математики и указать класс, в котором рассматривается соответствующий вопрос (на основе анализа учебников алгебры, алгебры и начал анализа).

2. Указать основные этапы введения понятия о тригонометрических функциях числового аргумента (на основе анализа учебников геометрии, алгебры, алгебры и начал анализа).

3. Познакомиться с требованиями программы по изучению тригонометрических функций в Х-ХI классах (см.: Математика в шк.- 1985.- №6.- С. 12-13).

4. Установить, какие свойства тригонометрических функций рассматриваются в Х-ХI классах.

Основное содержание

1. Основные образовательные цели изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начал анализа могут быть сформулированы исходя из характерной особенности курса, выделенной в программе по математике.

Характерной особенностью курса является систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения (см.: Математика в шк.- 1985.- № 6.- С. 12).

Основные образовательные цели изучения тригонометрических функций в Х классе:

1) систематизировать знания учащихся о тригонометрических функциях числового аргумента;

2) обобщить и расширить знания о свойствах тригонометрических функций;

3) закрепить и развить умения проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений, используя формулы, указанные в программе.

4) познакомить с решением простейших тригонометрических уравнений и неравенств, а также рассмотреть некоторые приемы решения тригонометрических уравнений и их систем.

2. Анализ учебного материала курса алгебры и начал анализа позволяет выделить следующее основное содержание:

- радианная система измерения углов;

- определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, измеренных в радианной системе измерения;

- определение тригонометрических функций числового аргумента;

- свойства тригонометрических функций (четность и периодичность), существенные для построения графиков функций, и построение графиков тригонометрических функций;

(Заметим, что перечисленные выше элементы содержания, за исключением графиков функций, в Х классе лишь актуализируются. Они ранее рассматривались в курсе алгебры IX класса.)

- основные тригонометрические формулы и их использование для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений;

- на базе основных свойств функций исследуются тригонометрические функции, при этом отдельно изучается характеристическое свойство тригонометрических функций — периодичность;

- обратные тригонометрические функции;

- решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- приемы решения некоторых видов тригонометрических уравнений и их систем;

- производные тригонометрических функций;

- функция вида , описывающая гармонические колебания.

Анализ содержания учебного материала показывает, что среди перечисленных вопросов наиболее существенное значение имеют:

- определение тригонометрических функций числового аргумента;

- характеристическое свойство тригонометрических функций — периодичность;

- обратные тригонометрические функции и использование их для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Остановимся на подробном рассмотрении первых двух вопросов.

Оба они важны для понимания особенностей тригонометрических функций по сравнению с ранее изученными учащимися функциями.

3. Тригонометрические функции являются первым примером трансцендентных функций, рассматриваемых в школе. При первоначальном введении этих функций они рассматриваются как функции угла. Другими словами, аргументом этих функций служит геометрический объект. Однако как потребности самой математики, так и ее приложений требуют рассмотрения тригонометрических функций числового аргумента.

Наиболее полно раскрывается понятие о тригонометрических функциях числового аргумента в IX классе.

На занятии выделяются основные этапы введения понятия о тригонометрических функциях числового аргумента на примере функции и формулируются ведущие методические положения, на которых основано конкретное изучение данного вопроса.

Этапы:

1. Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента (VIII класс).
2. Введение понятия о тригонометрических функциях числового аргумента (IX класс).
3. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях числового аргумента(Х класс).

Исходя из особенностей этапа формирования понятия о тригонометрических функциях числового аргумента формулируем цель изучения указанного понятия в Х классе: повторение известных из IX класса сведений о тригонометрических функциях числового аргумента с целью выделения всех существенных признаков понятия; знакомство с графиками тригонометрических функций ( ).

Работа по выделению существенных признаков понятия «тригонометрические функции числового аргумента» может быть построена двумя путями:

а) анализ текста учебника ([4], § 1, п. 1) и последовательное выделение и определение «методической нагрузки» отдельных отрезков текста;

б) анализ термина «тригонометрические функции числового аргумента» и получение существенных признаков на основе этого анализа.

Второй путь кажется более плодотворным. Он предполагает актуализацию понятий

«числовые функции» и «тригонометрические функции углового аргумента»,

а также сравнение этих понятий.

В результате сравнения усматривается, что при рассмотрении тригонометрических функций углу сопоставляется число, в то время как при рассмотрении ранее известных функций (числовых) числу сопоставлялось число.

Поскольку для исследования тригонометрических функций и построения графиков необходимо пользоваться общими приемами, известными для числовых функций, то целесообразно (если это возможно) рассматривать тригонометрические функции числового аргумента.

Далее устанавливается возможность перехода от углового к числовому аргументу при рассмотрении тригонометрических функций и роль при этом радианного измерения углов.

Идею сопоставления каждому действительному числу значения тригонометрической функции (например, )целесообразно проиллюстрировать на модели (рис. 27).

Заметим, что рисунок 28 иллюстрирует идею наматывания числовой оси на единичную окружность.

При рассмотрении модели необходимо обратить внимание, что в качестве единицы (единичного отрезка) по оси выбирается один радиан (длина соответствующей дуги).

Требует дополнительного обоснования и тот факт, что является функцией с областью определения и областью значении [-1; 1].

После такого обзора содержания предлагается представить свой вариант рассмотрения в Х классе понятия о тригонометрических функциях числового аргумента. Он обсуждается с точки зрения обеспечения глубины усвоения формируемого понятия.

Второй вопрос, который целесообразно рассмотреть в связи с изучением тригонометрических функций в Х классе, — это вопрос о свойствах этих функций.

После перечисления всех свойств из набора, рассматриваемого в школе, необходимо более подробно остановиться на методике изучения свойства, характеристического для тригонометрических функций, — периодичности.

В ходе обсуждения можно остановиться на следующих вопросах:

1) Пропедевтика понятия о периодичности функции (IX-Х классы).

2) Использование свойства периодичности при знакомстве с построением графиков тригонометрических функций.

3) Анализ определения понятия «периодическая функция».

4) Аналитическая и геометрическая интерпретации периодической функции.

5) Период и наименьший положительный период функции.

Для введения общих формул решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств при рассмотрении тригонометрических функций в Х классе вводятся понятия «арксинус», «арккосинус», «арктангенс» и «арккотангенс числа а». Каждое из этих понятий вводится как число — корень соответствующего уравнения ( )- на определенном интервале. Вопрос о существовании и единственности такого числа решается на основе рассмотрения теоремы о корне.

Целесообразно подробно рассмотреть доказательство указанной выше теоремы о корне ([9], с. 44) и введение, например, понятия арксинуса а.

В заключение анализа пункта 10 учебника [9] ответьте на вопрос: вводится ли в тексте учебника (явно или неявно) понятие об обратных тригонометрических функциях? Повторите основные сведения об обратных тригонометрических функциях (определения, свойства, графики).

Существенное внимание необходимо уделить анализу задач, помещенных после пункта учебника, в котором рассматривается свойство периодичности тригонометрических функций.

В ходе анализа системы математических задач

выделите задачи (группы задач) на отработку определенного элемента теории, представленного в тексте учебника;

выделите математические задачи, связанные с формированием практических умений;

оцените представленный в учебнике набор задач с точки зрения формирования исследовательских умений учащихся;

определите возможности дополнения представленного набора задач (учитывая рассмотренный теоретический материал).

4. Выводы:

- понятие о тригонометрических функциях числового аргумента рассматривается в Х классе на основе повторения известных учащимся сведений из курса алгебры IX класса;

- в Х классе важно выделить все существенные признаки понятия «тригонометрические функции числового аргумента» исходя из двух понятий: «числовая функция» и «тригонометрическая функция углового аргумента»;

- при рассмотрении понятия «тригонометрические функции числового аргумента» важно сделать актуально осознаваемой учащимися идею соответствия каждому действительному числу (значению аргумента) другого действительного числа (значения тригонометрической функции);

- использовать определение тригонометрической функции числового аргумента и известные свойства этих функций для построения графиков;

- отработать существенные признаки понятия «периодическая функция» в ходе решения задач; с этой целью (и на основе анализа набора задач учебника) составить систему задач.

Самостоятельная работа

1. Выделите прием решения задачи № 86 из [9] и оформите его в виде алгоритмического предписания.

2. Предложите методический подход для работы с задачами типа №87-89 из [9].

3. Составьте серию задач на распознавание периодических функций при графическом способе их задания.

4. Подготовьте методическую разработку по введению понятия о тригонометрических функциях числового аргумента (на примере функций ).

Индивидуальное задание

Выполните сравнительный анализ введения понятия тригонометрических функций числового аргумента по разным учебникам.

Литература: [9], [8], [5], [37].

Предыдущая234567891011121314151617Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. II Эпоха бронзы (2 – начало 1 тыс. до н.э.)
2. АКСЕССУАРЫ И ОБУВЬ В НАЧАЛЕ20 В.
3. Ампиру или «высокому классицизму» начало было положено в первые три десятилетия 19-го века.
4. Анализ линии уравнений в курсе математики средней школы
5. Безобразная первоначальная идея
6. Билет №9 вопрос №2 Сюжеты и образы Ветхого Завета. Начало Земной жизни первых людей. Каин и Авель.
7. Большое место в трудах Леонардо занимала гидравлика. Он начал заниматься гидравликой еще в ученические годы и возвращался к ней в течении всей своей жизни
8. Борьба двух начал в организации театрального дела в России
9. В конце XIX — начале XX в. большой вклад в развитие патологической физиологии внесли И. И. Мечников (см. с. 248), Г. П. Сахаров, А. А. Богомолец.
10. В неделю 24-ую по Пятидесятнице. В день освящения нового семинарского корпуса (начала веры в жизни христианской должно хранить неподвижными)
11. В неделю по Рождестве Христове (В христианстве ничего не следует изменять, подчиняясь духу времени, но должно строго держаться всего, как изначала заповедано, не ища льготностей)