Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Ms Excel

Вычислим определенный интеграл

методом прямоугольников (входящих) и методом трапеций.

Последовательность действий:

На отрезке xÎ [a, b] построим разностную сетку

W_n{x₀=a, x_i= x_i-1+h, i = 1, 2.,., n-1, x_n=b, h =(b-a)/n}

и создадим таблицу по образцу рис.4.7.

1. В ячейки В1, В2 и D1 введем значения нижнего и верхнего пределов интегрирования а, b и количество разбивок n.

2. В ячейке В3 вычислим шаг разбивки h: В3=(В2-В1)/D1.

Рис.4.7.Схема численного интегрирования

3. В столбце А сформируем номер узла следующим образом: А6=0; в ячейку А7 введем формулу А7 =А6+1 и скопируем ее вниз до конца таблицы. (Это позволит в дальнейшем приспособить таблицу для любого значения шага h, т.е. для любого n).

4. В столбце В сформируем значения узлов следующим образом: x_i₊₁=x_i+h, i=0, 1, 2, …. Введем в ячейку В6 значение а, т.е. B6=B1. В ячейку В7 запишем формулу B7=B6+$B$3 и скопируем ее вниз до значения нижнего предела интегрирования b.

5. В столбце С формируем значения подынтегральной функции f(x) в узлах сетки. Для этого в ячейку С6 введем формулу С6=В6*В6 и скопируем ее вниз.

6. В столбцах D и E накапливаются результаты суммирования в соответствии с формулами (4.8), (4.11). Для этого обнулим ячейки D6 и E6. В ячейки D7 и E7 запишем формулы численного интегрирования:

D7 =D6+C6*$B$3

E7 =E6+(C6+C7)*$B$3/2

и скопируем их вниз до конца таблицы.

Приближенные значение интеграла (интегральные суммы) получены в ячейках D16 и E16 по методу прямоугольников и трапеций соответственно.

В данном случае не составляет труда найти точное значение этого интеграла:

и сравнить с полученными результатами.

Изменяя значения ячеек В1, В2 (пределы интегрирования а и b ), D1 (количество разбивок n ), С6 (формула подынтегральной функции f(x)), можно использовать эту схему для вычисления любого определенного интеграла с необходимой точностью.

n Например . Уменьшим шаг разбивки (количество разбивок при этом увеличилось вдвое, n=20), т.е. введем в ячейку D1 величину 20. Выделим последнюю строку таблицы на рис 4.7 и копируем ее вниз до значения b=2. Мы получим приближенное значение интеграла с шагом h=0, 05.

Аналогичным образом можно изменять и другие параметры.

G Замечание. Из рис. 4.3, 4.4, 4.5 видно, что численное интегрирование может сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг разбивки h, либо использовать более точные методы.

Контрольные вопросы

1. Геометрический смысл определенного интеграла. Когда возникают задачи численного интегрирования.

2. Идея численного интегрирования. Понятие интегральной суммы.

3. Оценка погрешности численного интегрирования. Метод половинного шага.

4. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Геометрическая интерпретация методов численного интегрирования.

5. Сравнение численных методов интегрирования между собой.

Глава 5.

Аппроксимация

«Аппроксимация (от лат. Approximo – приближаюсь) – замена одних матема-тических объектов другими, близкими к исходным»

Математический

энциклопедический словарь

Задачи аппроксимации

Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) (известной или неизвестной) другой функцией j(х), близкой к f(x). Как правило, функция j(х) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» при аналитических и вычислительных операциях.

Такую замену называют аппроксимацией или попросту – приближением функции f(x) функциейj(х).

Функцию j(х) называют приближением или аппроксимирующей функцией.

Таким образом, задача о приближении (аппроксимации) функции f(x) функциейj(х) состоит в построении функцииj(х) близкой (в некотором смысле) к функции f(x) на заданном отрезке [a, b], т.е.

f(x)@ j(х). (5.1)

Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов, а именно:

1. Что известно о функции f(x). Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень ее гладкости.

2. Какую функцию j(х) выбрать в качестве аппроксимирующей функции.

3. Что понимать под близостью между функциями f(x) иj(х), т.е. какова степень приближения (5.1).

Термин близости (отклонения) двух функций понимается по-разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим две, а именно: интерполирование и среднеквадратичное приближение.

Интерполирование функций

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒