Наиболее важными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

6 Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму

Произведений всех её возможных значений на их вероятности.

или

Математическое ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины.

7 Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата

Отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания.

или

8 Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный

Корень из дисперсии.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины пользуются структурными средними: модой и медианой.

9 Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например,

при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой.

 

10 Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит

этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле: М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2, в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

 

Из всех показателей вариации стандартное отклонение в наибольшей степени используется

для проведения статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель существует и называется он коэффициент вариации. Формула коэффициента вариации очень проста:

Как видно, это отношение стандартного отклонения к средней величине. Данный показатель

измеряется в процентах (если умножить на 100%). Имея коэффициенты вариации, можно сравнивать однородность самых разных явлений независимо от их масштаба и единиц измерения.

В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.

 

Функция распределения случайной величины

 

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

 

 

Если x.- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределе-ния случайной величины x. Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

 

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F(x)определена на всей числовой прямой R;

· F(x)не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

· F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

 

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

 

называется распределением дискретной случайной величины.

 

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

 

 

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

 

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Образец решения задач

Дана выборка 30, 30, 20, 20, 25, 20, 20, 25, 30, 20.

Требуется:

а) Построить статистический ряд распределения частот

б) Построить полигон частот

в) Записать вариационный ряд, найти размах вариации

г) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение

д) Найти моду, медиану, коэффициент вариации

е) Найти функцию распределения и построить её график

 

Решение

а) Построим статистический ряд распределения частот. Объём выборки:

 

б) Построим полигон частот.

в) Запишем вариационный ряд: 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 30

 

Найдём размах вариации: R=30-20=10

 

г) Найдём математическое ожидание.

 

или

 

Найдём дисперсию.

 

 

или

 

Найдём среднее квадратическое отклонение.

 

 

д) Найдём моду: (т. к. число 20 встречается наибольшее количество раз, n=20)

Найдём медиану:

Найдём коэффициент вариации:

е) Найдём функцию распределения и построим её график

При ,

При ,

При ,

При ,

 

Построим график

Тема7. “Классическое определение вероятности”

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Популярное:

1. B. это наиболее суровая мера юридической ответственности
2. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
3. III. Из предложенных слов выберите то, которое наиболее близко передает значение подчеркнутого.
4. V. По характеру изменения физической величины
5. Борьба за жизнь наиболее упорна между особями и разновидностями одного и того же вида.
6. В мире существует множество различных школ мистицизма и оккультизма. Как наверняка найти систему, наиболее отвечающую индивидуальным запросам ?
7. В результате внедрения личинок аскарид в другие органы (печень, сердце и др.) в них происходят кровоизлияния и появляются очаги воспаления. Наиболее выражены эти инфильтраты в легких.
8. В СДЕЛКАХ, СТОРОНАМИ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ ВЗАИМОЗАВИСИМЫЕ ЛИЦА
9. ВАЖНЕЙШИМИ ВНЕНАУЧНЫМИ СПОСОБАМИ РАСКРЫТИЯ ИСТИНЫ ЯВЛЯЮТСЯ ИСКУССТВО, ФИЛОСОФИЯ И ИСТОРИЯ.
10. Ведущими практическими методами обучения являются упражнение, опыты и экспериментирование, моделирование.
11. Внимание: ваш наиболее важный мускул
12. Возрастные изменения величины корреляции между горизонталью и вертикалью