Интерполяционная формула Лагранжа

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 18Следующая ⇒

Пусть на отрезке [a, b] функция у=f(x) задана таблично, т.е. (x_i, y_i), ( i=0, 1,.., n), где y_i=f(x_i). Так заданную функцию называют «сеточной».

Постановка задачи: найти алгебраический многочлен (полином):

степени не выше n такой, чтобы

L_n(x_i)=y_i, при i=0, 1,.., n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах x_i, (i=0, 1,.., n) те же значения, что и сеточная функция у=f(x).

Сам многочлен L_n(x) называется интерполяционным полиномом , а задача – полиномиальной интерполяцией .

Найти многочлен L_n(x) – это значит найти его коэффициенты a₀, a₁, …, a_n. Для этого имеется n+1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a_i, (i=0, 1, …, n):

где x_iи y_i (i=0, 1, …, n) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение.

Определив коэффициенты a₀, a₁, …, a_n_,решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x):

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается [3, 6], что по заданным n+1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n=1) и второй (n=2) степени.

При n=1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x₀, y₀) и (x₁, y₁), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n=2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

x_i x₀ x₁ x₂

y_i y₀ y₁ y₂

и имеет вид

Приближенные равенства

называются соответственно формулами линейной и квадратичной интерполяции.

n Пример 5.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

x_i

y_i

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х=4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона [3, 6], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита [3].

Сплайн-интерполяция. При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию, когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер.

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Объект исследования исследования

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x_i, y_i (i=1, 2, …, n), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

x_i	x₁	x₂	…	x_n
y_i	y₁	y₂	…	y_n

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y=j(х), значения которой при x=x_i, возможно мало отличалось бы от опытных данных y_i, (i=1,.., n). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y=j(х) на отрезке [x₁, x_n]:

f(x) @ j(х). (5.9)

Аппроксимирующая функция y=j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР).

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной, если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

• просчитать значение y для любого ( интерполяция );

• сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка ( экстраполяция );

• выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y=j(х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек M_i (x_i, y_i), i=1, 2,.., n, заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Рис. 5.2. Геометрический смысл задачи

среднеквадратичного приближения

При нахождении уравнения регрессии интерполяционный подход заведомо является неудачным, т.к. не требуется, чтобы значения аппроксимирующей функции у=j(x) совпадали с экспериментальными значениями y_i. Достаточно, чтобы разность их [j(x_i)-y_i], i=1, 2,.., n была мала в известном смысле.

Рис.3.2.

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров.

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.

Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 5.1. И уравнение регрессии записывается в виде (5.11), т.е. зависит от (m+1) параметра

Эти параметры и определяют расположение графика уравнения регрессии относительно экспериментальных точек M_i(x_i, y_i), i=1, 2,.., n (рис.5.2).

Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе» к системе этих экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (5.11) от табличного значения y_iдля x_i_:, i=1, 2,.., n.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений, которая зависит от(m+1) параметра

Согласно МНК [3, 6] наилучшими коэффициентами a_i (i=0, 1,.., m) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений, т.е. функцию .

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов :

Для аппроксимирующей функции (5.11) система (5.14) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Возможны случаи:

1. Если , то существует бесконечно много многочленов (5.11), минимизирующих функцию (5.13).

2. Если m=n–1, то существует только один многочлен (5.11), минимизирующий функцию (5.13).

Будем считать, что m< n–1.

Чем меньше m, тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше. Необходимо помнить, что полученная эмпирическая формула должна быть адекватной изучаемому объекту.

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒